安徽省太湖中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题

安徽省太湖中学2022级高三第一学期12月 数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ） （参考数据：，） A. 60天 B. 65天 C. 70天 D. 75天 5. 已知，向量，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则数列的前8项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将向左平移个单位长度，得到函数 D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是 10. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，，是中点，则下面正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 周长的最大值为 C. 中线长度的最大值为 D. 若为锐角，则 11. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，点为上一动点，则（ ） A. 存在点使得 B. 的最小值为 C. 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12 D. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 13. 若，，且，，则______； 14. 已知函数，则的对称中心为_______；若，则数列的通项公式为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 16. 已知数列的前n项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若关于n的不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 17. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数. （1）求的对称轴方程及单调递增区间； （2）在锐角中，已知，求和. 18. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中为常数，则称函数具有性质. （1）函数具有性质，求； （2）设函数， （i）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由； （ii）证明：. 19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ （2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 安徽省太湖中学2022级高三第一学期12月 数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明：连接，如图所示， 因为分别为棱的中点，所以且， 又因为所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面,平面, 所以平面 （2）； 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）不具有性质，理由如下： 的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以， 假设函数具有性质，即，所以， 因为，所以， 故对于任意的恒成立， 恒为，显然不可能，故假设不成立， 故不具有性质； （ii）因为， 所以， 下面证明， 即证， 令，则， 令， 则， 故在上单调递增， 故， 所以，即，所以， 当时，， 当，令 ， 令， ， 故在上单调递增， 又，其中，故， 所以，故， ，其中，而在上单调递减， 故， 综上，. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由题可得， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 令，得，即， 显然，， 由，知，同理， 故，从而， 设，即，所以数列是等比数列， 故，即，从而， 所以，， ， 当时，显然； 当时，， ， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $