专题01 圆（中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题01 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、旋转、中心对称中的规律问题 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标． 【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 如图，等边经过第次翻转后，， 过点作轴于点，则，    ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点． 【融会贯通】 1．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键． 按照题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   点，点， ，则， 由旋转的性质可得， 第一次； 如图所示：   ， ，则由旋转的性质可得， 第二次， 如图所示：   ， ，则由旋转的性质可得， 第三次， 如图所示：   ， ，则由旋转性质可得， 第四次， … 数形结合，发现点的位置4次一个循环，每循环一次横坐标增加12， ∵， 的纵坐标与相同为，横坐标为， ∴， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称对称的性质，掌握这些是解题关键．设，由平移得，再利用旋转可得，，求解即可得解． 【详解】解：设， ∵点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴即， ∵把点绕点旋转得到点， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 类型二、切线长定理 【解惑】如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F且，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，得到的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∴的周长； 故选C． 2．如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键． 由切线长定理可得出答案． 【详解】解：，，是的切线，， 的周长为： ， 故答案为：． 3．阅读理解：对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求． (1)下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的作法都正确                    B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误            D．乙的作法正确，甲的作法错误 (2)请以甲的作图为例，直线若是的切线，请给与证明；若不是请说明理由． (3)如图，是的直径，且，点P为外一点，作出分别切于点A、C两点．与的延长线交于点D． ①当______时，四边形是正方形． ②当为等边三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)A (2)证明见解析 (3)①3② 【分析】（1）根据甲乙的作法判断即可得出结论． （2）对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． （3）①当时，利用切线长定理，先证明四边形是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证； ②连接，易得是含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】（1）解：甲和乙的作法都正确， 故选：A． 证明见小问（2）； （2）解：对于甲的作法： 连接 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； （3）①当时，四边形是正方形，证明如下： ∵分别切于点A、C两点， ∴，， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； ②连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵为切线， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定和性质，正方形的判定，圆周角定理，切线长定理，等边三角形的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键． 类型三、三角形周长、面积与内切圆半径关系 【解惑】如图，在中， ，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造三角形用等面积法是解题的关键．延长交延长线于，当这个圆是的内切圆时，此圆的面积最大，构造三角形，通过等面积法求解即可． 【详解】解：延长交延长线于   ，， ， ，即， 解得， ， 在中，， ， 设这个圆的圆心为，与分别相切于， ， ， ， ， ， 即， 解得， 故选：B． 2．如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ． 【答案】 【分析】先作，作于点E，和交于点O，再根据边长求出，即可求出，然后根据面积公式即可求出答案． 【详解】作，作于点E，和交于点O，如图所示： ∵等边的边长为6 ∴AB=6，则BD=3， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形以及三角形的内切圆，解题关键是求出圆的半径． 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则． 【答案】（1）；（2）公式和等价；推导过程见解析；（3）见解析． 【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可； 求出，把①中根号内的式子可化为： ，即可得出结论； 连接，，由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：由得：， 由得：， ； 公式和等价；推导过程如下： ， ， 中根号内的式子可化为： ， ； 连接，如图所示： ． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键． 类型四、内切圆与外接圆结合 【解惑】如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H，根据三角形内切圆和圆周角定理求出，根据证明，可得出，根据点I是的内心，可得出，即可求解． 【详解】解∶延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H， 则与的内切圆相切于G，与的内切圆相切于F，与的内切圆相切于H， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点I是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心与内心，切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数，熟练掌握三角形的外心的定义与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理、三角形外角与内角的关系．首先连接、、，根据三角形内切圆的性质可知：，，平分，平分，在中，，根据，可以求出，从而可以求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 是的内切圆， ，，平分，平分， ， ， ，， 在中，， ， 又， ， 是的外角， ， ． 故答案为：． 3．是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的内心和外心之间的距离； (3)为定值，，理由见解析． 【分析】（）根据题意得，又四边形是圆内接四边形，则，再通过即可求解； （）连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，再通过垂径定理得，设半径为，则，又是的内心，则，通过，求出，最后由线段和差即可求解； （）连接，，，，，设与交于点，证明是等边三角形，，在中，由勾股定理得，求出，，然后根据圆内接四边形和邻补角定义得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的对称点恰巧落在圆上， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点， ∵点、、在一条直线上， ∴， ∴，， ∴由勾股定理得：， 设半径为， 由勾股定理定理：， ∴， ∴， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴的内心和外心之间的距离； （3）解：为定值，，理由， 如图，连接，，，，，设与交于点， 由（）得：， ∵是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，三角形的内心和外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 类型五、求不规则的图形面积 【解惑】如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求出弓形的面积，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去弓形的面积求解即可． 【详解】连接． ∵正方形的边长为2， ∴. ∵， ， ， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 2．如图，在中，， ，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形，进而求弓形面积即可． 【详解】解：连接、、，设交于点M，交于点N， ， 是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 在与中， ， ， ，即 ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键． 3．如图，为的直径，，点是上一点，直线垂直平分，交于，延长交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)作的平分线交于点．若，，求阴影部分的面积和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】（1）连接，先证明，得出，进而得出结论； （2）连接，先求出的度数与，再求出扇形的面积及三角形的面积，进而求出阴影部分的面积；先证明得出，再根据，得出，接着根据得出，进而得出的长度． 【详解】（1）证明：连接，   垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 即，又是的半径， 是的切线． （2）解：连接，   为的直径， ， 平分， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、扇形的面积等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 类型六、动圆相切求t 【解惑】如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为________． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为________． 【答案】(1)5 (2)①或；② (3) 【分析】（1）连接，过点作于点，利用等边三角形的性质，圆的切线的性质定理，含角的直角三角形的性质解答即可； （2）①利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：I．当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，利用切线的性质定理和平行线的性质求得的度数，得到，解方程即可得出结论；II．当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，利用切线的性质定理和平行线的性质求得的度数，得到，解方程即可得出结论； ②连接，过点作于点，利用等边三角形的性质，圆的切线的性质定理求得，再利用阴影部分面积解答即可； （3）延长交于点，过点作于点，过点作于点，利用矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理得到，利用垂线段最短的性质得到，依据当取得最大值时，取得最大值，求得的最大值，代入化简即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，过点作于点，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点到直线的距离为5； （2）解：I．当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，如图， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴， ∴． II．当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，如图， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴的旋转的度数为， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴， ∴． 综上，当直线与优弧相切时，的值为或． 故答案为：或． ②连接，过点作于点，如图， ∵， ∴． ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线，设垂足为H， ∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ∴阴影部分面积． （3）解：延长交于点，过点作于点，过点作于点，如图， ∵直线， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵优弧上存在一动点， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的最大值为10， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定与性质圆的切线的判定与性质，分类讨论的思想方法，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 【融会贯通】 1．材料背景：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系，规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A（对应的实数为a），过点P作x轴的平行线，交y轴于点B（对应的实数为b），则称有序数对为点P的斜坐标． 应用： （1）点M的斜坐标为，它关于x轴对称的点为F，请直接写出点F的斜坐标__________； （2）如图2，半径为1的动圆的圆心从斜坐标为的点M出发，以2单位长度/秒的速度沿着y轴的负方向运动； 当，与x轴相切时，__________； 当点O在内时，t的取值范围为__________； 拓展： （3）如图3，从点M出发的同时，边长为2的正方形的中心从点出发，以5单位长度/秒的速度沿着x轴的负方向运动，中心达到原点后，立即返回，继续保持原速度沿着x轴的正方向运动．当圆心到达原点时，点，均停止运动． ①设，两点间距离为d，求关于t的函数关系式； ②是否存在某一时刻，使得与正方形的某一边相切，若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；；（3）①；②或或或 【分析】本题属于材料阅读类题目，综合性很强．准确理解“平面斜坐标系”的定义，把握“平面斜坐标系”的特征是解决本题的关键． （1）过点F作轴，轴，先证明，再证明四边形为平行四边形，即可得出答案； （2）设运动至，的位置时与x轴相切．过点作轴于点A，过点作轴于点B，先得出，再得出或，当时，O恰好在上，可求出t的范围； （3）过点作轴于点A，得出，，当时，求出，当或或或时，与正方形某一边相切，当与正方形上边相切时，得到，进而得到，此时与正方形相切于点B；当与正方形的竖直一边相切于，点B时，此时，过点作轴于点H．设运动时间为t，则，，当点与点H重合时，与正方形相切于右侧一边，可得，可解得或，此时与正方形同时切于左右两边，当点在点H右侧，距离1个单位时，与正方形相切于左侧一边，可得．同理得或，解得（舍去）或，此时与正方形相切于左侧一边，即可得出满足题意的t的取值． 【详解】解：（1）如图1，由题意得，， 点M与点F关于x轴对称， 轴， ， 过点F作轴，轴， ， 在和中， ， ，， ， 轴，轴， 四边形为平行四边形， ，， F的坐标为． （2）如图2，设运动至，的位置时与x轴相切．过点作轴于点A，过点作轴于点B， ， ， ， ，， 或， 或． 当时，O恰好在上， 当点O在内时，， ． （3）为，过点作轴于点A， ，， ，， 当时，，，； 当时，， ， ． 综上， 当或或或时，与正方形某一边相切，理由： 由知，即不会内切于正方形O． 当与正方形上边相切时，可知此时圆心到x轴的距离为2． 如图4，此时， 运动时间，则，即，此时与正方形相切于点B，符合题意； 如图5，当与正方形的竖直一边相切于点B时，此时， ，， 过点作轴于点H．设运动时间为t，则，， 当点与点H重合时，与正方形相切于右侧一边，此时， 或，解得或， 此时与正方形同时切于左右两边，符合题意； 当点在点H右侧，距离1个单位时，与正方形相切于左侧一边， 此时． 同理得或， 解得（舍去）或，此时与正方形相切于左侧一边，符合题意． 综上，满足题意的t的取值为或或或． 2．已知二次函数（a，b为常数，）与y轴交于点C，点P为二次函数图像上一动点，以为直径作，过点（t为常数）作直线l垂直于y轴． (1)若，且与直线l交于A、B两点． ①填空：当点P与点C重合时，点M的坐标为 ，t的取值范围为 ； ②是否存在实数t，使的长为定值，若存在，求出t的值，若不存在请说明理由； (2)若不论P如何运动，与直线l始终相切，当时，求b的值． 【答案】(1)①； ；②存在， (2) 【分析】（1）①先求出点C的坐标为，因为当点P与点C重合时，所以，结合“以为直径作，过点（t为常数）作直线L垂直于y轴”得出，即可作答．②设再过作轴，过P作轴，结合平行线分线段成比例得出，即，根据勾股定理列式，解出，因为的取值与P点的位置，即P的坐标无关，即可求出； （2）先得出的半径的平方为，再结合切线性质得出，因为点P在抛物线上，所以，得，因为无论P如何运动，始终相切，所以，，即可作答． 【详解】（1）解：①∵二次函数（a，b为常数，）与y轴交于点C，且 ∴ 当， 即点C的坐标为 ∵当点P与点C重合时 ∴ ∵以为直径作， ∴， ∵过点（t为常数）作直线L垂直于y轴， ∴， ②存在，理由如下： 设 ∵点P在抛物线上， 所以， 过作轴，过P作轴， ∵是的中点，过作轴，过P作轴， ∴ ∴ ∴是的中位线， 连接 ∴， ， ∴， 过点作， ∴， ∵ ∴ 整理可得 ∵ ∴ 若为定值， 则的取值与P点的位置，即P的坐标无关， ∴， ∴； （2）解：设 ∴P到l的距离为 则的半径的平方为 又与直线始终相切 ∴， ∴ ∵点P在抛物线上， 所以， ∴， 整理可得 ∵无论P如何运动，始终相切， ∴， 此时 ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行线分线段成比例，勾股定理，切线的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．    (1)当 时，与所在的直线第一次相切，点到直线的距离为______． (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切？ (3)当的一边所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 【答案】(1)， (2)t为4秒或16秒 (3)或 【分析】（1）由题意可知，为的直径，即，，所以，与所在的直线第一次相切，即点与点重合，也就是时；由，再根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可知； （2）此题有两种情况：第一种情况，直线与半圆相切，即过点的半径与所在的直线垂直，也就是，即点与点重合时，也就是；第二种情况，直线与半圆相切，即点运动到点的右侧时，即过点的半径与的延长线垂直，此时，也就是； （3）此题有两种情况：第一种情况是与相切时，此时重叠的部分为的四分之一，即为；第二种情况是与第二次相切时，此时的直径与的边重合，重叠部分的面积等于与扇形的和，即． 【详解】（1）解：如图，过点C作于F，    ， ， ， ， ， 当时，与所在直线第一次相切； ，， ； 故答案为：，． （2）解：如图，过作于， 同理得：，    当直线与半圆所在的圆相切时， 又圆心到的距离为，半圆的半径为， 且圆心又在直线上， 与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切， 此时，点运动了， 所求运动时间； 如图，当点运动到点的右侧时，且， 过作，交直线于，    在中，，则， 即与半圆所在的圆相切， 此时点运动了， 所求运动时间， 综上所述，当为秒或秒时，直线与半圆所在的圆相切； （3）解：有两种情况： ①当半圆与边相切于时，如图，重叠部分的面积；    ②当半圆与相切于时，如图，连接，    ， 与重合，与重合， ， ， ．过作于， ， ， 由勾股定理得：， ，此时重叠部分的面积； 综上所述，重叠部分的面积为或 【点睛】本题考查切线，求扇形面积，熟练掌握勾股定理的性质是解题关键． 类型七、圆的新定义 【解惑】定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆，圆心称为点和直线的等距点． 例如图1，过点，且与直线相切，为点和直线等距圆． 【概念理解】（1）在图2中用尺规法作出点和直线的等距圆，且与直线的切点为点．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【初步运用】（2）如图3，已知点，，既为点和轴的等距圆，又为点和轴的等距圆，求点的坐标． 【探索发现】（3）如图4，已知点，为点和轴的等距圆，易见等距圆和等距点均有无数个，设等距点，求出与的函数关系式． 【拓展提高】（4）已知点，为点和轴的等距圆，圆被轴分得的较大部分的弧长不小于周长的，直接写出点横坐标的取值范围______． 【答案】（1）见解析；（2）（3）；（4）或且 【分析】（1）连接作的垂直平分线，过点作的垂线，交于点，以为圆心为半径作圆，即为所求； （2）点，，到的距离相等，则在直线上，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）过点作轴的垂线，垂足为，则，，同（2）的方法得出函数关系式； （4）当圆被轴分得的较大部分的弧长等于周长的时，圆周所对的圆心角为，分和时，分别讨论，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求 （2）依题意，点，，到的距离相等，则在直线上 设， ∵既为点和轴的等距圆，又为点和轴的等距圆， ∴ ∴ 解得： ∴ （3）如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，则，， 依题意， ∵ ∴ 整理得： （4）当圆被轴分得的较大部分的弧长等于周长的时，圆周所对的圆心角为， 当时，设与轴的另一个交点为，当时，则为等腰直角三角形， 如图所示， 设，，则， ∴， ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 当在的上方时， ∴， ∵ ∴ 解得：或（不合题意，舍去） ∴ 当轴与相切时， 联立 解得： ∴且 当时，同理可得且 综上所述，或且． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，新定义，圆与直线的位置关系，函数关系式，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 【融会贯通】 1．对于平面直角坐标系中的图形，直线和点，给出如下定义：先将图形沿直线对称后再将其绕点顺时针旋转，称该变换为类变换；先将图形绕点顺时针旋转再沿直线对称，称该变换为类变换；其中，称直线为“变换直线”，称点为“变换点”． (1)如图，若“变换直线”为轴，“变换点”为，已知点，则点中，在线段作类变换后得到的图形上的点有________； (2)若“变换直线”为，点作类变换后与自身重合，求“变换点”的坐标； (3)若“变换直线”为，“变换点”为，以点为圆心作半径为的，已知轴上存在点作类变换和变换后所得点都在内，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得：，可求出，，根据题意作出线段作类变换后得到的图形即可求解； （2）作图可得点关于直线的对称点为，设“变换点”的坐标为，根据变换可得是等边三角形，据此即可求解； （3）得到作类变换：将轴作关于直线的对称直线为直线，再将直线绕点顺时针旋转后的直线为，同上可求：作类变换，将轴绕点顺时针旋转后的直线为，再将直线作关于直线的对称直线为直线，记轴任意一点为作类变换和类变换后的对应点为，由在内，必须与直线有交点， 当与直线相切时，记切点为H，此时，故，当点与点重合时，则交于一点，即为直线与直线的交点，此时，若时，此时不论点如何运动，点不可能同时在内；当时，此时不论点如何运动，点不可能同时在内， 综上，的取值范围是． 【详解】（1）解：由题意得： ∴， ∴， ∴， 如图所示： 线段沿轴对称后，的对称点为， 此时，； 将线段绕点顺时针旋转后，的对称点为， 则旋转后点落在y轴负半轴上， ∴线段作类变换后得到线段， ∵， ∴， ∴在线段作类变换后得到的图形上， 故答案为：； （2）解：如图所示： 点关于直线的对称点为， 设“变换点”的坐标为， ∵点作类变换后与自身重合， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，且位于线段上方， ∵、关于直线对称， ∴线段的垂直平分线为， ∴的坐标为， ∵， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 解得：（舍）， ∴“变换点”的坐标为 （3）解：设变换点为，作直线的对称点，交直线于点，过点作轴于点，过点作轴， 设，则， ∴， ∴， 则， ∴， 则由勾股定理得， ∴， 设直线：， 则， ∴， ∴轴关于直线对称后的直线为， 将点，绕点顺时针旋转的点即为，则， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴ 同理可求， 设直线：， 则， ∴， ∴直线为绕点顺时针旋转后的直线为， 因此得到作类变换：将轴作关于直线的对称直线为直线，再将直线绕点顺时针旋转后的直线为， 同上可求：作类变换，将轴绕点顺时针旋转后的直线为，再将直线作关于直线的对称直线为直线，记轴任意一点为作类变换和类变换后的对应点为， ∵在内， ∴必须与直线有交点，如图： 当与直线相切时，记切点为H， 由， 得， ∴， 当点与点重合时，则交于一点，即为直线与直线的交点，此时， 若时，此时不论点如何运动，点不可能同时在内，如图： 当时，此时不论点如何运动，点不可能同时在内，如图： 综上，的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，涉及解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，待定系数法求一次函数解析式，直线与圆的位置关系，正确理解题意才是解题的关键． 2．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． (1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： (3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 【答案】(1)③ (2)①见解析；②见解析 (3) 【分析】（1）根据“闪亮四边形”的定义结合平行四边形的性质即可解答； （2）①连接并延长交于点F，分别连接，，，，利用垂径定理证明是的中位线，推出，再根据圆周角定理结合“闪亮四边形”的定义，推出，进而推出，，得到，最后，即可得出结论；②过点O作于点G，是等腰三角形，再证明，推出，再根据四边形是的内接四边形，得到，进而求出，，利用勾股定理即可证明； （3）同理（2）②可得，由圆周角定理推出，得到，再根据四边形为的“闪亮四边形”，结合，利用勾股定理可求出，求出，再利用勾股定理求出，由（2）②可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴是矩形， ∵圆的“闪亮四边形”， ∴， ∴是菱形， ∵是矩形， ∴是正方形， 故答案为：③； （2）①证明∶连接并延长交于点F，分别连接，，，， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是“闪亮四边形”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点O作于点G， 由①知， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：同理（2）②可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为的“闪亮四边形”，， ∴，， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 由（2）②可得， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键． 3．定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”． 【尝试运用】 （1）如图1，在中，，，，是的平分线． ①求证：是“类直角三角形”； ②求出此时的长； ③请在边上找一点（异于点，使得也是“类直角三角形”，并求出此时的长． 【类比拓展】 （2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（不包括端点，，延长至点，连接，且，当是“类直角三角形”时，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；③；（2） 【分析】（1）①证明即可解决问题； ②由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出的长，即可解决问题； ③如图，假设在边设上存在点（异于点，使得是“类直角三角形”．证明，可得，由此构建方程即可解决问题． （2）分两种情形：①如图，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且． ②如图，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，可证，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】（1）①证明： 是的角平分线， ， ， ， ， 为“类直角三角形”． ②解：如图，过点作于点， ，，， ，， 平分，， ， ， ， ， 即， 解得：； ③解：如图，假设在边设上存在点（异于点，使得是“类直角三角形”． ， ， ， ∴， ， ； （2）解：是直径， ， ，， ， ①如图，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且， ，且， ， ，，共线， ， ， ，即， （不合题意，舍去）． ②如图，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分， ， ，， ， ，即， ， 在中，， （舍去负值）， 综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为． 【点睛】本题通过“类直角三角形”为背景考查角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、对称性和共线的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定和性质以及分类讨论思想的应用． 类型八、圆的无刻度尺作图 【解惑】如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点，，，，，五个点均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，若点和关于点中心对称，画点； (2)在图（1）中，若点绕点逆时针旋转后得到点，画点； (3)在图（2）中，在线段上画点，使； (4)在图（2）中，画满足条件的格点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据网格的特点画出的中点即为所求， （2）将绕点逆时针旋转得到，再找到的对应点（与网格线的交点）， （3）连接，交于点，则即为所求； （4）找到上格点（的中点）以及关于的对称点即为所求 【详解】（1）解：如图所示，连接，根据网格画出的中点即为所求， （2）解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，再找到的对应点（与网格线的交点）， （3）如图所示，连接，交于点，则即为所求； 连接， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴是直角三角形，， ∴四点共圆， ∴， 设 ∴，， ∴点即为所求； （4）如图所示，找到上格点（的中点）以及关于的对称点即为所求 如图所示，连接 由（3）可得四点共圆，，则为直径， 又为的中点，即为圆心， ∴ 根据对称性可得 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，作线段的中点，勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，圆周角定理及其推论，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D， （2）作射线，则即是的角平分线， （3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则． 本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合． 【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求， （2）解：∵点D为弧的中点， 根据圆周角定理，可得，即为所求， （3）解：∵为直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，作图如下： ． 2．下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． (2)在图2中，请画出的角平分线，交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质作图即可求解； （1）根据垂直平分线的性质，，的垂直平分线交点即是点； （2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，连接即为角平分线． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： （2）解：根据题意，作图如下： 3．如图在网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D，E都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，画一条直线平分的周长； (2)在1的基础上，在直线上且在的上方找点D，使； (3)在图2中，画格点F，使且； (4)在图2中，在线段上找一点M，连，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查作图应用与设计作图，旋转的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取中点，连接，延长即可得出． （2）取格点，连接，，可得为等腰直角三角形，可得，连接交于点，连接延长交于点即可． （3）把线段绕点顺时针旋转得到线段即可； （4）取格点，连接，，交于点，连接即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； 理由：由图可知：为等腰直角三角形， ∴ ∵为中点 ∴是垂直平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，点即为所求； （4）如图，点即为所求； 理由：由（3）可得： ∴， 由图可知：为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【一览众山小】 1．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理，解题关键是推出等腰三角形．旋转得，，根据等边对等角，得出等腰三角形，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：绕点A按逆时针方向旋转得到 ，， ， ， ， ， 故选：B． 2．过点A作圆O的切线只有一条，那么点A与圆O的位置关系是（    ） A．点A在圆O外 B．点A在圆O上 C．点A在圆O内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点A与圆O的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：A、点A在圆O外，过点A作圆O的切线有来两条，不符合题意； B、点A在圆O上，过点A作圆O的切线只有一条，符合题意； C、点A在圆O内，过点A的直线与圆O相交，不符合题意； D、B符合题意，故D不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为F，则，先证明四边形是矩形，设，再用含x的式子表示出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为F，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 设， ∵，的直径为20， ∴，， ∴， 在中，∵，即， ∴（负舍）， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接，可推出是等边三角形、是等边三角形，进而得；根据，可得图中阴影部分的面积，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，， ∴的半径为，且， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 5．如图，为的直径，C为上一点，过B点的切线交的延长线于点D，E为弦的中点，，若点P为直径上的一个动点，连接，若与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】连接，由圆周角定理和切线的性质证明，根据相似三角形的性质可求，则，由勾股定理可求直径，当P与O重合时，可证，即可求出，当时，可证，再由相似三角形的性质可求． 【详解】解：连接， 为的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， E为弦的中点， ， ， ， ， 当P与O重合时， E为弦的中点， ， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是分类讨论，综合运用以上知识求解． 6．如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，根据切线的性质可知轴，故可得出四边形是矩形，所以，再求出的长，由垂径定理可得出的长，故可得出的长，进而得出点坐标，再把点坐标代入直线即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，∵直线恰好平分的面积， ∴点在直线上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出点坐标即可得出结论． 7．（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，求证：以，，的长为三边必能组成三角形； （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积； （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题； （3）将绕点A按逆时针方向旋转，得到，只要证明，利用勾股定理即可解决问题； （4）将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，根据，得出当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当P，D在上时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：（1）∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）证明：如图，以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 又∵， ∴， ∴以，，的长为三边必能组成三角形． （3）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， 即， ∴，负值舍去， ∴， ∴． （4）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当P，D在上时，最小，且最小值为的长， ∴的最小值为. 