精品解析：陕西省西安市铁一中学2024-2025学年上学期九年级第二次月考数学试卷

2024年西安铁一中初三第二次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共10小题，共计30分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） A. 南偏西方向 B. 南偏东方向 C. 北偏西方向 D. 北偏东方向 4. 高的旗杆在水平地面上的影长为，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 对于相似三角形，下列说法中错误的是（ ） A. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 B. 顶角相等的两个等腰三角形一定相似 C. 两边成比例的两个三角形一定相似 D. 任意两个等边三角形一定相似 6. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 7. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 10. 二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②关于的方程的两个根是，；③；④当时，的取值范围是；⑤当时，随的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④⑤ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共6小题，共计18分） 11. 已知，则__________． 12. 已知两个相似三角形的面积之比为4：9．那么这两个相似三角形的对应边之比是__________． 13. 如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝__． 14. 如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则______cm． 15. 若，，为二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系是____________________．（用“”连接） 16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题（共9小题，共计72分，解答题要写出过程） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 计算： （1）： （2）． 19. 已知：矩形，求作：在边、上分别取点E、F，使得四边形为菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20. 已知：如图，在菱形中，，分别是和上的点，且．求证： （1）； （2）． 21. 贵阳东高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从贵阳东到重庆西的高铁一等座车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“王某被分配到A 座位”的概率是 （2）利用画树状图或列表的方法，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 22. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点． （1）填空：______，______． （2）连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 23. 走走和莹莹要使用无人机采集一组航拍资料．如图，在航拍时，莹莹在处测得无人机的仰角为，同时走走登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）． （1）求莹莹和走走两人之间的距离；（结果保留根号） （2）求此时无人机的高度．（，，，结果精确到1米） 24. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. （1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. （2）一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 25. 如图1，矩形中，，，点E为边上的动点，连接．过点E作于点F，点G为的中点，连接，，． （1）求证：； （2）设，的面积为S， ①求S与x的函数关系式； ②如图2，点M在上，且，连接交所在的直线于点N，当点G是线段的三等分点时，请直接写出S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年西安铁一中初三第二次月考试卷 一、选择题（每小题3分，共10小题，共计30分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的意义判断即可． 【详解】根据题意，该几何体的左视图为： ， 故选B． 【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键． 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求锐角的正切值，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：A． 3. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） A. 南偏西方向 B. 南偏东方向 C. 北偏西方向 D. 北偏东方向 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向． 故选D． 【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 4. 高的旗杆在水平地面上的影长为，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先设建筑物的高为米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出的值，即可求解． 【详解】解：设建筑物的高度为米，根据题意得， ， 解得： 故选：B． 5. 对于相似三角形，下列说法中错误的是（ ） A. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 B. 顶角相等的两个等腰三角形一定相似 C. 两边成比例的两个三角形一定相似 D. 任意两个等边三角形一定相似 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，符合相似三角形的判定定理，故本选项正确； B、顶角相等的两个等腰三角形一定相似，符合相似三角形的判定定理，故本选项正确； C、两边对应成比例的两个三角形相似，不符合相似三角形的判定定理，故本选项错误； D、任意两个等边三角形一定相似，符合相似三角形的判定定理，故本选项正确； 故选： C． 6. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 7. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：设菱形的对角线交于点，则：， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选D 8. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得到的新抛物线的解析式为：； 故选A． 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 连接，利用，结合三角形面积公式解题． 【详解】解：连接， ∴点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ， ∵轴， 轴， ， 故选：C． 10. 二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②关于的方程的两个根是，；③；④当时，的取值范围是；⑤当时，随的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④⑤ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线与轴有两交点可得，可判断①；由抛物线对称轴为直线可得与的关系，由抛物线经过可得，可判断③；由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一交点坐标，从而可得方程的两个根，可判断②；进而可得时，的取值范围，可判断④；由图象可得时，随增大而增大，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ， ∴，①正确； ∵抛物线对称轴为直线， ， ， ∵抛物线经过， ∴，③错误； ∵抛物线与轴交与， ∴抛物线与轴另一交点坐标为， ∴方程的两个根是，②正确； ∴时，，④正确； 由图象可得时，随增大而增大， ∴⑤正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共计18分） 11. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据已知可得，，，代入求解即可． 【详解】解：，且， ，，， ， 故答案为：． 12. 已知两个相似三角形的面积之比为4：9．那么这两个相似三角形的对应边之比是__________． 【答案】2：3 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可得结论． 【详解】解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方． ∴两个相似三角形的面积之比为4：9时， 这两个相似三角形的对应边之比是2：3． 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 13. 如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝__． 【答案】150°． 【解析】 【分析】先根据正方形和等边三角形的性质得出AB＝BE，∠ABE＝30°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝90°，BE＝CB＝CE，∠EBC＝∠BEC＝60°， ∴AB＝BE，∠ABE＝30°， ∴∠BEA＝（180°﹣30°）＝75°， 同理：∠CED＝75°， ∴∠AED＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°， 故答案为：150°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键． 14. 如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，则，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故的长为． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键． 15. 若，，为二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系是____________________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，，为二次函数的图象上的三个点，且， ∴； 故答案为：． 16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共计72分，解答题要写出过程） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴， ∴或 解得： 18. 计算： （1）： （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 19. 已知：矩形，求作：在边、上分别取点E、F，使得四边形为菱形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图： 【解析】 【分析】连接，作的垂直平分线分别交，于，，连接，，则四边形是菱形． 【详解】解：连接，作的垂直平分线分别交，于，，连接，，则四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 20. 已知：如图，在菱形中，，分别是和上的点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵菱形， ∴， 在和中 ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，熟练掌握菱形的性质，是解题的关键： （1）菱形的性质，得到，利用即可得证； （2）证明即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 贵阳东高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从贵阳东到重庆西的高铁一等座车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“王某被分配到A 座位”的概率是 （2）利用画树状图或列表的方法，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法与树状图法等知识点，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）一排中的座位编号为A，B，C，D，F，然后根据概率的定义即可解答； （2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：一排中的座位编号为A，B，C，D，F，则王某分配座位有5种可能，所以“王某被分配到A 座位”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 22. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点． （1）填空：______，______． （2）连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入直线中，即求出m的值，即可得出A点坐标，将A点坐标打代入反比例表达式，求出k即可； （2）令直线，求出C点坐标，再将一次函数和反比例函数联立构造方程组求出B点坐标，直接利用，即可求出结果； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，再结合点A、点B的坐标和图象即可得出结果． 【小问1详解】 将点坐标代入直线，得： 故 将代入，得 ， 故答案为：6 6 【小问2详解】 令直线中，得 故 两个函数联立成方程组，得： 解得或 故 ； 【小问3详解】 根据图像可知：当或时， 【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键． 23. 走走和莹莹要使用无人机采集一组航拍资料．如图，在航拍时，莹莹在处测得无人机的仰角为，同时走走登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）． （1）求莹莹和走走两人之间的距离；（结果保留根号） （2）求此时无人机的高度．（，，，结果精确到1米） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡比问题，仰角俯角问题，掌握三角函数关系是解题的关键． （1）根据坡比的定义和勾股定理即可求解； （2）过点作于点，解即可求解． 【小问1详解】 解：走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米， （米， （米； 答：莹莹和走走两人之间的距离为米； 【小问2详解】 解：设米，如图所示，过点作于点， ，米，则米， ， 米， 米， 在中，， ， 解得：， 米． 答：此时无人机的高度约为米． 24. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. （1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. （2）一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1） （2）这辆货车能安全通过 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【小问1详解】 解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； 【小问2详解】 根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 25. 如图1，矩形中，，，点E为边上的动点，连接．过点E作于点F，点G为的中点，连接，，． （1）求证：； （2）设，的面积为S， ①求S与x的函数关系式； ②如图2，点M在上，且，连接交所在的直线于点N，当点G是线段的三等分点时，请直接写出S的值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， 在中，为中点， ． ， ， ， ， ， ，， ，， ； （2）①②或 【解析】 【分析】（1）如图1，先根据直角三角形斜边中线可得，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论； （2）①如图2，过作于点，证明，令，则，，，，根据三角形面积公式和勾股定理可得结论；②过点G作于点P，分，，两种情况讨论，证明，求出，再证明，求出，进而求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图2，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，，，， ， ，， ， ， ； ②过点G作于点P，如图，当时， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， 同理，，， ∴， ∴； 综上，当点G是线段的三等分点时，S的值为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及直角三角形的性质，勾股定理，注意准确作出辅助线、充分利用相似三角形的对应边成比例是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $