第06讲：指数运算和指数函数期末高频考点题型讲与练【10大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第06讲：指数运算和指数函数期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：指数幂的运算 · 考点02：指数函数的解析式 · 考点03：求指数函数的值域 · 考点04：指数函数定点与图像问题 · 考点05：指数幂的大小比较 · 考点06：由指数单调性解不等式 · 考点07：指数型函数的单调性问题 · 考点08：指数函数的最值问题（参数、恒成立） · 考点09：指数函数的应用 · 考点10：指数函数的综合类型问题 【知识梳理】 知识点01：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点02．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 考点三：.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 【题型归纳】 题型一：指数幂的运算 1．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 故选：A 2．（23-24高一上·重庆·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 题型二：指数函数的解析式 4．（22-23高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 5．（22-23高一下·贵州黔东南·期末）已知指数函数的图像经过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】设出指数函数解析式，根据条件求出解析式，然后再计算的值. 【详解】设（，且），由于其图像经过点 ， 所以，解得或（舍去）， 因此，故 . 故答案为：. 6．（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 题型三：求指数函数的值域 7．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 8．（2023高三·全国·专题练习）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 9．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围. 【详解】由在上递增，且值域为， 由，开口向上且对称轴为， 所以，二次函数在上递减，在上递增， 要使有最小值， 当时，显然不成立； 当时，，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 题型四：指数函数定点与图像问题 10．（23-24高一上·安徽·期末）函数在上的大致图象为（    ） A．   B．   C．    D．    【答案】D 【分析】根据给定函数的奇偶性，结合即可判断得解. 【详解】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB； 又，选项C不满足，D符合题意. 故选：D 11．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象恒过定点，进而可得，结合基本不等式和指数的运算性质进而得到答案． 【详解】当时，， 故函数的图象恒过定点， 由点在直线上，则, 故， 当且仅当等号成立,故的最小值是. 故选：B 12．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可. 【详解】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似. .故选：D. 题型五：指数幂的大小比较 13．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 因为在上递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以. 故选：B 14．（23-24高一上·北京延庆·期末）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 15．（23-24高一上·广西百色·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，又，， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：D 题型六：由指数单调性解不等式 16．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则由得，解得，即不等式的解集为． 故答案为： 17．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用二次不等式的解法和指数函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，可得或， 又因为函数为上的增函数，则有或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 18．（23-24高一上·四川凉山·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 由于在上单调递增，所以， ， 解得或，所以不等式的解集为. 故答案为： 题型七：指数型函数的单调性问题 19．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可. 【详解】由题意得：在上单调递增， 所以对称轴，所以. 故选：B. 20．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件将问题转化为为上的增函数，由此列出不等式组求解出的范围. 【详解】因为对任意，都有成立， 所以为上的增函数， 所以，解得，即， 故选：C. 21．（23-24高一上·四川成都·期末）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数在上为增函数的性质列式可求得结果. 【详解】因为是在上的增函数，所以， 故选：A. 题型八：指数函数的最值问题（参数、恒成立） 22．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）函数的最小值为 ，此时 ． 【答案】 0 1 【分析】化简为，即可确定时，取得最小值．再结合，的图象即可求得取值小值时x的值. 【详解】由题意得， 当时，取得最小值0． 作出函数，的图象， 可知，的图象只有一个交点，且， 故结合图象可知交点的横坐标为1，所以方程的解为． 故答案为：0；1 23．（21-22高一上·湖南长沙·期末）设，，函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】B 【分析】对函数进行变形，结合函数单调性与零点存在性定理得到不等式，解出a的取值范围. 【详解】，故，因为为单调函数，由零点存在性定理得：，解得：或， 故选：B． 24．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案. 【详解】因为，所以， 所以. 设，因为，即 所以在单调递增，最小值为， 因为，，，即， 所以， 令，易得，所以，即， 显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为. 故选：B 题型九：指数函数的应用 25．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 26．（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组，解出这两个量的值，可得出的表达式，然后解方程，求出的值即可. 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 所以，则． 故选：B. 27．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出函数关系，求出h，然后即可得出答案. 【详解】由题得，，代入得 ，求得， 所以，当时，解得， 所以选：B. 题型十：指数函数的综合类型问题 28．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数的值并判断函数单调性（无需证明）； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，减函数 (2) 【分析】（1）先根据奇偶性求出，再根据复合函数单调性可判定单调性； （2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案. 【详解】（1）因为是奇函数，所以，解得； 当时，，定义域为， 又符合题意. 所以，因为为增函数，所以为减函数. （2）等价于， 即； 因为为减函数，所以，即； 令，则上式化为，即； 所以. 29．