精品解析：山东省济南市槐荫区2024-2025学年上学期八年级数学12月份阶段测试题

2024～2025学年度第一学期阶段性质量检测 八年级数学（2024.12） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分：本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知a，b都是实数，且，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( ) A. 6，8，11 B. 5，12，23 C. 4，5，6 D. 1，1， 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 小红平时、期中和期末成绩分别是分、分、分，将平时、期中和期末的成绩按计算，则小红一学期的数学平均成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（） A. B. C. D. 6. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是（） A. 最高成绩是9.4环 B. 这组成绩的中位数是9环 C. 这组成绩的众数是9环 D. 这组成绩的方差是8.7 7. 在学习完“垃圾分类”相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（） A. B. C. D. 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象与轴的交点坐标是 B. 函数值随自变量的增大而减小 C. 函数的图象不经过第三象限 D. 函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（） A. ①③④ B. ①③ C. ②④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则______________ 13. 已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，长，则的周长等于______． 15. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为_______． 16. A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发______h后，两人相遇． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 解方程组： 19. 已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求b2﹣a2的平方根． 20. 证明：等腰三角形两底角的平分线相等． 已知：在中，，和是的角平分线． 求证：______．（请根据题意将题目补充完整，并完成证明．） 21. 2021年6月26日是第34个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，学校开展了禁毒知识讲座和知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛试卷进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）求出随机被抽查的学生总数，并补全上面不完整的条形统计图； （2）这些学生成绩的中位数是______分；众数是______分； （3）根据比赛规则，96分以上的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮环节的人数是多少？ 22. 如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）在轴上有点，则的最小值为______；注：请将（）、（）的答案直接写在答题卡对应的位置上． （3）证明直角三角形． 24. 爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进5个灯笼和4副春联花费185元，第二次购进3个灯笼和8幅春联花费195元． （1）求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ （2）由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中灯笼的数量不低于75个，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进多少个灯笼时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 25. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 36 4.0 5.2 … （1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． （2）当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ （3）求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 26. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发1秒后，求的周长； （2）当t为几秒时，平分； （3）问t何值时，为等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期阶段性质量检测 八年级数学（2024.12） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分：本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知a，b都是实数，且，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个数（或整式），不等号方向不变，同乘或同除大于0的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案． 【详解】解：A．∵a＜b， ∴，故A不符合题意； B．∵a＜b， ∴ ∴ 故B不符合题意； C．∵a＜b， ∴，故C符合题意； D．∵a＜b， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( ) A. 6，8，11 B. 5，12，23 C. 4，5，6 D. 1，1， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据勾股定理的逆定理分别判断即可． 【详解】A．∵， ∴以6，8，11为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴以5，12，23为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵， ∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．根据最简二次根式的定义对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， 选项A不符合题意 ， 选项B不符合题意； 已是最简二次根式， 选项C符合题意； 选项D不符合题意； 故选：C． 4. 小红平时、期中和期末的成绩分别是分、分、分，将平时、期中和期末的成绩按计算，则小红一学期的数学平均成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数公式计算即可求解，掌握加权平均数公式是解题的关键． 【详解】解：小红一学期的数学平均成绩是分， 故选：． 5. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， 平分， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的计算及三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 6. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是（） A. 最高成绩是9.4环 B. 这组成绩的中位数是9环 C. 这组成绩的众数是9环 D. 这组成绩的方差是8.7 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了折线统计图，中位数，众数和方差，掌握方差的计算公式是解题关键．根据题意分别求出这组数据的中位数、众数和方差即可判断． 【详解】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意； 这组成绩的中位数为9环，故选项B不合题意； 这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意； 这组成绩的方差是， 故选项D符合题意． 故选：D． 7. 在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据小明说：我比你多收集了7节废电池啊！”可以得到，根据小丽说：如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”，可以得到，从而可以得到相应的方程组，本题得以解决， 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数的图象与轴的交点坐标是 B. 函数值随自变量的增大而减小 C. 函数的图象不经过第三象限 D. 函数的图象向下平移4个单位长度得的图象 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的规律进行解答即可． 【详解】解：A、令y＝0，则x＝4，因此函数的图象与x轴的交点坐标是（4，0），故A选项错误，符合题意； B、因为一次函数中k＝−1＜0，因此函数值随x的增大而减小，故B选项正确，不符合题意； C、因为一次函数中k＝−1＜0，b＝4＞0，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C选项正确，不符合题意； D、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得的图象，故D选项正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的规律是解答此题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标是． 故选：A 10. 如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（） A. ①③④ B. ①③ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ，， ，， ， ， ， ，， ；故①正确； ②由①知：，， 点线段上一点， 与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则______________ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平均数的计算，关键是掌握平均数的计算公式．根据平均数计算公式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案：8． 13. 已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3， 点的横坐标是， 纵坐标是2， 点的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，长，则的周长等于______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由的垂直平分线交于点，交边于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ∵，的长为， 的周长． 