专题03 概率初步（基础+中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题03 概率初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、事件的分类 【解惑】下列事件是必然事件的是（　　） A．四边形内角和是 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．车辆随机到达路口，遇到绿灯 【融会贯通】 1．康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（    ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 2．“小红所在班级中有位同学的身高是10米”是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 3．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 类型二、概率的理解 【解惑】下列说法正确的是（　　） A．打开电视，正在播放新闻节目是必然事件 B．抛一枚硬币，正面朝上的概率为，表示每抛两次就有一次正面朝上 C．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为 D．任意画一个三角形，它的内角和等于 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 C．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 D．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 2．在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为 ． 3．中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是 ． 类型三、频率与概率 【解惑】做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【融会贯通】 1．下列说法错误的是（    ） A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4 D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件 2．今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是 ． 3．党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据： 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽 28 72 125 200 457 814 1187 2185 依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01） 类型四、已知概率求数量 【解惑】一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同，那么m与n必满足的关系是（    ） A． B． C． D．， 【融会贯通】 1．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球（   ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 2．为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为 个． 3．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 类型五、几何概率 【解惑】如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（    ） A． B． C． D． 2．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ． 3．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 类型六、由频率估计概率 【解惑】小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 【融会贯通】 1．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率                                              随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（    ）（精确到）． A． B． C． D． 2．为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083 试估计“点落入小正方形区域内”的概率 （精确到0.01）． 3．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 类型七、列表法或树状围法求概率 【解惑】“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题∶ (1)本次参与问卷调查的学生共有_________人，扇形统计图中“合格”所对应的百分比为_________； (2)补全条形统计图； (3)该校某班有4名同学（2名男同学，2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【融会贯通】 1．为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． (1)杨老师选择座位的可能性为______． (2)请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率． 2．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为 ． (2)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． 3．2022年8月8日至20日，云南省第十六届运动会将在玉溪市举行，为全面发挥省运会在我省体育事业发展中的引领和示范作用，本届省运会进行了多项改革创新．其中大众组与上届相比，保留轮滑和棋牌项目，新增篮球、足球、射弩和工间操4个大项．某体育兴趣小组收集到了工间操、射弩、轮滑、棋牌四个项目的比赛规则，并制作了编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图，除图案和编号外，背面无其他差异），并将他们背面朝上洗匀后放在桌子上． (1)从中随机抽取一张，抽到“射弩”的概率为 ； (2)若甲同学从4张卡片中随机抽取1张不放回，乙同学再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述对应卡片上的比赛规则，请用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求甲、乙两人中至少有一人讲述本届运动会新增项目的比赛规则的概率． 类型八、游戏的公平性 【解惑】家住某一小区一单元的甲、乙二人同时从地车库进入电梯回家，已知两人1至4层任意一层出电梯． (1)用画树状图或列表法表示所有可能结果．并求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率． (2)小亮和小芳打赌，若甲、乙住在同楼层或相邻楼层，则小亮胜，否则小方胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【融会贯通】 1．游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． (1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____； (2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明； (3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？ 2．顺德区某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜：若和等于4，则小亮获胜． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明小明参加广绣研学课程的概率是多少？ (3)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 3．在一个不透明的口袋里装有分别标注，，的个小球（小球除数字外，其余都相同），另有张背面完全一样、正面分别写有数字，，的卡片．现从口袋中任意摸出一个小球，再从这张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片． (1)请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； (2)求这两次摸出的数字，至多有一次是“”的概率； (3)小红和小莉做游戏，制定了游戏规则：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢这个游戏规则公平吗？请说明理由． 【一览众山小】 1．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 2．某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 3．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．鱼戏莲叶东 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 4．“服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是 ． 5．如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 6．如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 7．某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，调查问卷和结果如下： 中小学生每周参加家庭劳动时间分为5组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．对于每周参加家庭劳动时间不足的学生，影响他们每周参加家庭劳动的主要原因有： A．没时间；B．家长不舍得；C．不喜欢；D．其他．请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第_____组； (2)求在本次被调查的中小学生中选择“不喜欢”的人数； (3)在所调查的九年级一班学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生概率． 8．甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． (1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； (2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 概率初步思维导图 【类型覆盖】 类型一、事件的分类 【解惑】下列事件是必然事件的是（　　） A．四边形内角和是 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．车辆随机到达路口，遇到绿灯 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、四边形内角和是，是必然事件，本选项符合题意； B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，本选项不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意； D、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，本选项不符合题意， 故选：A． 【融会贯通】 1．康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（    ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，理解随机事件的概念是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念即可解答． 【详解】解：∵经过有交通信号灯的路口，可能遇见绿灯，可能遇见红灯，可能遇见黄灯， ∴经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件． 故选A． 2．“小红所在班级中有位同学的身高是10米”是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 【答案】不可能 【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此可得答案． 【详解】解：“小红所在班级中有位同学的身高是10米”是不可能事件， 故答案为：不可能． 3．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 【答案】 （3） （5） （1）（2）（4） 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断，即可解题． 【详解】解：（1）掷一枚硬币，不一定出现正面朝上；故（1）是随机事件； （2）买一张彩票有可能中一百万；故（2）是随机事件； （3）；故（3）是必然事件； （4）任意买一张电影票，座位号不一定是双号；故（4）是随机事件； （5）向空中抛一枚硬币，硬币一定会从空中往下掉．故（5）是不可能事件； 综上所述：必然事件有（3），不可能事件有（5），随机事件有（1）（2）（4）， 故答案为：（3）；（5）；（1）（2）（4）． 类型二、概率的理解 【解惑】下列说法正确的是（　　） A．打开电视，正在播放新闻节目是必然事件 B．抛一枚硬币，正面朝上的概率为，表示每抛两次就有一次正面朝上 C．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为 D．任意画一个三角形，它的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，概率及三角形内角和定理，正确理解各知识点的概念是解题关键．根据必然事件的定义、简单的概率公式及三角形内角和为180度逐项判断即可． 【详解】解：A、“打开电视，正在播放新闻节目”是随机事件，本选项说法错误； B、“抛一枚硬币正面向上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面向上”这一事件发生的频率稳定在附近，本选项说法错误； C、“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是3”这一事件发生的频率稳定在附近，本选项说法正确； D、任意画一个三角形，它的内角和等于，本选项说法错误． 故选：C． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 C．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 D．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，事件的分类．根据概率的意义，事件分类逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意； B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意； C、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意； D、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题的关键． 利用概率的意义直接得出答案． 【详解】∵连续抛掷一枚硬币，有种等可能结果：正面朝上，反面朝上，其中正面向上的只有种情况， ∴正面朝上的概率为：． 故答案为：． 3．中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率．熟练掌握画出树状图或列表是解题关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】将造纸术、指南针、火药和活字印刷术四张纪念卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果有：，，共2种， ∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为，． 故答案为：． 类型三、频率与概率 【解惑】做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 【融会贯通】 1．下列说法错误的是（    ） A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4 D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件 【答案】C 【分析】根据调查方式的选择判定A；根据频率估计算概率判定B；根据平均与方差计算公式判定C；根据事件发生的可能性判定D． 【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意； B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意； C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意； D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查抽样调查与普查，频率估计算概率，平均数与方差，事件分类，熟练掌握调查方式的选择原则，用频率估计算概率，平均数与方差的计算公式，根据事件发生的可能性对事伯分类是解题的关键． 2．今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 3．党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据： 种子数 30 75 130 210 480 856 1250 2300 发芽 28 72 125 200 457 814 1187 2185 依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是 ．（结果精确到0.01） 【答案】 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由题意知， 估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 类型四、已知概率求数量 【解惑】一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同，那么m与n必满足的关系是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】本题考查概率公式，由于每个球都有被摸到的可能，故可利用概率公式求出取得白球的概率与取得的不是白球的概率列等式，求出、的关系即可． 【详解】解：∵取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球（   ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．设袋中共有球x个，根据概率公式列出等式解答即可． 【详解】解：设袋中共有球x个， ∵有3个白球，且摸出白球的概率是， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解． 所以，袋子中共有球12个， 故选：C． 2．为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、频率等知识，结合频率的概念建立关于的分式方程是解题关键．设暗箱里黑球的个数为个，根据“频率稳定在附近”可得，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：设暗箱里黑球的个数为个， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以暗箱里黑球的个数为9个． 故答案为：9． 3．