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质列方程组求解即可，并注意检验. （2）由分离常数，结合指数函数、复合函数单调性得单调性，是奇函数的性质并通过换元，将原问题等价转换为恒成立，由此即可求解. 【详解】（1）是上的奇函数，，即． 又 检验：当时，定义域为，且满足， 即是上的奇函数． 故满足题意. （2）由（1）知，易知在上为减函数， 令，因为，故， 又是奇函数，等价于， 又因为减函数，由上式推得， 即对一切有恒成立， ，令， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，则， 即，所以实数的取值范围为. 30．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求得，从而得解； （2）利用奇函数的性质，结合对称性即可得解； （3）将不等式转化为恒成立问题，再利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，＝， 所以，解得， 所以. （2）由（1）得，当时，， 当时，，所以， 又， 所以在上的解析式为. （3）因为当时，， 所以由，得，整理得， 令，根据指数函数单调性可得是减函数， 所以，所以， 故实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛： （1）若函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则在上单调递增； （2）若函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，则在上单调递减； 【强化精练】 一、单选题 31．（22-23高一上·天津·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对选项逐一判断，A选项注意平方再开方后要取绝对值，去绝对值要注意正负；B选项同底数幂相乘，底数不变指数相加；C选项；D 选项由对数的运算性质即可判断正误. 【详解】故A错误；，故B错误； 故C错误；故D正确. 故选：D. 32．（23-24高一上·广西玉林·期末）2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力．该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量）与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过前2小时消除了20%的污染物求出 ，再令可求出答案. 【详解】依题意有， 可得， 当时， 因此，前6个小时消除了污染物的. 故选∶B． 33．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法即可得解. 【详解】， ， ， 所以. 故选：A. 34．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 35．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，函数在上单调递增，由对称性得出，，结合函数在上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，， 且，则，即， 故选：A. 36．（23-24高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由偶函数的图象性质，以及指数函数、三角函数的值域即可求解. 【详解】由题意函数定义域为全体实数， 且，所以函数是偶函数，排除CD， 当时，，排除A，经检验，B选项符合题意. 故选：B. 37．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】令，根据单调性可求出的取值范围，将转化成在上恒成立，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 令， 因为恒成立，所以恒成立，亦即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故，所以. 故选：B 38．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 39．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 二、多选题 40．（23-24高一上·江苏南通·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，不满足单调性；BC选项，判断出函数为偶函数，且在上单调递增；D选项，不满足奇偶性. 【详解】A选项，，故在上单调递减，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数， 当时，，在上单调递增，B正确； C选项，定义域为， ，故为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，， 故为奇函数，D错误. 故选：BC 41．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．，且，有 D．，“”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】对A：根据奇函数定义运算求解；对B：可求解；对C：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对D：根据函数单调性整理可得恒成立，再结合充分必要条件从而可求解. 【详解】对A：由为奇函数且定义域为，所以， 即，得，故A正确； 对B：由，因为，所以，故B错误； 对C：由，对于，且， 则， 因为，所以，即，又因为， 所以，所以函数在其定义域上为增函数， 所以且，有，故C正确； 对D：充分性：当，因为，由为增函数，所以，故充分性满足； 必要性：由为增函数，当恒成立，因为， 所以，解得或，故必要性不满足； 综上可知“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：ACD. 42．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数为奇函数，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在定义域上是单调减函数 C． D．函数所有零点之和大于零 【答案】AC 【分析】根据求解可判断A；取特值验证可判断B；通过观察法求值域可判断C；根据奇函数的对称性即可判断D. 【详解】对A，由得的定义域为， 因为为奇函数，所以，解得，A正确； 对B，由上知，， 因为， 所以，显然不满足减函数定义，B错误； 对C，因为，所以， 所以，所以， 所以，C正确； 对D，因为函数和均为奇函数， 所以是定义在上的奇函数， 由对称性可知，若是的一个零点，则也是的一个零点， 所以，的所有零点之和等于0，D错误. 故选：AC 43．（22-23高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】A选项，由于恒成立，故定义域为R；B选项，分离常数得到，根据，得到，求出值域；C选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；D选项，为增函数且，推出为增函数. 【详解】A，因为，所以， 所以函数的定义域为R，故A正确； B，， ， 故， 所以函数的值域为，故B正确； C，函数定义域为R，， 所以函数是奇函数，故C正确； D，函数是增函数，且， 所以函数是减函数， 所以函数是增函数， 故是增函数，故D不正确． 故选：ABC 44．（23-24高一上·山东济宁·期末）计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为，则下列说法中正确的是（    ） A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等 C．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1 D．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是，，，则 【答案】ACD 【分析】根据题意结合增长率公式与指数式的运算，即可判断出答案． 【详解】对于选项A：令，可得， 所以在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB，故A正确； 对于选项B：因为不是定值， 可知计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存不相等，故B错误； 对于选项C：因为， 所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1，故C正确； 对于选项D：由题意可得：，可得， 则，即，故D正确； 故选：ACD. 45．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的奇函数和偶函数，且，下列选项正确的是（    ） A．