第09讲 函数与平面直角坐标系（练习，15题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第三章 函数 第09讲 函数与平面直角坐标系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 函数的相关概念辨析 👉题型02 求自变量的取值范围 👉题型03 求自变量的值或函数值 👉题型04 函数图象的识别 👉题型05 从函数图象上获取信息 👉题型06 根据实际问题列函数解析式 👉题型07 动点问题的函数图象 👉题型08 根据坐标系内点的坐标特征求解 👉题型09 坐标与图形变化 👉题型10 点坐标规律的探索 👉题型11 求坐标系中的图形面积 👉题型12 与图形面积有关的存在性问题 👉题型13 坐标方法的简单应用 👉题型14 新考法：跨学科问题 👉题型15 新考法：新情景问题 👉题型01 函数的相关概念辨析 1．（2024·贵州·一模）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（    ） A．货运飞船的质量B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量 2．（2023观山湖区模拟）如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是（    ） A．  B．   C．   D．   3．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 4．（2023·北京丰台·一模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（   ） ①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④下图中，曲线表示y是x的函数 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 👉题型02 求自变量的取值范围 5．（2024·贵州黔东南·一模）若函数有意义，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川泸州·三模）函数中自变量x的取值范围是 ． 8．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）函数中，自变量x的取值范围为 ． 👉题型03 求自变量的值或函数值 9．（2024·浙江·模拟预测）设函数，当时， ． 10．（2024·江西南昌·模拟预测）已知华氏温度和摄氏温度的换算关系为：摄氏温度（华氏温度，在1个标准大气压下冰的熔点为，则在1个标准大气压下冰的熔点为 ． 11．（2024·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 12．（2024·广西百色·二模）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式． 排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 (1)设家居用电的二氧化碳排放量为，耗电量为，则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为______； (2)在上述关系式中，耗电量每增加，二氧化碳排放量增加______；当耗电量从增加到时，二氧化碳排放从______增加到______； (3)小明家本月家居用电大约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量． 👉题型04 函数图象的识别 13．（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 14．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）   A．  B．  C．  D．   15．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   👉题型05 从函数图象上获取信息 17．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 18．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（    ） A．客人距离厨房门口； B．慧慧比聪聪晚出发； C．聪聪的速度为； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为； 19．（2024·河北·模拟预测）某班级同学从学校出发去白鹿原研学旅行，一部分坐大客车先出发，余下的几人后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，后小轿车赶了上来，大客车随即开动，以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变，最终两车相继到达了景点入口，两车距学校的路程单位：和行驶时间单位：之间的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题． (1)求大客车在途中等候时距学校的路程有多远？ (2)在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ 20．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 👉题型06 根据实际问题列函数解析式 21．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度 与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 22．（2024·湖北武汉·模拟预测）预防高血压不容忽视，“千帕”和“毫米汞柱”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（   ） 千帕 … 10 12 14 … 毫米汞柱 … 75 90 105 … A． B． C． D． 23．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为 24．（2024·黑龙江大庆·一模）一个等腰三角形的周长是，腰长是，底边长是，则关于的函数解析式为 ． 👉题型07 动点问题的函数图象 25．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 26．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 27．（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（   ） A．B．C．D． 28．（2023·河南·三模）正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（  ） A．B．C．D． 29．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则： （1） ； （2）当 时，． 👉题型08 根据坐标系内点的坐标特征求解 30．（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 31．（2024·福建福州·模拟预测）点M在第四象限，它到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点M的坐标为 ． 32．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）坐标系中， 点在第三象限， 则m的取值范围是 . 33．（2024·山东日照·一模）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 34．（2024·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第 象限． 35．（2024·广东广州·二模）已知 (1)化简P； (2)若，且点在第二象限，求P的值． 👉题型09 坐标与图形变化 36．（2024·辽宁·模拟预测）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 37．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D．或 38．（2024·广东·模拟预测）如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·江苏常州·一模）如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·安徽合肥·三模）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移5个单位长度得到，请在图中画出，并写出点的对应点的坐标； (2)在图中画出绕原点逆时针旋转得到的，并写出点的对应点的坐标． (3)无刻度尺作图，在上取一点使得（保留作图痕迹）． 👉题型10 点坐标规律的探索 41．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 42．（2024·湖北恩施·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作；第二次滚动到②的位置，点的对应点记作；第三次滚动到③的位置，点的对应点记作；；依次进行下去，则点的坐标为 ． 43．（2024·宁夏银川·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ．      44．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是 ；的坐标是 ． 45．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点的坐标为 ，则第2024次相遇地点的坐标为 ．      👉题型11 求坐标系中的图形面积 46．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，求的面积（    ）． A．25 B． C．50 D． 47．（2023·湖北武汉·中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（    ） A．266 B．270 C．271 D．285 48．（2023潮南区模拟）已知和点两点，则直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则的值是（    ） A． B．4 C． D． 49．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为； (2)求（1）中得到的的面积． 👉题型12 与图形面积有关的存在性问题 50．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为 ． 51．（2023石景山区一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点是第一象限内的点，，． (1)分别求出点、、的坐标． (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)在平面直角坐标系是否存在点，使与全等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（2021·湖北襄阳·模拟预测）在直角坐标系中，已知点、的坐标是，，满足方程组，为轴正半轴上一点，且． (1)求、、三点的坐标； (2)是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点沿轴负半轴方向以每秒个单位长度平移至点，当运动时间为多少秒时，四边形的面积为个平方单位？求出此时点的坐标． (4)连接、，若为上一动点（不与、重合）连接、，探究点在运动过程中，、、之间的数量关系并证明． 53．（2022天心区一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在y轴上，且轴，．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止）． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)点P在运动过程中，连接，若把四边形的面积分成的两部分，求点P的坐标 (3)点P在运动过程中，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 54．（2023·贵州遵义·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，且满足．若四边形为平行四边形，且，点在轴上． (1)直接写出的值； (2)如图①，动点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴向下运动，当时间为何值时，三角形的面积等于平行四边形面积的四分之一； (3)如图②，当从点出发，沿轴向上运动，连接，存在什么样的数量关系，请说明理由（排除在和两点的特殊情况）． 👉题型13 坐标方法的简单应用 55．（2024·山西临汾·二模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 56．（2024·贵州六盘水·一模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是 ． 57．（2024·河北廊坊·一模）某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（    ）方向上 A．正北 B．正东 C．正西 D．正南 58．（2022·河北保定·一模）在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的(    ) ． A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上 C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上 👉题型14 新考法：跨学科问题 59．（2024·吉林·二模）《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为 ． 60．（2024锦州市模拟）某校组织九年级学生．以“运用函数知识探究坰锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应．锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中．逐次加入等量等溶度的稀盐酸．每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入．记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下： （i）收集数据： 加入稀盐酸的累计总量（单位：） … 充分反应后剩余固体的质量（单位：） … （ii）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”） （iii）求解模型：为便得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ii）所选的函数类型，求出该函数的表达式： （iv）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量． 阅读以上材料．回答下列问题： (1)完成小明的研究过程（ii）（描点，并指出函数类型）： (2)完成小明的研究过程（iii）； (3)设在研究过程（iv）中，发现最后剩余固体的质量保持不再变化，请你根据前求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜． 61．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校组织九年级学生以研究某种化学试剂的挥发情况为主题，开展跨学科主题学习活动．某研究小组从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】记录的数据如下表： 时间（分钟） 5 10 15 20 … 剩余质量（克） 20 15 10 5 … 【探索应用】 (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示时间（分钟），纵轴表示剩余质量（克），描出以表格中数据为坐标的各点； (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； (3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂经过多长时间剩余质量恰好为克？ 62．（2024·山东青岛·一模）活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 👉题型15 新考法：新情景问题 63．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为 64．（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 65．（2024·山西大同·三模）2024年5月5日在四川成都举行的“尤伯杯”羽毛球团体决赛中，中国队第16次夺得冠军．如图1是比赛场馆图，图2是场馆某正方形座位示意图．小李、小亮、小东的座位如图所示（网格中，每个小正方形的边长都是1）．若小亮的座位用表示，小李的座位用表示，则小东的座位可以表示为（    ） A． B． C． D． 66．（2024·陕西西安·二模）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼呼全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 量杯中的水量 10 20 30 40 50 60 70 为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：，， (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式； (2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少？ 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 3．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 4．（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ． 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ． 8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 9．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 10．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 11．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． $$第三章 函数 第09讲 函数与平面直角坐标系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 函数的相关概念辨析 👉题型02 求自变量的取值范围 👉题型03 求自变量的值或函数值 👉题型04 函数图象的识别 👉题型05 从函数图象上获取信息 👉题型06 根据实际问题列函数解析式 👉题型07 动点问题的函数图象 👉题型08 根据坐标系内点的坐标特征求解 👉题型09 坐标与图形变化 👉题型10 点坐标规律的探索 👉题型11 求坐标系中的图形面积 👉题型12 与图形面积有关的存在性问题 👉题型13 坐标方法的简单应用 👉题型14 新考法：跨学科问题 👉题型15 新考法：新情景问题 👉题型01 函数的相关概念辨析 1．（2024·贵州·一模）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（    ） A．货运飞船的质量B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，如果变量A因为变量B的变化而变化，那么变量B叫做自变量，变量A叫做因变量，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，随着高度的不断增加，燃料的体积不断减少，则自变量为火箭飞行的高度， 故选：B． 2．（2023观山湖区模拟）如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定是否为函数． 【详解】解：A、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； B、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查函数的定义．解题关键在于掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 3．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量是的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：． 故选C． 4．（2023·北京丰台·一模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（   ） ①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数； ③下表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④下图中，曲线表示y是x的函数 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意； 由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键． 👉题型02 求自变量的取值范围 5．（2024·贵州黔东南·一模）若函数有意义，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、代数式是整式自变量可取任意实数、分式有意义、分母不为0，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】A． ，可取正数，0，负数，所以取值范围是全体实数，符合题意； B． 中解得，不符合题意； C． 中分母不能为0，所以，不符合题意； D． 中分母不能为0，所以，解得：，不符合题意； 故选：A． 7．（2024·四川泸州·三模）函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分母不为0、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且． 故答案为：且． 8．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）函数中，自变量x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算． 【详解】解：由题意得，， 解得，且， 故答案为：且． 👉题型03 求自变量的值或函数值 9．（2024·浙江·模拟预测）设函数，当时， ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求函数值，选择恰当的函数关系式是解答本题的关键．根据自变量的值选择恰当的函数关系式，代入计算即可． 【详解】解： ， ， 当时，， 故答案为：4． 10．（2024·江西南昌·模拟预测）已知华氏温度和摄氏温度的换算关系为：摄氏温度（华氏温度，在1个标准大气压下冰的熔点为，则在1个标准大气压下冰的熔点为 ． 【答案】32 【分析】本题考查求自变量的值，根据因变量和自变量的关系求解即可． 【详解】解：摄氏温度（华氏温度， （华氏温度， 华氏温度． 故答案为：32． 11．（2024·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 【答案】80 【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为，求出的值即可． 【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系， 设， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 当时，，即烧杯的质量为 当该种液体时，时，即， 解得：． 故答案为：． 12．（2024·广西百色·二模）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式． 排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 (1)设家居用电的二氧化碳排放量为，耗电量为，则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为______； (2)在上述关系式中，耗电量每增加，二氧化碳排放量增加______；当耗电量从增加到时，二氧化碳排放从______增加到______； (3)小明家本月家居用电大约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量． 【答案】(1) (2) ，， (3)小明家用电的二氧化碳排放量是，天然气的二氧化碳排放量是，自来水的二氧化碳排放量是，开私家车的二氧化碳排放量是 【分析】本题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用函数知识进行求解． （1）根据家居用电的二氧化碳排放量耗电量可得此题结果； （2）由家居用电的二氧化碳排放量耗电量可解得此题结果； （3）分别按照表中提供信息分别进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 故答案为：； （2）解：∵家居用电的二氧化碳排放量耗电量， ∴耗电量每增加，二氧化碳排放量增加， 当耗电量时二氧化碳排放量为；当耗电量时二氧化碳排放量为； 故答案为： ，，； （3）解：， ， ， ， 答：小明家用电的二氧化碳排放量是，天然气的二氧化碳排放量是，自来水的二氧化碳排放量是，开私家车的二氧化碳排放量是 👉题型04 函数图象的识别 13．（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用图象表示变量之间是关系，能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键．根据图像分析不同时间段的水面上升速度，进而可得出答案． 【详解】解：因为长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，且长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，且此时水面上升的高度也是随时间均匀升高，因此此时的图像也是直线，但水面上升的速度比开始时要慢，因此四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 14．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）    A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴选项C图象适合表示y与x的对应关系． 故选：C． 15．（2024·浙江金华·模拟预测）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，设军车与大巴离仓库的路程为s，所用时间为t，则下列图象能正确反映上述过程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据题意、明确两个变量之间的关系是解题的关键． 根据题意结合函数图像的实际意义逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，函数s表示车与大巴离仓库的路程，所用时间为t， A、该图象反映随着行驶时间增大，距离仓库越来越远，不符合题意； B、军车到达仓库后停留了一段时间，函数图象没有显示出来，不符合题意； C、图象准确反映了题意，符合题意； D、图象函数一直下降，不符合题意． 故选：C． 16．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象． 【详解】解：根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是D． 故选：D． 