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查概率公式，根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有个棋，再根据概率公式列出关系式即可． 【详解】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，共有个棋， ∵从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是， ∴可得关系式， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 类型五、几何概率 【解惑】如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案． 【详解】解：设围成的正方形的边长为a， 则正方形的对角线长为， 五号板的直角边为， ∴六号板的一边为，另一边为：， ∴六号板的面积为， 正方形的面积为：， ∴停在1号板区域的概率是； 故选：B ． 2．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查几何概率．根据几何概率的求法：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为， 其中阴影部分面积为， ∴飞镖停留在阴影部分的概率是， 故答案为：． 3．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为， 针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 类型六、由频率估计概率 【解惑】小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B．抛一枚硬币，出现反面的概率 C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率的值，掌握概率的计算方法是解题的关键． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为； C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为； D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率． 故选：C． 【融会贯通】 1．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率                                              随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（    ）（精确到）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率． 根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近， 故选：C． 2．为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083 试估计“点落入小正方形区域内”的概率 （精确到0.01）． 【答案】0.08 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入小正方形区域内”的频率逐渐稳定到0.08附近， ∴估计“点落入小正方形区域内”的概率为0.08， 故答案为：0.08． 3．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 【答案】(1)①不是② (2)草地的大体面积为16平方米 (3) 【分析】此题考查了频率估计概率，据此进行解答即可． （1）①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，据此进行解答即可；②表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，即可得到答案； （2）分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比，即可估计石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可； （3）利用几何概率进行解答即可． 【详解】（1）①解：当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率， 故选：B ②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右， ∴当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是， （2）解： 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比如下： 一组： 二组： 三组： 四组： ∴估计石子落在草地内的概率约为0.8， ∴草地的大体面积为：（平方米）， 答：草地的大体面积为平方米． （3）解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为： 类型七、列表法或树状围法求概率 【解惑】“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题∶ (1)本次参与问卷调查的学生共有_________人，扇形统计图中“合格”所对应的百分比为_________； (2)补全条形统计图； (3)该校某班有4名同学（2名男同学，2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】(1)80， (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用调查学生中“优秀”等级学生人数除以其占比，即可求得本次参与问卷调查的学生总数；利用“合格”等级学生人数除以所调查学生总数乘以，即可求得扇形统计图中“合格”所对应的百分比； （2）首先求得学习情况为“良好”的学生人数，然后补画条形统计图即可； （3）根据题意作出树状图，结合树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8种，即可获得答案． 【详解】（1）解：（人）， 即本次参与问卷调查的学生共有80人， ， 即扇形统计图中“合格”所对应的百分比为． 故答案为：80，； （2）参与调查的学生中，学习情况为“良好”的学生人数为（人）， 故可补全条形统计图，如下所示： （3）根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8种， 所以，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为． 【融会贯通】 1．为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． (1)杨老师选择座位的可能性为______． (2)请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查直接列举法和列表法或画树状图求概率，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）运用直接列举法求概率即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两位老师刚好坐同一列的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：杨老师还有三个座位可选，是等可能性的，选择座位的可能性有种，故概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两位老师刚好坐同一列的结果有种， ∴两位老师刚好坐同一列的概率为 2．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为 ． (2)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵有A指南针、B造纸术、C火药和D印刷术四张卡片， ∴小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， ∴两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 3．2022年8月8日至20日，云南省第十六届运动会将在玉溪市举行，为全面发挥省运会在我省体育事业发展中的引领和示范作用，本届省运会进行了多项改革创新．其中大众组与上届相比，保留轮滑和棋牌项目，新增篮球、足球、射弩和工间操4个大项．某体育兴趣小组收集到了工间操、射弩、轮滑、棋牌四个项目的比赛规则，并制作了编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图，除图案和编号外，背面无其他差异），并将他们背面朝上洗匀后放在桌子上． (1)从中随机抽取一张，抽到“射弩”的概率为 ； (2)若甲同学从4张卡片中随机抽取1张不放回，乙同学再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述对应卡片上的比赛规则，请用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求甲、乙两人中至少有一人讲述本届运动会新增项目的比赛规则的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）用列表法求解即可． 【详解】（1）解：因为从A、B、C、D中随机选一项，共有4种等可能结果，故恰好选中“射弩”的概率是； 故答案为：； （2）解：列表分析如下：        甲 乙 A B C D A B C D ∵共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人讲述本届运动会新增项目的比赛规则的有10种情况， ∴甲、乙两人中至少有一人讲述本届运动会新增项目的比赛规则的概率：． 类型八、游戏的公平性 【解惑】家住某一小区一单元的甲、乙二人同时从地车库进入电梯回家，已知两人1至4层任意一层出电梯． (1)用画树状图或列表法表示所有可能结果．并求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率． (2)小亮和小芳打赌，若甲、乙住在同楼层或相邻楼层，则小亮胜，否则小方胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表格，然后求概率即可； （2）分别求出小亮胜，小芳胜的概率，进行比较，然后作答即可． 【详解】（1）解：树状图如图所示： 共有种等可能的结果，甲、乙二人在同一层楼出电梯共有4种等可能的结果， ∵， ∴甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率为； （2）解：游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，甲、乙住在同楼层或相邻楼层有10种等可能的结果， 小亮胜的概率为； 则小芳胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 【融会贯通】 1．游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． (1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____； (2)如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明； (3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)公平，见解析 【分析】本题考查列表法或画树状图法的概率计算，得到所有的等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先画树状图法得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可； （3）首先求出某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况， ∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为； （2）解：列表如下： 小刚二叔 小刚父亲 A B C D 由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种， ∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为； （3）解：由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为， ∵ ∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的． 2．顺德区某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜：若和等于4，则小亮获胜． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明小明参加广绣研学课程的概率是多少？ (3)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 (2)小明获胜的概率为 (3)游戏公平，原因见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率， （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． （3）结合（2）中得一共有9种等可能性的结果数，其中，两次摸到的数字之和大于4、两次摸到的数字之和小于4和两次摸到的数字之和等于4的概率相等，即可判定． 【详解】（1）解：一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， 小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，其中两次摸到的数字之和等于4的结果数有3种， 小明获胜的概率为； （3）解：游戏公平；由（2）可知 小明获胜的概率为；小红获胜的概率为；小亮获胜的概率为 游戏公平． 3．在一个不透明的口袋里装有分别标注，，的个小球（小球除数字外，其余都相同），另有张背面完全一样、正面分别写有数字，，的卡片．现从口袋中任意摸出一个小球，再从这张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片． (1)请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； (2)求这两次摸出的数字，至多有一次是“”的概率； (3)小红和小莉做游戏，制定了游戏规则：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢这个游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，， (2) (3)不公平，理由见解析 【分析】本题考查游戏的公平性及概率的计算， （1）画出树状图，然后写出所有的等可能结果； （2）根据（1）中的结果，再根据概率公式解答即可； （3）根据概率公式分别计算出小红赢的概率和小莉赢的概率，再进行比较即可； 解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比；概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能结果，分别是，，，，，，，，； （2）由（1）知，至多有一次是""的情况有种， ∴（至多有一次是""）， ∴至多有一次是“”的概率是； （3）卡片上的数字是球上数字的整数倍的有，，，，共种情况， ∴小红赢的概率是，小莉赢的概率是， ∵， ∴此规则不公平，小莉获胜的概率大． 【一览众山小】 1．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 2．某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据题意可得黑球有个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可． 【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球， ∴黑球有个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小星、小红双方公平， ∴， 解得，， 故选：B ． 3．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．鱼戏莲叶东 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 【答案】C 【分析】本题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、是随机事件，故不符合题意； B、是随机事件，故不符合题意； C、是不可能事件，故符合题意； D、是必然事件，故不符合题意； 故选：C． 4．“服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况， 所以，恰好是一男一女的概率是． 故答案为：． 5．如图，电路图上有，，三个开关、一个灯泡和一节电池，当闭合开关或者同时闭合开关，时，灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则灯泡发光的概率等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；用列举法求概率的基本步骤如下：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【详解】解：现任意闭合其中一个开关，则一次试验的所有可能结果共有种，即： 闭合，闭合，闭合， 满足要求的结果数共有种，即： 闭合， （灯泡发光的概率）， 故答案为：． 6．如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据平行四边形的性质得，则阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的，然后根据几何概率的意义求解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的， ∴小石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 7．某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，调查问卷和结果如下： 中小学生每周参加家庭劳动时间分为5组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．对于每周参加家庭劳动时间不足的学生，影响他们每周参加家庭劳动的主要原因有： A．没时间；B．家长不舍得；C．不喜欢；D．其他．请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第_____组； (2)求在本次被调查的中小学生中选择“不喜欢”的人数； (3)在所调查的九年级一班学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生概率． 【答案】(1)二 (2)在本次被调查的中小学生中选择“不喜欢”的人数为175人 (3) 【分析】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识和概率公式、画树状图或列表格求概率，解题的关键是读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息和掌握求概率的方法． （1）由中位数的定义即可得出结论； （2）用1200乘“不喜欢”所占百分比即可； （3）画树状图即可求解； 【详解】（1）解：由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数， ，故中位数落在第二组； 故答案为：二； （2）解：（人）． 在本次被调查的中小学生中选择“不喜欢”的人数为175人． （3）解：列树状图如解图： 共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种， （恰好是1名男生和1名女生）． 8．甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． (1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； (2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； （2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$