第七章 相交线与平行线章末小结课（课件）-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

七下数学 RJ 章末小结 第七章 相交线与平行线 本章知识结构图 相交线 平行线 两条直线相交 两条直线被第三条直线所截 邻补角、对顶角 垂线及其性质 点到直线的距离 性质 判定 同位角、内错角、同旁内角 平移 知识梳理 1.邻补角：形如∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种关系的两个角，互为邻补角. 2.对顶角：形如∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 性质：对顶角相等. 一、相交线 性质：邻补角互补. O B A D C 2 4 1 3 知识梳理 1.下面的四个图形中，∠l与∠2是对顶角的是( ) C 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C D 随堂练习 2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE是射线，OA平分∠COE.若∠COE：∠DOE=2：3，则∠BOD的度数为_______. 36° ∠BOD ∠AOC 设∠EOA=x ∠EOA：∠EOD=1:3 ∠EOC+∠EOD=180° OA平分∠COE 对顶角相等 欲求 可求 求得 分析： x 3x ∠COE=2x. 2x+3x=180°. 已知 随堂练习 3. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOF= 90°，∠COE= 90°，∠DOF=60°，OH平分∠BOE. 求：(1)∠BOE的度数；(2)∠AOH的度数. 解：(1)∵∠AOF= 90°， ∴∠BOF=180°-∠AOF=90°, ∴∠DOF+∠BOD= 90°. 同理，∠BOE+∠BOD=90°，∴∠BOE=∠DOF= 60°. 随堂练习 3. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOF= 90°，∠COE= 90°，∠DOF=60°，OH平分∠BOE. 求：(1)∠BOE的度数；(2)∠AOH的度数. 解：(2)∵ OH平分∠BOE，∠BOE= 60° ∴∠BOH=∠BOE= 30°. ∵∠AOH+∠BOH= 180°， ∴∠AOH=180°-∠BOH= 150°. 随堂练习 3.垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如右图，直线AB与直线CD垂直， 记作：AB⊥CD，垂足是O；   直线m与直线n垂直， 记作：m⊥n；   “⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”； 而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记. C D A O B 知识梳理 8 垂线的性质1：经过一点(在已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线. 即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线 段的长度，叫作点到直线的距离. 知识梳理 4. 如图，AB是一条河，C，D处各有一块农田，需要从河里引渠灌溉，以下几种引渠方案中，能让引渠费用(引渠单位长度的费用相同)最低的方案是( ) A.DC B.DF+CE C.DP+CE D.DF+CP B 随堂练习 5. 在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无数条 6. 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则点A到直线CD的距离是( ) A.线段BD的长 B.线段CD的长 C.线段AC的长 D.线段AD的长 B D 随堂练习 如图∠1和∠5，两角的位置分别在直线AB，CD的同一方(上方)，并且都在直线EF的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同位角. 4.三线八角： 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F 如图∠3和∠6，两角的位置都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 如图∠3和∠5，两角的位置都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧(∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作内错角. 知识梳理 同位角、内错角、同旁内角的结构特征： 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一方. 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转). 内错角 在截线两侧，两条 被截直线之间. 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转). 同旁内角 在截线同侧，两条 被截直线之间. 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转). 知识梳理 7. 如图，在用数字标出的八个角中，指出所有的同位角、内错角、同旁内角. 解：同位角：∠3和∠7，∠2和∠8，∠4和∠6. 内错角：∠1和∠4，∠3和∠5，∠2和∠6， ∠4和∠8. 同旁内角：∠3和∠6，∠2和∠4，∠2和∠5，∠4和∠5. 随堂练习 8. 如图，下列结论中错误的是( ) A.∠l与∠2是同旁内角 B.∠1与∠6是内错角 C.∠2与∠5是内错角 D.∠3与∠5是同位角 C 随堂练习 9.如图，下列说法错误的是( ) A.∠A与∠EDC是同位角 B.∠A与∠ABF是内错角 C.∠A与∠ADC是同旁内角 D.∠A与∠C是同旁内角 D 随堂练习 10. 如图，有下列判断： ①∠A与∠1是同位角； ②∠A与∠B是同旁内角； ③∠4与∠1是内错角； ④∠1与∠3是同位角. 其中正确的是_______. (填序号) ①② 随堂练习 1.平行线的定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行. 2.表示法：通常用“∥”表示平行，读作“平行于”. 如下图中直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD. 如果用m，n表示这两条直线， 那么直线m与直线n平行记作m∥n. 二、平行线 A B C D m n 知识梳理 3.可以发现一个基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 符号语言：∵ b∥a，c∥a， ∴ b∥c. 二、平行线 a b c 知识梳理 判定方法1：同位角相等，两直线平行. 判定方法2：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. 4.判定两条直线平行的方法： 二、平行线 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F 知识梳理 11.如图，下列条件：①∠1=∠B；②∠2=∠5；③∠3=∠4；④∠BCD+∠D=180°；⑤∠B+∠BCD=180°.其中能够判定AB//CD的有__________(填序号) ①②⑤ 随堂练习 12.平面内有三条直线a，b，c，下列说法： ①若a//b，b//c，则a//c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c. 其中正确的是( ) A.只有① B.只有② C.①②都正确 D.①②都不正确 A 随堂练习 13.如图，下列条件中不能判定CE//AB的是( ) A.∠DCE=∠BCE B.