的最小值为1 B． C． D．，恒有的充分不必要条件为 【答案】ABC 【分析】由题意可结合函数的奇偶性及不等式组法解出的解析式，借助解析式逐项判断即可得. 【详解】因为：是定义在上的奇函数和偶函数， 所以有：，即， 解得：， 对于A，，当且仅当时，等号成立， 故，故A正确； 对于B，，， 故，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由函数，可得其在上单调递增， 可将，恒有成立， 转化为对恒成立， 即对恒成立， 当时，有，不符， 当时，有，即， 故为其充要条件，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 46．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 47．（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 48．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】设，利用奇函数的定义可得出，结合指数运算可得出实数的值. 【详解】设，则，可得，即函数的定义域为， 则，即， 即，解得. 故答案为：. 49．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知偶函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由时，，可知函数在上单调递增，于是有，即，求解即可. 【详解】当时，单调递增，因为为偶函数， 所以不等式转化为， 则，解得． 故答案为： 50．（23-24高一上·浙江宁波·期末）设函数，若对任意，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性与值域，根据题意以及数形结合额可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设函数在、上的值域分别为、， 当时，函数在上为增函数，函数在上为增函数， 此时，函数在上为增函数， 当时，即当时，函数在上为增函数， 当时，则，则， ①当且时，，即， 此时，函数在上为增函数，则，即， 由题意可知，，则，解得，此时，； ②当时，函数在上为增函数，则， 当时，， 当时，，则，此时，， 当时，，则， 此时，， 如下图所示：    若对任意，都存在唯一的，使得， 只需，解得，此时，； ③当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，， 当时，，则，此时，， 当时，，则，如下图所示：    若对任意，都存在唯一的，使得， 只需，解得，与矛盾，此时，不存在， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数值相等求参数的取值范围，解题的关键在于对参数进行分类讨论，结合图形将题中的信息等价转化为不等式求解. 四、解答题 51．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可得解； （2）利用换元法，分类讨论的取值范围，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）若函数是上的奇函数， 则，即，此时， 经检验满足，符合题意，故； （2）令，则，原函数可化为， 因为函数在上的最小值是4， 即在时的最小值为4，故， 当时，在上单调递增，此时没有最小值，不符合题意； 当时，，当且仅当，即时取等号， 所以，即. 52．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解，要注意验证； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）通过函数性质把问题转化为对任意，有恒成立，换元，利用二次函数性质求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以， 又，即，所以，当，时，， 此时，所以为奇函数，故，； （2）函数在上单调递增，证明如下： 因为，设， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以在上单调递增； （3）因为为奇函数，所以不等式可变形为， 又在上单调递增，所以， 即对任意，有恒成立， 令，则，所以，， 故，所以，故实数的取值范围为. 53．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式解法得，再由指数函数单调性求解； （2）分离参数，得，利用基本不等式求最值，即可. 【详解】（1）当时，，即， 则， ， ， . 故不等式的解集为. （2）即. ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的取值范围是. 54．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2)或. 【分析】（1）首先求得函数表达式，分离常数即可判断，按定义法证明即可. （2）由单调性解不等式结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）函数在上是增函数． 证明如下： 由已知，则，即，解得， 所以， 任取，且， 则 ， 因为，所以，即， 又，，所以， 即，则， 所以函数在上为增函数． （2）由（1）知函数在上为增函数， 由，可得 ， 即，，解得或， 所以的取值范围为或. 55．（23-24高一上·河南三门峡·期末）已知函数满足，有． (1)求的解析式； (2)若，函数，且，，使，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过列方程组的方法来求得的解析式； （2）先求得的值域，利用换元法，结合函数的单调性求得的值域，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）， 将x替换成，得， 联立两式，，解得． （2）因为在上单调递增， 所以， 对于，不妨取， 则， 因为，所以，， 则，即，故在上单调递增， 又在上单调递增，且在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，，所以在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递增， 则，， 因为，，使， 所以的值域是的值域的子集． 故，即，解得（负值舍去）， 所以． 【点睛】求解两个函数相等的恒成立、存在性问题，可以转化为两个函数值域的包含关系，列不等式来进行求解.求解对钩型函数的单调性、值域等问题，可以先判断出函数的单调性，从而求得函数的值域（或最值）. 56．（23-24高一上·广东广州·期末）函数（且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值，并判断的单调性，并证明； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递增，证明见详解； (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可，判断出函数在R上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由（1）知在上单调递增，得，问题转化为，利用函数单调性求出最值得解. 【详解】（1）由题意，得，解得， 当时，，则， 所以函数为奇函数，合题意，故. 函数为R上的增函数.证明如下： 任取，且，则 ， ，，即，，， 所以，即， 所以函数为R上的增函数. （2）由（1）得在上单调递增，， 存在，使得成立，即， 令，易知在上单调递增， 所以.即，当且仅当时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：第二问，由在上单调递增，得，将原问题转化为，只需即可，换元令，在上单调递增，求出最小值可得的取值范围. 57．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断在上的单调性并简单说明理由（不必证明）； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3)不等式的解集为 【分析】（1）直接由奇函数性质求解，并检验即可. （2）由复合函数单调性判断，用定义结合指数函数单调性说明理由即可. （3）由奇函数性质以及单调性将不等式等价转换求解即可. 【详解】（1）由题意，解得，此时， 而它的定义域为关于原点对称，且， 所以经检验满足题意. （2）由题意在上单调递增，理由如下： 不妨设，则 ， 即， 所以函数在上单调递增. （3）由题意， 又因为函数在上单调递增， 所以，即， 解得，即不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：指数运算和指数函数期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：指数幂的运算 · 考点02：指数函数的解析式 · 考点03：求指数函数的值域 · 考点04：指数函数定点与图像问题 · 考点05：指数幂的大小比较 · 考点06：由指数单调性解不等式 · 考点07：指数型函数的单调性问题 · 考点08：指数函数的最值问题（参数、恒成立） · 考点09：指数函数的应用 · 考点10：指数函数的综合类型问题 【知识梳理】 知识点01：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点02．