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 8．在平面直角坐标系中， 的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到⊙的弦（分别为A，B的对应点），则称线段为以P为中心的“相关线段”． (1)如图，已知点，在线段，，中，以P为中心的“相关线段”是________； (2)已知点，线段是以P为中心的“相关线段”，求点F的横坐标的取值范围． (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以P为中心的“相关线段”，直接写出m的取值范围：___________． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”． （2）由与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，P点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围． （3）作关于P点的对称圆，则F点既在上，又在直线上，因此F点是和直线的交点．当直线与相切时，即可求出m的最大范围．分两种情况：切线在左边和在右边．根据等腰直角三角形的性质可求得F点坐标，再代入即可求出m的最大值和最小值，进而可得m的取值范围． 【详解】（1）解：如下图： ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴若线段是以点为中心的“关联线段”， 则与关于x轴上的P点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点P为中心的“关联线段”， 综上，以点P为中心的“关联线段”是和， 故答案为：和． （2）解：∵与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴点的坐标为，P点坐标为． ∵是的弦， ∴． ∵与F点关于对称， ． （3） 解：∵P点在x轴上， ∴的对应点只能为． ∵P点是的中点， ． 将绕P点旋转得， 则，且F点在上． 又∵F点在直线上， ∴F点是和直线的交点． 当与相切于时，连接作轴， 设直线于x轴的交点为A点，则点， 设点，则点， 那么，， 则，， ∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ，解得． 当与相切于时，连接作轴于G点， 设直线于x轴的交点为B点， 同理得，， 则，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ，解得， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、解直角三角形、切线的性质、一次函数的图像的性质，熟练掌握以上知识和数形结合思想、分类讨论思想和解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、旋转、中心对称中的规律问题 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 类型二、切线长定理 【解惑】如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F且，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．14 D．16 2．如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为 ． 3．阅读理解：对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求． (1)下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的作法都正确                    B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误            D．乙的作法正确，甲的作法错误 (2)请以甲的作图为例，直线若是的切线，请给与证明；若不是请说明理由． (3)如图，是的直径，且，点P为外一点，作出分别切于点A、C两点．与的延长线交于点D． ①当______时，四边形是正方形． ②当为等边三角形时，直接写出的长． 类型三、三角形周长、面积与内切圆半径关系 【解惑】如图，在中， ，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ． 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则． 类型四、内切圆与外接圆结合 【解惑】如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（    ） A．8 B．6 C． D． 【融会贯通】 1．如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 3．是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 类型五、求不规则的图形面积 【解惑】如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，， ，，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，为的直径，，点是上一点，直线垂直平分，交于，延长交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)作的平分线交于点．若，，求阴影部分的面积和的长． 类型六、动圆相切求t 【解惑】如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为________． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为________． 【融会贯通】 1．材料背景：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系，规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A（对应的实数为a），过点P作x轴的平行线，交y轴于点B（对应的实数为b），则称有序数对为点P的斜坐标． 应用： （1）点M的斜坐标为，它关于x轴对称的点为F，请直接写出点F的斜坐标__________； （2）如图2，半径为1的动圆的圆心从斜坐标为的点M出发，以2单位长度/秒的速度沿着y轴的负方向运动； 当，与x轴相切时，__________； 当点O在内时，t的取值范围为__________； 拓展： （3）如图3，从点M出发的同时，边长为2的正方形的中心从点出发，以5单位长度/秒的速度沿着x轴的负方向运动，中心达到原点后，立即返回，继续保持原速度沿着x轴的正方向运动．