∠BCE=∠B C.∠DCE=∠A D.∠A+∠ACE=180° A 随堂练习 5.平行线的性质： 二、平行线 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.   简单说成：两直线平行，同位角相等.   性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.   简单说成：两直线平行，内错角相等.   性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.   简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 知识梳理 14. 如图，CD//AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OE⊥OF. 若∠D=110°，则∠AOF的度数是( ) A.20° B.25° C.30° D.35° D 解析：∵CD∥AB,∴∠D=∠DOB=110°，∠AOD+∠D=180°， ∴∠AOD=70 °. ∵ OE平分∠BOD, ∴∠DOE=55°， ∵ OF⊥OE，∴∠FOE=90°. ∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=90°-55°=35°， ∴∠AOF=∠AOD-∠DOF=70°-35°=35°. 随堂练习 15. 如图,平行线AB，CD被直线AE所截，∠1= 110°，则下列结论中正确的是( ) A.∠2= 110° B.∠3= 70° C.∠4= 70° D.∠5= 70° C 随堂练习 16.将一张长方形纸片沿AB折叠成如图所示的形状，若∠CBD=34°,则∠FAB的度数为______. 解析：如图，由折叠可知∠ABN=∠ABC. ∵∠ABN+∠ABC+∠CBD=180°，∠CBD= 34°， ∴∠ABN=∠ABC=×( 180°-∠CBD)=×146°=73°. ∵MF//ND， ∴∠FAB=∠ABN=73°. 73° M N 随堂练习 17. 如图，∠ABC=134°+α，∠A=46°-α，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F. (1)求证：AD//BC. 解：(1)证明：∵∠ABC= 134°+α，∠A=46°-α， ∴∠A+∠ABC= 46°-α+134°+α=180°， ∴AD//BC. 随堂练习 17. 如图，∠ABC=134°+α，∠A=46°-α，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F. (2)若∠ADB=45°，求∠CEF的度数. (2)解：由(1)知AD//BC，∴∠CBD=∠ADB=45°. ∵BD⊥CD，EF⊥CD， ∴∠BDC=∠CFE= 90°， ∴BD//EF， ∴∠CEF=∠CBD=45°. 随堂练习 定义：对新的数学对象进行清晰、明确的描述. 定义的常用叙述方式：“……叫作……” 三、定义、命题、定理、 命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题. 随堂练习 30 命题的构成：命题由题设和结论组成. 题设是已知项，结论是由已知项推出的事项. 命题的书写形式：数学中的命题常可以写成“如果……那么……” 的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论. 三、定义、命题、定理、 知识梳理 命题的分类： 真命题：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题. 假命题：被判断为错误（或假）的命题叫作假命题. 定理： 经过推理证实得到的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.（定理一定是真命题，但真命题不一定是定理） 三、定义、命题、定理、 知识梳理 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 证明步骤： (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 三、定义、命题、定理、 知识梳理 18.下列命题是真命题的是( ) A.两个锐角的和是锐角 B.邻补角是互补的角 C.内错角相等 D.两个相等的角是对顶角 B 随堂练习 19. 把命题“两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式：________________________________________， 它 是一个________(填“真命题”或“假命题”). 如果两个角是锐角，那么它们互余 假命题 随堂练习 20. BD平分∠ABC，点E在AB上，点F在AC上，CE与BD相交于点G，∠3+∠4=180°.求证:∠1=∠2. 请通过填空补全下面的证明过程和推理依据. 证明：∵∠3+∠4=180°(已知)， ∠EGD=∠4(______________)， ∴∠3+_______= 180°(_________). ∴EF//BD(__________________________). ∴∠1 =_____________(_________________________). 对顶角相等 ∠EGD 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 ∠ABD 两直线平行，同位角相等 随堂练习 20. BD平分∠ABC，点E在AB上，点F在AC上，CE与BD相交于点G，∠3+∠4=180°.求证:∠1=∠2. 请通过填空补全下面的证明过程和推理依据. 证明：∵BD平分∠ABC(已知)， ∴∠ABD=_______(___________________). ∴∠1=∠2(等式的基本事实). ∠2 角平分线的定义 随堂练习 四、平移 平移的定义：在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离. 平移的两要素：平移的方向、平移的距离. 平移的作图方法：一定、二找、三移、四连、五写. 平移的性质： 平移前后图形的形状、大小完全相同； 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等； 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. 知识梳理 21.下面各组图形中，能由其中一个图形经过平移得到另一个 图形的是 ( ) A 随堂练习 22.如图，三角形ABC沿BC方向平移4cm得到三角形DEF，如果四边形ABFD的周长是32cm，则三角形DEF的周长是______cm. 24 解析：∵△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF, ∴AC=DF，AD=CF=4, ∵四边形ABFD的周长是32cm, 即AB+BC+CF+DF+AD=32, ∴ AB+BC+DF+4+4=32, 即AB+BC+AC=24， ∴ △ABC的周长为24cm， ∴ △DEF的周长是24cm. 4cm 4cm 随堂练习 23.如图是一块长方形的场地，长AB=72 m，宽AD=31m，A，B两处入口中的路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为________m2. 2 100 随堂练习 24.如图，将梯形ABCD沿AB的方向平移到梯形A′B′C′D′的位置，其中AD//BC，∠A=90°，C′D′交BC于点M.若BM=5cm，CM=1cm，BB′=2cm，则图中阴影部分的面积为______cm2. 解析：∵BM=5cm，CM=1cm， ∴BC= BM+CM=6cm. ∵梯形ABCD沿AB的方向平移到梯形A′B′C′D′的位置， ∴ B'C'=BC=6cm. ∴S阴影+S梯形A'BMD'=S梯形BB'C'M+S梯形A'BMD'， ∴S阴影=S梯形BB'C'M=( BM+B'C')×BB'=×(5+6)×2=11(cm2). 11 随堂练习 $$