故答案为：20． 15. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，，， ∴的面积， 由勾股定理得， 则， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 16. A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发______h后，两人相遇． 【答案】2.1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质以及求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出乙的速度，得出时，乙的函数解析式，再求出甲的函数解析式，列式作答，即可作答． 【详解】解：乙的速度： ∵乙在途中休息了后按原速度继续前进 ∴设时，乙的函数解析式为 把代入 得 ∴ ∴时，乙的函数解析式为 依题意，设甲的函数解析式 把代入 得 ∴ ∴甲的函数解析式 ∵两人相遇 ∴ ∴ 解得 则出发后，两人相遇 故答案为： 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式混合运算法则是关键．先计算二次根式的乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加法即可得到答案． 【详解】解：原式， ， 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．利用加减消元法进行计算，即可解答． 【详解】解： 得：， 解得： 把代入①中得：， 解得：， 原方程组解为： 19. 已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求b2﹣a2的平方根． 【答案】（1）4；5 （2）±3 【解析】 【分析】（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． 20. 证明：等腰三角形两底角的平分线相等． 已知：在中，，和是的角平分线． 求证：______．（请根据题意将题目补充完整，并完成证明．） 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】已知：在中，，和是的角平分线． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵和是的角平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 2021年6月26日是第34个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，学校开展了禁毒知识讲座和知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛试卷进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）求出随机被抽查的学生总数，并补全上面不完整的条形统计图； （2）这些学生成绩的中位数是______分；众数是______分； （3）根据比赛规则，96分以上的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮环节的人数是多少？ 【答案】（1）60人，图见解析； （2）96，98； （3）810人． 【解析】 【分析】（1）结合图形求出被抽查的学生总数：（人），再利用分数为94分的人数所占比为：，求出分数为94分的人数为：人，补充条形统计图即可； （2）结合图形找出中位数和众数所在的组别即可； （3）求出96分以上的学生所占的百分比，再乘以1800即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：分数为92分的人数为：6，其所占比为：． ∴随机被抽查的学生总数：（人）， ∵分数为94分的人数所占比为：． ∴分数为94分的人数为：人， 补充条形统计图如下： 【小问2详解】 解：由（1）中的条形统计图可知出现次数最多的分数是98分， 按从小到大的顺序可知：第30和31个人的成绩在96分所在的那一组， ∴中位数为96，众数为98， 故答案为：96，98． 【小问3详解】 解：由图象可知：96分以上的学生人数所占比为：． 进入第二轮环节的人数是人． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和众数，由样本所占百分比求总体数量，解题关键是理解题意，结合图形求解． 22. 如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，令．求出的值；再令求出的值，即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则； 令则， 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 的面积为10， ． 即， 或． 23. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）在轴上有点，则的最小值为______；注：请将（）、（）的答案直接写在答题卡对应的位置上． （3）证明是直角三角形． 【答案】（1）画图见解析， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（）根据点的坐标画出，再利用割补法求出面积即可； （）找出点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，由轴对称可知，即得到，由两点之间线段最短可知此时的值最小，利用勾股定理求出的长即可求解； （）利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可求证； 本题考查了坐标与图形，轴对称最短线段问题，勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 的面积， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：由勾股定理可得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 24. 爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进5个灯笼和4副春联花费185元，第二次购进3个灯笼和8幅春联花费195元． （1）求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ （2）由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中灯笼的数量不低于75个，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进多少个灯笼时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个灯笼和每副春联的进价各是25元和15元． （2）当第三次购进75个灯笼时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是2085元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用： （1）将每个灯笼和每副春联的进价分别设为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）将第三次购进灯笼的数量用某字母表示，则购进春联的数量也可以用该字母表示出来；根据题意，将本次销售获得的利润表示为灯笼数量的函数，并分析函数随自变量的增减变化情况，根据自变量的取值范围，确定当自变量为何值时函数值最大，并求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设每个灯笼和每副春联的进价各是x元和y元，根据题意，得： ，解得， ∴每个灯笼和每副春联的进价各是25元和15元． 【小问2详解】 解：设第三次购进灯笼m件，那么购进春联件，． 设第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出）获得的利润为w，根据题意，得： ， ∵， ∴w随m的减小而增大， ∵， ∴当时，w最大，此时， ∴当第三次购进75个灯笼时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是2085元． 25. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … （1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． （2）当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ （3）求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】（1）（4） （2）当记录时间为20分钟时，漏刻水位是 （3）即当水位为时，对应时间是 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）由（1）知时间每增加2分钟，h增加，列式计算即可解答； （3）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第（4）次数据是不准确的； 【小问2详解】 解：由（1）知时间每增加2分钟，h增加， 当时，则， 即当记录时间为20分钟时，漏刻水位是； 【小问3详解】 解：设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 26. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动、且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发1秒后，求的周长； （2）当t为几秒时，平分； （3）问t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3）当为或或或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）分别求出，的长，即可求解； （2）过作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （3）分四种情形：如图3，当时，为等腰三角形，如图4，当时，为等腰三角形，如图5，若点在上，，如图6，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1， ，，， ， 动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发1秒后，则， ， 由勾股定理得：， 的周长为：； 【小问2详解】 解：如图2，过作， 点恰好在的角平分线上，且，，， ，， ， ，． 设，则，， 中，， 即， 解得， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图3，若在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 如图4，若使，此时，运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； 如图5，若，作于点， ， ， ， 在中，， ， 运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； 如图6，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为， 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$