2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（9）解三角形（新高考地区专用）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（9） 解三角形 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】由可得：， 所以，又， 所以或， 结合内角和定理，所以或， 故选：C 2．在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由正弦定理可得，即， 故， 由于，故， 故选：B 3．已知的内角的对边分别是.若，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意知中，，故， 故，（R为外接圆半径）， 故， 故选：D 4．已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 要使满足条件的三角形不唯一，则，即. 故选：A 5．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，∴， ∵，∴，即， ∴， ∴. 故选：B 6．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 7．已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得， 整理可得， 因为，则，可得，所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 所以， 故选：B. 8．在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，，则， 则在中由余弦定理可得， 即，所以， 由角平分线定理可得，所以. 又， 故， 化简得①， 而在△中由余弦定理， 代入①得.又因为，所以，所以， 故. 所以， 所以， 令或（舍去）， 所以当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以时，取得最小值，即取得最小值. 所以取得最小值时，. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以， ， 因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确； 对于B：由及正弦定理，可得， 即，所以或，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错； 对于C：由及正弦定理化边为角， 可知，即， 因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确； 对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确； 故选：ACD. 10．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A：，由正弦定理得， 即，即， 因为，所以，所以，， 因为，则， 令外接圆的半径为, 根据正弦定理可得，即，故A正确； 对于C：由余弦定理知，， 因为，，所以，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，故C正确； 对于B：由C知，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故B错； 对于D：因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 11．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A．边上的高为 B．为定值 C．的最小值为2 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对A，边上的高为，由题意，故A正确； 对B，由正弦定理即， 故， 又锐角，故，即，故B正确； 对C，， 又，故 ，当且仅当， 即时取等号，此时，，与锐角矛盾，故C错误； 对D，， 即，又，即， 故，解得，故. 则，即，解得. 故，，或，. 不妨设，， 则，， 故，，， 故，由正弦定理，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，分别为内角的对边，若，且，则__________. 【答案】2 【解析】因为，则， 所以， 又因为， 即，解得， 又由， 根据正弦定理，可得， 由余弦定理可得 ， 整理得，即. 故答案为：. 13.如图，在中，，，、是边上的两点，且，则______． 【答案】## 【解析】因为，，则， 不妨设，则， 因为，则， 所以，，同理可得， 因为，则， 故， 由二倍角的余弦公式可得，可得， 所以，. 故答案为： 14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】由，得，因为，，所以， 设外接圆的圆心为，半径为， 则由正弦定理得， 如图所示，取的中点， 在中，； 在中， ，当且仅当圆心在上时取等号，所以的最大值是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（9） 解三角形 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2．在中，，则（ ） A. B. C. D. 3．已知的内角的对边分别是.若，则（ ） A． B． C．2 D．3 4．已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8．在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 10．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 11．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A．边上的高为 B．为定值 C．的最小值为2 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，分别为内角的对边，若，且，则__________. 13.如图，在中，，，、是边上的两点，且，则______． 14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$