👉题型05 从函数图象上获取信息 17．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 利用速度路程时间，可求出后800m的速度，判断A选项；利用中途停留的时间，可求出中途停留的时间，判断B选项；当时，关于的函数图象是线段，可得出后速度不变，判断C选项；利用整个登山过程的平均速度总路程总时间，可求出整个登山过程的平均速度，判断D选项． 【详解】解：A、后的速度为，选项A正确，符合题意； B、中途停留了，选项B错误，不符合题意； C、当时，关于的函数图象是线段，即后速度不变，选项C错误，不符合题意； D、整个登山过程的平均速度为，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 18．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（    ） A．客人距离厨房门口； B．慧慧比聪聪晚出发； C．聪聪的速度为； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为； 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解． 【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴， 解得，， ∴的解析式为， 由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为， ∴A、客人距离厨房门口，正确，不符合题意； B、慧慧比聪聪晚出发，正确，不符合题意； C、∵， ∴聪聪的速度为，正确，不符合题意； D、当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， 当时，， ∴， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∵, ∴D选项不正确，符合题意 ； 故选：D ． 19．（2024·河北·模拟预测）某班级同学从学校出发去白鹿原研学旅行，一部分坐大客车先出发，余下的几人后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，后小轿车赶了上来，大客车随即开动，以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变，最终两车相继到达了景点入口，两车距学校的路程单位：和行驶时间单位：之间的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题． (1)求大客车在途中等候时距学校的路程有多远？ (2)在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查从函数图象中提取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小轿车的速度，然后即可得到的值，从而可以得到大客车在途中等候时距学校的路程有多远； （2）根据题意，可以计算出大客车开始的速度和后来的速度，从而可以计算出在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远． 【详解】（1）解：由图象可得， 小轿车的速度为：， ， 即大客车在途中等候时距学校的路程有； （2）解：大客车开始的速度为：， 大客车后来的速度为：， ， 即在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有． 20．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 【答案】(1) (2)①；②追上时兄妹俩离家米远 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论． 【详解】（1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 👉题型06 根据实际问题列函数解析式 21．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度 与生长月数之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，树苗每个月增长的高度是， 故该树苗的高度 与生长月数之间的函数关系式为， 故选：． 22．（2024·湖北武汉·模拟预测）预防高血压不容忽视，“千帕”和“毫米汞柱”都是表示血压的单位，请你根据表格提供的信息判断，下列各组换算正确的是（   ） 千帕 … 10 12 14 … 毫米汞柱 … 75 90 105 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，是基础题，比较简单．通过观察，我们不难发现，千帕每增加2，毫米汞柱升高15，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再对各选项进行验证即可得解． 【详解】解：根据题意得每增加2千帕，增加15毫米汞柱， 设x千帕，毫米汞柱为y，开始时毫米汞柱为b， 故千帕与毫米汞柱的关系式为， 将点代入得：， 解得：， ∴关系式为：； A、当时，，即，故本选项错误，不符合题意； B、当时，，即，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，即，故本选项错误，不符合题意； D、当时，，即，故本选项正确，符合题意；． 故选：D． 23．（2024·上海虹口·三模）设正多边形的边数为，中心角度数为，则关于的函数解析式及其定义域为 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 24．（2024·黑龙江大庆·一模）一个等腰三角形的周长是，腰长是，底边长是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式即可． 【详解】解：由题意得： ∴， 故答案为：． 👉题型07 动点问题的函数图象 25．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，根据图象当点到达点时，，据此计算即可求解． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图， ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ． 故选：A． 26．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选． 【详解】解：如图，过作于点， 则，， ①当点在上时，，，， ， 该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线； 由此可排除A，B，C． ②当时，即点在线段上时，； 则， 该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为； ③当时，即点在线段上，此时，， 则， 该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线； 故选：D． 27．（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键． 设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 28．（2023·河南·三模）正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（  ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可． 【详解】解：由题可得：正方形面积为：， ， 最大重合面积为， B选项，不符合题意； 正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动， 最后的重合面积为0， C、D不符合题意；A选项符合题意； 故选：A． 29．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则： （1） ； （2）当 时，． 【答案】 /0.8 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了余弦的求解，相似三角形的性质，根据图象确定动点的运动位置是解题关键． （1）由图可知：秒后，动点Q运动到点，动点P运动到点；秒后，动点P运动到点，据此即可求解； （2）若，则动点Q运动到点的位置，动点P在段运动；根据即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：秒后，动点Q运动到点，动点P运动到点；秒后，动点P运动到点， ∴， 当动点Q运动到点，动点P运动到点时，的高为（或）的长度， ∴ ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴若， ∴动点Q运动到点的位置，动点P在段运动 ∵， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 👉题型08 根据坐标系内点的坐标特征求解 30．（2024·贵州遵义·三模）已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据第一象限的点的横纵坐标均为正数，且点到两个坐标轴的距离相等得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到两个坐标轴的距离相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 31．（2024·福建福州·模拟预测）点M在第四象限，它到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标． 【详解】解：点M在第四象限， 其横、纵坐标分别为正数、负数， 又点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为4， 点M的坐标为． 故答案为：． 32．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）坐标系中， 点在第三象限， 则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中象限中点的特征，以及解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 得，， 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 33．（2024·山东日照·一模）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、判断点所在的象限，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知，推出，，判断点所在的象限即可，掌握“对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则”是解题的关键． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴实数，异号，即一正一负， 又∵， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 34．（2024·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第 象限． 【答案】二 【分析】此题考查了解二元一次方程组，直线的交点坐标，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法．利用加减消元法解出方程组的解，得到与的值，从而确定出点的坐标，根据平面上点坐标的特征，即可确定出所在的象限． 【详解】解： ①②得，即， 把代入①得：， 方程组的解为， 坐点的标， 则点在平面直角坐标系中的位置是第二象限． 故答案为：二 35．（2024·广东广州·二模）已知 (1)化简P； (2)若，且点在第二象限，求P的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的化简求值，点的坐标． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果； （2）根据点的位置，求得，，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 👉题型09 坐标与图形变化 36．（2024·辽宁·模拟预测）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度得到点Q，则点Q所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了点的平移，根据点坐标判断点所在象限，先确定点Q的坐标，再确定点Q所在的象限，熟练掌握点的平移规律是解题的关键 【详解】解：将点先向右平移3个单位长度，再向下平移7个单位长度得到点Q，则点Q的坐标是 所以点Q在第三象限， 故选：C 37．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中的轴对称，直角坐标系中点的特征，二次函数的顶点坐标，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用轴对称求出和的值，再利用点E到x轴的距离小于它到y轴的距离排除不合题意的和的值，最后直接求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：∵点E，F关于y轴对称，点，点， ∴， 解得或， ∴或， ∵点E到x轴的距离小于它到y轴的距离， ∴不合题意，舍去， ∴，， ∴二次函数， ∴其顶点坐标为， 故选：B． 38．（2024·广东·模拟预测）如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查坐标的变化规律、旋转的性质、菱形的性质等知识，找到每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置由得到第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了，即可可求出答案. 【详解】解：菱形的顶点， 与轴的夹角为 ∵菱形的对角线互相垂直平分， 点是线段的中点， 点的坐标是 ∵菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转 ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置 ∵ ∴第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了， ∴点的对应点落在第三象限，且对应点与点关于原点成中心对称， 第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为． 故选：B 39．（2024·江苏常州·一模）如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在x轴上，则点D到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，过点D作轴于点，过点作于点，由旋转的性质和勾股定理可得，，再利用面积法求出即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，过点D作轴于点，过点作于点， ，点坐标为，点坐标为， ， ， 线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点C恰好落在轴上， ， ， ∴ ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 40．（2024·安徽合肥·三模）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移5个单位长度得到，请在图中画出，并写出点的对应点的坐标； (2)在图中画出绕原点逆时针旋转得到的，并写出点的对应点的坐标． (3)无刻度尺作图，在上取一点使得（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解，点的坐标为 (2)见详解，点的坐标为 (3)见详解 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图、旋转作图、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握平移的性质和旋转的性质是解题关键． （1）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可，并结合图形确定点的坐标； （2）根据旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可，并结合图形确定点的坐标； （3）在平面直角坐标系中确定点，使，连接，设中点为；取点，使，连接并交于点，结合，易知四边形为平行四边形，所以，由平行线分线段成比例定理可得，即可得解． 【详解】（1）解：如下图，即为所求， 由图形可知，点的坐标为； （2）如下图，即为所求， 由图形可知，点的坐标为； （3）如下图，点即为所求． 👉题型10 点坐标规律的探索 41．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点（为正整数）的坐标可表示为是解题的关键． 【详解】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， ∴（为正整数）的坐标可表示为， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 42．（2024·湖北恩施·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着x轴的正半轴无滑动的滚动，第一次滚动到①的位置，点B的对应点记作；第二次滚动到②的位置，点的对应点记作；第三次滚动到③的位置，点的对应点记作；；依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标规律探索，先求出，再利用先利用翻转的性质、点坐标的变化规律分别求出点的坐标，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解；∵，， ， 由翻转的性质得：，则 由翻转过程可知，点重合，则， 点的横坐标为，纵坐标为2，即 同理可得：点重合，点的横坐标为，纵坐标为0， 即， 点的横坐标为，纵坐标为2，即 归纳类推得出以下规律：（其中，n为正整数） （1）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为0 （2）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为0 （3）点的横坐标变化规律为，纵坐标均为2 点的坐标变化规律符合（1） 则点的横坐标为，纵坐标为0，即 故答案为：． 43．（2024·宁夏银川·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ．    