当圆心到达原点时，点，均停止运动． ①设，两点间距离为d，求关于t的函数关系式； ②是否存在某一时刻，使得与正方形的某一边相切，若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 2．已知二次函数（a，b为常数，）与y轴交于点C，点P为二次函数图像上一动点，以为直径作，过点（t为常数）作直线l垂直于y轴． (1)若，且与直线l交于A、B两点． ①填空：当点P与点C重合时，点M的坐标为 ，t的取值范围为 ； ②是否存在实数t，使的长为定值，若存在，求出t的值，若不存在请说明理由； (2)若不论P如何运动，与直线l始终相切，当时，求b的值． 3．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．    (1)当 时，与所在的直线第一次相切，点到直线的距离为______． (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切？ (3)当的一边所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 类型七、圆的新定义 【解惑】定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为点和直线的等距圆，圆心称为点和直线的等距点． 例如图1，过点，且与直线相切，为点和直线等距圆． 【概念理解】（1）在图2中用尺规法作出点和直线的等距圆，且与直线的切点为点．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【初步运用】（2）如图3，已知点，，既为点和轴的等距圆，又为点和轴的等距圆，求点的坐标． 【探索发现】（3）如图4，已知点，为点和轴的等距圆，易见等距圆和等距点均有无数个，设等距点，求出与的函数关系式． 【拓展提高】（4）已知点，为点和轴的等距圆，圆被轴分得的较大部分的弧长不小于周长的，直接写出点横坐标的取值范围______． 【融会贯通】 1．对于平面直角坐标系中的图形，直线和点，给出如下定义：先将图形沿直线对称后再将其绕点顺时针旋转，称该变换为类变换；先将图形绕点顺时针旋转再沿直线对称，称该变换为类变换；其中，称直线为“变换直线”，称点为“变换点”． (1)如图，若“变换直线”为轴，“变换点”为，已知点，则点中，在线段作类变换后得到的图形上的点有________； (2)若“变换直线”为，点作类变换后与自身重合，求“变换点”的坐标； (3)若“变换直线”为，“变换点”为，以点为圆心作半径为的，已知轴上存在点作类变换和变换后所得点都在内，直接写出的取值范围． 2．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边形”． (1)若是圆的“闪亮四边形”，则是 （填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图1，已知的半径为于点E，四边形是的“闪亮四边形”． ①求证： ②求证： (3)如图2，四边形为的“闪亮四边形”，相交于点，，求的半径为R 3．定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”． 【尝试运用】 （1）如图1，在中，，，，是的平分线． ①求证：是“类直角三角形”； ②求出此时的长； ③请在边上找一点（异于点，使得也是“类直角三角形”，并求出此时的长． 【类比拓展】 （2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（不包括端点，，延长至点，连接，且，当是“类直角三角形”时，求的长． 类型八、圆的无刻度尺作图 【解惑】如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点，，，，，五个点均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，若点和关于点中心对称，画点； (2)在图（1）中，若点绕点逆时针旋转后得到点，画点； (3)在图（2）中，在线段上画点，使； (4)在图（2）中，画满足条件的格点，使． 【融会贯通】 1．如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 2．下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． (2)在图2中，请画出的角平分线，交于点． 3．如图在网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D，E都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，画一条直线平分的周长； (2)在1的基础上，在直线上且在的上方找点D，使； (3)在图2中，画格点F，使且； (4)在图2中，在线段上找一点M，连，使． 【一览众山小】 1．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．过点A作圆O的切线只有一条，那么点A与圆O的位置关系是（    ） A．点A在圆O外 B．点A在圆O上 C．点A在圆O内 D．以上都有可能 3．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 4．如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 5．如图，为的直径，C为上一点，过B点的切线交的延长线于点D，E为弦的中点，，若点P为直径上的一个动点，连接，若与相似，则的长为 ． 6．如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 ． 7．（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，求证：以，，的长为三边必能组成三角形； （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积； （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，，求的最小值． 8．在平面直角坐标系中， 的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到⊙的弦（分别为A，B的对应点），则称线段为以P为中心的“相关线段”． (1)如图，已知点，在线段，，中，以P为中心的“相关线段”是________； (2)已知点，线段是以P为中心的“相关线段”，求点F的横坐标的取值范围． (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以P为中心的“相关线段”，直接写出m的取值范围：___________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$