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 考点三：.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 【题型归纳】 题型一：指数幂的运算 1．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）化简： . 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 题型二：指数函数的解析式 4．（22-23高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 5．（22-23高一下·贵州黔东南·期末）已知指数函数的图像经过点，则 ． 6．（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 题型三：求指数函数的值域 7．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（2023高三·全国·专题练习）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 9．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：指数函数定点与图像问题 10．（23-24高一上·安徽·期末）函数在上的大致图象为（    ） A．   B．   C．    D．    11．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型五：指数幂的大小比较 13．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·北京延庆·期末）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·广西百色·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型六：由指数单调性解不等式 16．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 17．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 18．（23-24高一上·四川凉山·期末）不等式的解集为 ． 题型七：指数型函数的单调性问题 19．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·四川成都·期末）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八：指数函数的最值问题（参数、恒成立） 22．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）函数的最小值为 ，此时 ． 23．（21-22高一上·湖南长沙·期末）设，，函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 24．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：指数函数的应用 25．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 26．（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（    ） A． B． C． D． 题型十：指数函数的综合类型问题 28．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数的值并判断函数单调性（无需证明）； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 29．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 30．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 31．（22-23高一上·天津·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·广西玉林·期末）2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力．该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量）与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·安徽宣城·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   37．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 38．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 40．（23-24高一上·江苏南通·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B．函数的值域为 C．，且，有 D．，“”是“”的充分不必要条件 42．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数为奇函数，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在定义域上是单调减函数 C． D．函数所有零点之和大于 43．（22-23高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 44．（23-24高一上·山东济宁·期末）计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为，则下列说法中正确的是（    ） A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等 C．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1 D．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是，，，则 45．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的奇函数和偶函数，且，下列选项正确的是（    ） A．的最小值为1 B． C． D．，恒有的充分不必要条件为 三、填空题 46．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 47．（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 48．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数为奇函数，则实数 ． 49．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知偶函数，则不等式的解集是 ． 50．（23-24高一上·浙江宁波·期末）设函数，若对任意，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是 . 四、解答题 51．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 52．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 53．（23-24高一上·河北承德·期末）已知函数. (1)若，解不等式； (2)若关于的方程有解，求的取值范围. 54．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 55．（23-24高一上·河南三门峡·期末）已知函数满足，有． (1)求的解析式； (2)若，函数，且，，使，求实数a的取值范围． 56．（23-24高一上·广东广州·期末）函数（且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值，并判断的单调性，并证明； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 57．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断在上的单调性并简单说明理由（不必证明）； (3)解关于t的不等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$