【答案】/ 【分析】此题考查了点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点、、的坐标，找到点的变化规律，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，，，…，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，顶点均在轴上， 过点作轴于点B，连接，    ∵点O是所有等边三角形的中心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的坐标为， 同理可得，， 则第二个三角形的顶点的坐标为， 则第三个三角形的顶点的坐标为， ∵， ∴点是第10个等边三角形的第2个顶点，位于第四象限， ∴点的坐标为：． 故答案为：． 44．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是 ；的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了规律型点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律． 根据已知条件和勾股定理求出的长度即可求出的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到变化的坐标． 【详解】解：四边形是正方形，， ， ， 的坐标是， 根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以， 旋转8次则旋转一周， 从到经过了2024次变化， ， 从到与都在轴正半轴上， 点的坐标是． 故答案为：，；． 45．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点的坐标为 ，则第2024次相遇地点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查正六边形的性质和寻找规律，解题关键是找出P、Q两点相遇的循环规律． 如下图，分析可知P、Q两点依次在点M、N、A三处循环相遇，然后利用余数定理便可求得第2024次相遇的位置． 【详解】解：由题意可得：， ∴正六边形的周长为． ∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度， ∴第一次相遇的时间为， 此时点P的路程为，点P，Q第一次相遇的地点为点C， 依次类推，得出：点P，Q第二次相遇的地点为点E，点P，Q第三次相遇的地点为点A，点P，Q第四次相遇的地点为点C，…， ∴点P，Q两点的相遇是3次一循环，    ∵， ∴第2024次相遇的地点为点E， ∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 👉题型11 求坐标系中的图形面积 46．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，求的面积（    ）． A．25 B． C．50 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了建立直角坐标系、两点间距离公式等知识点，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 建立如图坐标系，则，设 ，根据两点间距离公式可得解得，即的边上的高为6，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：建立如图坐标系，则， 设 ， 则有：， 解得：， ∴的边上的高为6， ∴的面积为． 故选D． 47．（2023·湖北武汉·中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（    ） A．266 B．270 C．271 D．285 【答案】C 【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可． 【详解】如图所示，    ∵，， ∴， ∵上有31个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点， ∴边界上的格点个数， ∵， ∴， ∴解得． ∴内部的格点个数是271． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想． 48．（2023潮南区模拟）已知和点两点，则直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则的值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可． 【详解】解：假设直角坐标系的原点为O，则直线与坐标轴围成的三角形是以、为直角边的直角三角形， ∵和点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个． 49．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为； (2)求（1）中得到的的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【分析】本题考查了利用轴对称变换在坐标系中作图，利用网格求面积： （1）直接利用关于y轴对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）的面积． 👉题型12 与图形面积有关的存在性问题 50．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知一平面直角坐标系内有点，点，点，若在该坐标系内存在一点D，使轴，且，点D的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，轴，从而可求得的长；再由点C的坐标及轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据，可得关于m的方程，解得m的值即可． 【详解】解：将点，点，点的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：    ∵点，点， ∴轴， ∴， ∵点，轴， ∴点D的横坐标为，设点D的纵坐标为m， ∵， ∴， ∴或7． ∴点D的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键． 51．（2023石景山区一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点是第一象限内的点，，． (1)分别求出点、、的坐标． (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)在平面直角坐标系是否存在点，使与全等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，或 【分析】（1）根据可得，，从而得到，， 再根据，构造全等三角形，即可得到点C的坐标； （2）根据三个顶点坐标可求，则，又因为，即可求点P 的坐标； （3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E，由（1）求点C的坐标的方法可求出点坐标，点与点关于点A对称，点C与点关于点B对称，即可得到点E的三个坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则 ∵， ∴， 在中，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限内， ∴． （2）存在．过点作轴于点，则 ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ （3），或 理由：如图所示， 当，且点在第一象限时， 由（1）同理得 当，且点在第二象限时， 点与点关于点A对称 ∴ 当，且点在第二象限时， 点C与点关于点B对称 ∴ 综上所述，，或 故答案为：，或 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定． 52．（2021·湖北襄阳·模拟预测）在直角坐标系中，已知点、的坐标是，，满足方程组，为轴正半轴上一点，且． (1)求、、三点的坐标； (2)是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点沿轴负半轴方向以每秒个单位长度平移至点，当运动时间为多少秒时，四边形的面积为个平方单位？求出此时点的坐标． (4)连接、，若为上一动点（不与、重合）连接、，探究点在运动过程中，、、之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)t=6，点的坐标为 (4)，证明见解析 【分析】（1）解二元一次方程组求得的坐标，根据为轴正半轴上一点，且即可求得点的坐标； （2）设，且，根据三角形面积公式建立一元一次方程，解方程求解即可； （3）四边形的面积的面积的面积，得出，即可得出结果； （4）作，则，由平行线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】（1）方程组， 解得：， ，， ，， ， 为轴正半轴上一点，． ， ； （2）存在点，使；理由如下： ，且， ， 解得：， 或 （3）如图所示： 由题意得：，，， 四边形的面积的面积的面积， ， 即运动时间为秒时，四边形的面积为个平方单位； 点沿轴负半轴方向以每秒个单位长度平移至点， 点的坐标为； （4），理由如下： 作，如图所示： 则， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、方程组的解法、三角形面积公式、平移的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度适中． 53．（2022天心区一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在y轴上，且轴，．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止）． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)点P在运动过程中，连接，若把四边形的面积分成的两部分，求点P的坐标 (3)点P在运动过程中，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)， (2)点P的坐标为， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答； （2）不难证明四边形为长方形，则，再分两种情况：当时和当时，分别列出方程，求解即可； （3）分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，根据点P到x轴的距离为个单位长度列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，a，b满足， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由题意可知，轴，， ∵， ∴四边形为长方形， ∵， ∴， ∵把四边形的面积分成的两部分， ∴一部分面积为4，另一部分面积为8， ∴可分两种情况讨论：当时和当时， ①当时， 此时点P在上，点P的坐标为，， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为， ②当时， 此时点P在上，点P的坐标为，， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或． （3）解：存在，理由如下： ①当P在上运动时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②当P在上运动时，， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 综上，存在，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查非负数的性质、坐标与图形的性质、矩形的判定与性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，先根据题意分不同情况，再找准等量关系列出方程是解题关键． 54．（2023·贵州遵义·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，且满足．若四边形为平行四边形，且，点在轴上． (1)直接写出的值； (2)如图①，动点从点出发，以每秒2个单位长度沿轴向下运动，当时间为何值时，三角形的面积等于平行四边形面积的四分之一； (3)如图②，当从点出发，沿轴向上运动，连接，存在什么样的数量关系，请说明理由（排除在和两点的特殊情况）． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握坐标和图形的关系，将坐标与线段长进行转化，同时适当添加辅助线，构造平行线． （1）由非负数的性质求出a，b，得到A、B两点的坐标即可； （2）由A、B两点的坐标得到的长，结合点C坐标求出平行四边形的面积，再根据的面积等于平行四边形面积的，列出方程，解之即可； （3）分点P在线段上和点P在的延长线上，两种情况，过P作，利用平行线的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）∵， ∴，又， ∴， ∴平行四边形的面积， 由题意可知：，则， ∵的面积等于平行四边形面积的， ∴， 解得：或； （3）如图，当点P在线段上时， 过P作，    ∵， 则， ∴，， ∴， 即； 当点P在的延长线上时， 过P作，    ∵， ∴， ∴，， ∴． 即， 综上可知，或． 👉题型13 坐标方法的简单应用 55．（2024·山西临汾·二模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示： ∴点C的坐标为， 故选：D． 56．（2024·贵州六盘水·一模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形，根据建立坐标系，再确定小红下的白色第三子的棋盘坐标即可. 【详解】解：如图， 小红下的白色第三子的棋盘坐标是， 故答案为：． 57．（2024·河北廊坊·一模）某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（    ）方向上 A．正北 B．正东 C．正西 D．正南 【答案】B 【分析】本题主要是考查根据方向和距离确定物体的位置，根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以该同学起点的位置为观测点向北偏东方向走，以此时所处的位置为观测点向南偏东方向走，以起点的位置为观测点，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∴同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的正东方向上， 故选：B． 58．（2022·河北保定·一模）在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的(    ) ． A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上 C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上 【答案】C 【分析】过点C作CH∥BE，CG∥AF，根据两直线平行，内错角相等，再根据三角形的内角和进行解答即可． 【详解】解：过点C作CH∥BE，CG∥AF， 由题意点C在点B的北偏西20°方向， ∴∠CBE=20°， ∵CH∥BE， ∴∠HCB=∠CBE=20°， ∵∠ACB=70°， ∴∠ACH=70°-20°=50°， ∴点A在点C的南偏西50°方向． 故选：C． 【点睛】本题考查的是方向角的概念，从运动的角度，根据方位角的度数，再结合三角形的内角和与平行线的性质求解是解答此题的关键． 👉题型14 新考法：跨学科问题 59．（2024·吉林·二模）《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为 ． 【答案】 【分析】这是一道与语文知识的综合题，知道原诗作是解题的关键，根据题意，杨花落尽子规啼，闻道龙标过五溪．我寄愁心与明月，随君直到夜郎西．确定错别字是“到”，位于位置上，解答即可． 本题考查了与语文综合，点的位置表示，熟练掌握点的位置表示是解题的关键． 【详解】根据题意，得原诗作为“杨花落尽子规啼，闻道龙标过五溪．我寄愁心与明月，随君直到夜郎西．” 确定错别字是“到”，位于位置上， 故答案为：． 60．（2024锦州市模拟）某校组织九年级学生．以“运用函数知识探究坰锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应．锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中．逐次加入等量等溶度的稀盐酸．每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入．记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下： （i）收集数据： 加入稀盐酸的累计总量（单位：） … 充分反应后剩余固体的质量（单位：） … （ii）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”） （iii）求解模型：为便得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ii）所选的函数类型，求出该函数的表达式： （iv）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量． 阅读以上材料．回答下列问题： (1)完成小明的研究过程（ii）（描点，并指出函数类型）： (2)完成小明的研究过程（iii）； (3)设在研究过程（iv）中，发现最后剩余固体的质量保持不再变化，请你根据前求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜． 【答案】(1)见解析，一次函数 (2) (3) 【分析】本题考查了跨学科知识综合，图象的画法，一次函数性质． （1）根据描点法画出图象，结合点的走势，函数特点解答即可． （2）设该函数表达式是，选择两个点，待定系数法计算解答即可． （3）当时，即，解答即可． 【详解】（1）描点如下： 结合图象的特点，这一个函数的类型最有可能是一次函数， 故答案为：一次函数． （2）设该函数表达式是，将，代入上式，得， 解得． 故函数表达式是． （3）根据题意，当剩余固体的质量保持不再变化时，剩余固体均为铜，由（2）可得，当时，即， 解得， 所以当加入稀盐酸的总量至少为时，剩余固体均为铜． 61．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校组织九年级学生以研究某种化学试剂的挥发情况为主题，开展跨学科主题学习活动．某研究小组从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】记录的数据如下表： 时间（分钟） 5 10 15 20 … 剩余质量（克） 20 15 10 5 … 【探索应用】 (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示时间（分钟），纵轴表示剩余质量（克），描出以表格中数据为坐标的各点； (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； (3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂经过多长时间剩余质量恰好为克？ 【答案】(1)见解析 (2)在同一条直线上， (3)该化学试剂经过分钟剩余质量恰好为克 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意、熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表格中数据为坐标，描出各点即可； （2）观察数据发现“观察表格数据得：时间每过分钟，剩余质量减少克”，判断各点在同一条直线上，设（），把，代入求解即可； （3）根据题意“剩余质量恰好为克”，则时，，求解即可． 【详解】（1）解：如图，描出以表格中数据为坐标的各点， （2）解：∵观察表格数据得：时间每过分钟，剩余质量减少克， ∴和满足一次函数关系，即各点在同一条直线上， 设（）， 把，代入得：， 解得：， ∴； （3）解：时，， 解得：， 答：该化学试剂经过分钟剩余质量恰好为克． 62．（2024·山东青岛·一模）活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等： （1）根据图示和等高线的定义求解即可； （2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可； （4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可； （5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可． 【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米， 故答案为：100； （2）， 故答案为：； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为， 故选：G； （4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向， 故答案为：南；东； （5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率， ∴不公平，化学小组被坑了；、 设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下： 设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率． 👉题型15 新考法：新情景问题 63．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 64．（2023·河南·模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ．利用正多边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等可求，，证明轴，结合点A的坐标即可求解． 【详解】解∶设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ． 正六边形 的边长为4， ，，， ，，， ， ， ． ，， 是等边三角形， ， 又轴， 轴， ． 故选∶D． 65．（2024·山西大同·三模）2024年5月5日在四川成都举行的“尤伯杯”羽毛球团体决赛中，中国队第16次夺得冠军．如图1是比赛场馆图，图2是场馆某正方形座位示意图．小李、小亮、小东的座位如图所示（网格中，每个小正方形的边长都是1）．若小亮的座位用表示，小李的座位用表示，则小东的座位可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标．根据点的位置先确定平面直角坐标系的位置，然后写出点的坐标． 【详解】解：根据小亮、小李的位置确定坐标系位置如图所示， ∴小东的座位可以表示为， 故选：C． 66．（2024·陕西西安·二模）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼呼全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 量杯中的水量 10 20 30 40 50 60 70 为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：，， (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式； (2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少？ 【答案】(1)图见解析，函数类型为，y与t的函数表达式为 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是熟知一次函数的图象及其函数解析式． （1）用描点、连线方法画出函数图象，根据图象选择一次函数解析式，然后利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先算出一天的时间，再代入（1）中函数表达式中求解即可． 【详解】（1）解：如图， 根据图象，所给数据对应点都在一条直线上，故该函数符合一次函数类型：， ∴将，代入中， 得，解得， ∴y与t的函数表达式为； （2）解：一天时间为， 当时，， 答：估计照这样漏一天，量杯中的水量约为2890． 1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 3．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 4．（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)1.0 (2)见详解 (3)1.2，8.5 【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解； （2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可； （3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为． 【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：， 由表格数据得：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴； （2）解：如图所示，即为所画图像， （3）解：①当时，，由图象可知高度差， 故答案为：1.2； ②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为， 故答案为：． 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 【答案】D 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意； B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意； C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意； D、甲的速度是，原说法正确，符合题意； 故选D． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 4．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 6．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ． 【答案】 ③ 或 【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）①中，取，不存在“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，取时，，得到是的“近轴点”； （2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到． 【详解】（1）①中， 时，， 不存在“近轴点”； ②， 由对称性，当时，， 不存在“近轴点”； ③， 时，， ∴是的“近轴点”； ∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③ 故答案为：③； （2）中， 时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ∴， ∴； 当直线过时，， ∴， ∴； ∴m的取值范围为或． 故答案为：或． 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数； ， 解得：， 故答案为：． 8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 9．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 10．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 11．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】(1) (2)2或1 (3)整数a有4个 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【详解】（1）解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； （2）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． $$