精品解析：广东省深圳市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

2024—2025学年深圳外国语学校九年级（上）第2次月考 一．选择题（共8小题，每题3分） 1. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看得到的图形是， 故选：B． 2. 已知函数y=（m+2）x是反比例函数，则m的值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义得到m2-5=-1，且m+2≠0，由此求得m的值． 【详解】依题意得：m2-5=-1，且m+2≠0， 解得m=2． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 3. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（ ） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，由条件确定出为的中位线是解题的关键．由菱形的周长可求得的长，再利用三角形中位线定理可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，且O为的中点． ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径，必垂直于这条弦 B. 圆的切线垂直于圆的半径 C. 三点确定一个圆 D. 同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的确定，垂径定理的推论，切线，圆周角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平分弦（非直径）的直径，必垂直这条弦；过半径的外端且垂直半径的直线是圆的切线；不共线的三点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等；逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径，必垂直这条弦，故该选项错误； B、圆的切线垂直于过切点的圆的半径，故该选项错误； C、不共线的三点确定一个圆，故该选项错误； D、同弧所对的圆周角相等，故该选项正确； 故选： D． 5. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值等于（　　） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数图象所在的象限确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于3， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＜0， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质． 6. 如图，在四边形中，，，E是上一点，且．若，则与的数量关系正确的是（　　） A. CE=DE B. CE=DE C. CE=3DE D. CE=2DE 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作，利用勾股定理可得的长，利用相似三角形的判定定理可得，设 ，由相似三角形的性质可解得x，易得与的关系． 【详解】解：过点D作， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， 即，解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，构建直角三角形，利用方程思想是解答此题的关键． 7. 如图，是的直径，点C是上一点，且点D是的中点，过点D作的切线与的延长线交于点E，连接．若， ，则直径的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图（见详解），连结OD、OC， 先由切线的性质定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理以及圆的性质得到，从而推出，进而求出边ED长．最后过点O作 ，解直角梯形ODEA，把OA求出来，即可得到直径AB的长． 【详解】解：连结OD、OC，过点O作 ， ∵ED是的切线，且D在上， ∴，即：， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴OH=6， 设 ，则， 在中，运用勾股定理得：，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，以及解直角三角形的运用．证明四边形ODEA是直角梯形，从而通过解直角梯形求出边长OA，是解决本题的关键．圆的切线的性质定理是：圆的切线垂直于经过切点的半径．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理是：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等． 8. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴是直线x＝2， ∴﹣＝2， ∴b＝﹣4a＜0 ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵b＝﹣4a，a＞0， ∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确， 观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误， 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A， ∵b＜0， ∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确． ∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a）， 过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K． ∵AM⊥CM， ∴∠AMC＝∠KMH＝90°， ∴∠CMH＝∠KMA， ∵∠MHC＝∠MKA＝90°， ∴△MHC∽△MKA， ∴＝， ∴＝， ∴a2＝， ∵a＞0， ∴a＝，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二．填空题（共5小题，每题3分） 9. 中，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 10. 已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是____． 【答案】相交 【解析】 【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交． 故答案是：相交． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系． 11. 轮船从处以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行半小时到达处，在观测灯塔北偏东方向上，则处与灯塔的距离是_______海里． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查方位角，等腰三角形的性质与判定；根据题中所给信息，求出，再求出，从而得到为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质即可求解． 【分析】根据题意，得， ， ， ， 为等腰直角三角形， 海里， 海里． 故答案为：． 12. 如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若 的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用 的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， D为的中点， ， 轴， 的面积为3， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 13. 已知的直径为，点C是上的动点，点D是的中点，延长线交于点E，则的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，以为直径作，当直线切于D时，的值最大． 【详解】解：如图，连接， 因为，所以， 所以 ． 所以点D在以为直径的圆上运动． 以为直径作，作于F， ,, 是直径， ， , ， ∴， ∴， ∴， ∵， , ， 当直线切于D时，即、两点重合，的值最大． 是的切线， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共7小题） 14. 解决下面问题 （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用绝对值的代数意义，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算即可求出值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：原式． 15. 已知二次函数， （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； 0 1 2 3 4 3 0 （2）当________时，随的增大而减小； （3）当时，的取值范围是________； （4）根据图象回答：当时，的取值范围是________． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的画法，理解二次函数图象的画法是解答关键． （1）补全列表，用描点法画出函数图象． （2）观察图象来求解． （3）观察图象来求解． （4）观察图象来求解． 【小问1详解】 解：补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； 0 1 2 3 4 3 0 0 3 【小问2详解】 解：根据图像可知，当 时，随的增大而减小． 故答案为：． 【小问3详解】 解;根据图像可知，当时，的取值范围是． 故答案为：或． 【小问4详解】 解：根据图象回答：当时，的取值范围是． 故答案为：． 16. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）7米；3米 （2）18平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 17. 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得 元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有间且全部用于出租储存货物． （1）用含的式子表示该宾馆每天的总利润w是_______元； （2）若游客居住每天带来的那部分总利润为元时，求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元？ （3）该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）元； （3）每间房价定价为元，宾馆每天的总利润最大为元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据游客居住每天带来的那部分总利润为元，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先根据题意确定的取值范围为，结合（1）中结论可得，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，设空闲房间有间时， ∵宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲， ∴供游客居住的房间数是间，每个房间每天的定价是元时， ∵每个空闲房间每天储存货物可获得 元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出元的各种费用， ∴每个空闲房间每天储存货物可获得元的利润，游客居住房间每个房间每天可获得元的利润， ∴该宾馆每天的总利润， 故答案为：． 【小问2详解】 解：若游客居住每天带来的那部分总利润为元时， 则游客居住每天带来的那部分总利润为， 解得：（舍）， ∴空闲房间每天储存货物获得的总利润是（元）； 【小问3详解】 解：∵该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，且宾馆有个房间供游客居住， 故，且， 故x的取值范围为， 由（1）得， ∵ ，且二次函数对称轴为直线 ， ∴当（x为整数）时，w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大值为， 此时，每间房价定价为（元），宾馆每天的总利润最大为元． 18. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作 ，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 于点， ∴ ， ∵是的半径，且 ， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质推出 ，结合 得到 ，从而根据切线判定定理完成证明． （2）先利用为直径得到，设 ，在 中用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；再通过矩形性质得到的长度，最后在 中用勾股定理计算 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，延长 交于点， ∵是的直径， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ， ， ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理，结合等腰三角形与矩形的性质进行边角转化是解题的关键． 19. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 【答案】（1）y关于x的关系式为 （2）动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 （3）①运动员甲不能成功完成此动作；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． （1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式； （2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果； （3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； ②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为，代入，，， 得， 解得， y关于x的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得 ，（不合题意，舍去）， 运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； 【小问3详解】 解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即， 把代入， 得， 解得， （不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 20. 在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作．如图，在一个边长为的正方形中，点是边上的一个动点，将 沿翻折到，他们想要探究点的运动情况： 由折叠的性质，线段的长度不变，即，因此点的对应点在一个以为圆心，以的长度为半径的圆弧上运动． （1）当时，因为 的圆周角所对的弦是直径，可以认为点在以为直径的圆上，在图中用直尺和圆规确定点、的位置，保留作图痕迹，不写作法； （2）在（1）的条件下，利用图求的长；（不要破坏图尺规作图痕迹） （3）当为等腰三角形时，请利用备用图探究并直接写出线段的长：_______． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以为半径画，作的垂直平分线，交于点，以点为圆心为半径画，交于点，分别以点、为圆心以大于为半径画弧交于点，连接交于点，连接、、即可； （2）过点作于点，交于点，过点作于点，由得，进而可得，，根据三角形面积公式可得，进而得出，证明得，求得， ，设，由翻折得，则，再利用勾股定理建立方程求解即可得出答案； （3）根据等腰三角形性质分三种情况：当时，当时，当时，分类讨论即可求得答案． 【小问1详解】 解：以点为圆心，以为半径画，作的垂直平分线，交于点，以点为圆心为半径画交于点，分别以点、为圆心以大于为半径画弧交于点，连接交于点，连接、、、， ∵四边形是正方形， ∴ ，， ∵在上， ∴，即点在的垂直平分线上， ∵点到点、两点的距离相等，即点在的垂直平分线上， ∴垂直平分线， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴将 沿翻折到， ∵是的直径， ∴， ∴点、即为所作； 【小问2详解】 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵四边形是正方形且边长为， ∴，， ∵将 沿翻折到， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 【小问3详解】 设， 当时，过点作交于，交于，如图， ∵， ∴ 是等边三角形， ∵， ， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 当时，连接，如图， 则， ∵∵将 沿翻折到， ∴，， ∵ ， ∴，即， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴； 当时，则，如图， 此时，点与点重合，点与点重合， ∴不存在． 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形和正方形综合题，考查了尺规作图—作线段的垂直平分线、作圆弧，直径所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，正方形的性质，翻折变换的性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等．熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年深圳外国语学校九年级（上）第2次月考 一．选择题（共8小题，每题3分） 1. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数y=（m+2）x是反比例函数，则m的值是（　　） A. 2 B. C. D. 3. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（ ） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径，必垂直于这条弦 B. 圆的切线垂直于圆的半径 C. 三点确定一个圆 D. 同弧所对的圆周角相等 5. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于3，则k的值等于（　　） A. B. 6 C. D. 3 6. 如图，在四边形中，，，E是上一点，且．若，则与的数量关系正确的是（　　） A. CE=DE B. CE=DE C. CE=3DE D. CE=2DE 7. 如图，是的直径，点C是上一点，且点D是的中点，过点D作的切线与的延长线交于点E，连接．若， ，则直径的长为（ ） A. 12 B. C. D. 8. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，每题3分） 9. 中，若，则_______． 10. 已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是____． 11. 轮船从处以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行半小时到达处，在观测灯塔北偏东方向上，则处与灯塔的距离是_______海里． 12. 如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若 的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ______． 13. 已知的直径为，点C是上的动点，点D是的中点，延长线交于点E，则的最大值为_______． 三．解答题（共7小题） 14. 解决下面问题 （1）解方程：； （2）计算：． 15. 已知二次函数， （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； 0 1 2 3 4 3 0 （2）当________时，随的增大而减小； （3）当时，的取值范围是________； （4）根据图象回答：当时，的取值范围是________． 16. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 17. 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得 元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有间且全部用于出租储存货物． （1）用含的式子表示该宾馆每天的总利润w是_______元； （2）若游客居住每天带来的那部分总利润为元时，求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元？ （3）该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？ 18. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作 ，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若， ，求的长． 19. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 20. 在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作．如图，在一个边长为的正方形中，点是边上的一个动点，将 沿翻折到，他们想要探究点的运动情况： 由折叠的性质，线段的长度不变，即，因此点的对应点在一个以为圆心，以的长度为半径的圆弧上运动． （1）当时，因为 的圆周角所对的弦是直径，可以认为点在以为直径的圆上，在图中用直尺和圆规确定点、的位置，保留作图痕迹，不写作法； （2）在（1）的条件下，利用图求的长；（不要破坏图尺规作图痕迹） （3）当为等腰三角形时，请利用备用图探究并直接写出线段的长：_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $