3.11 二次函数的图象与a,b,c的关系&3.12 二次函数解析式的确定及图象变换-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 11　 二次函数的图象与 a,b,c 的关系(必考) 要点归纳 a 决定抛物线的开口方向, | a | 决定 开口大小 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下 a,b 决定抛物线对称轴的位置(对称 轴为直线x= - b 2a ) b= 0,对称轴为①　 y 轴　 ; b a >0,对称轴在 y 轴②　 左　 侧; b a <0,对称轴在 y 轴③　 右　 侧 c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c= 0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴 b2- 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b2 -4ac= 0 时,与 x 轴有唯一的交点(顶点); b2 -4ac>0 时,与 x 轴有④　 两个　 交点; b2 -4ac<0 时,与 x 轴没有交点 特殊 关系 先把含 a,b,c 的项移到等式(或不等式)的一边; 看到 2a+b,比较- b 2a 和 1 的大小;看到 2a-b,比较- b 2a 与-1 的大小; 看到 a+b+c,令 x= 1,看 y 的值;看到 a-b+c,令 x= -1,看 y 的值; 看到 4a+2b+c,令 x= 2,看 y 的值;看到 4a-2b+c,令 x= -2,看 y 的值 随堂练习 1. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c a≠0( ) 图象的对称轴为直线 x= -1,与 x 轴的一个交点 A 的坐标 为(1,0),其图象如图所示,下列结论: 　 第 1 题图 ①a>0;②b<0;③c<0;④abc >0;⑤b2 -4ac >0;⑥a-b+c<0;⑦一元二次方 程 ax2 +bx+c= 0 的两根是 x1 = -3,x2 = 1;⑧4a-2b+c>0;⑨当 y>0 时,-3< x<1;⑩当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大;􀃊􀁉􀁓若点 D( -11 2 ,y1),E( 5 2 ,y2 )是 函数图象上的两点,则 y1 <y2 . 正确的有　 ①③⑤⑥⑦⑩ 　 . 》》请完成分层作业本 P48 习题《《 65 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 12　 二次函数解析式的确定及图象变换(必考) 要点归纳 要点 1 待定系数法求二次函数解析式 →1-4 题 求二次函数解析式时,先观察题设中给出的条件,根据已知条件设出合适的二次函数解析式. 已知条件 常设解析式 任意三点坐标 一般式:y=ax2 +bx+c(a≠0) 与 x 轴的两个交点坐标+任意一点坐标 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 顶点坐标+任意一点坐标 对称轴+最值+任意一点坐标 顶点式:y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 要点 2 二次函数图象的变换 →5-6 题 (1)二次函数图象的平移 平移特点:①开口大小与开口方向均①　 不变　 ,即二次项系数②　 不变　 ; ②函数图象上每一个点的平移规律都相同. 平移方式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 简记 向左平移 m(m> 0)个单位长度 y=a(x +m )2+b(x +m )+c y=a(x +m -h) 2 +k 向右平移 m(m> 0)个单位长度 y=a(x -m )2+b(x -m )+c y=a(x -m -h) 2 +k 左 右 平 移: x 左加右减 向上平移 n ( n > 0)个单位长度 y=ax2 +bx+c +n y=a(x-h) 2 +k +n 向下平移 n ( n > 0)个单位长度 y=ax2 +bx+c -n y=a(x-h) 2 +k -n 上下平 移:等 式右边整体上 加下减 (2)二次函数图象的对称(翻折)、旋转 变换特点:开口大小恒不变. 对称方式 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点成中心对称 变换前后 图象特点 开口方向③　 相反　 开口方向④　 不变　 开口方向⑤　 　 　 x,y 的变化 x 不变,y 变为相反数 y 不变,x 变为相反数 x,y 变为相反数 一般式 y= ax2 +bx+c (a≠0) 顶点式 y= a(x-h) 2 +k (a≠0) 变换 后的 解析 式 y= -ax2 -bx-c y=ax2 -bx+c y= -ax2 +bx-c y= -a(x-h) 2 -k y=a(x+h) 2 +k y= -a(x+h) 2 -k 75 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 随堂练习 已知任意两点 1. 已知抛物线 y= -x2 +bx+c 经过点 A(3,0),B( -2,-5),求抛物线的表达式. 解:由题意,得 -9+3b+c=0, -4-2b+c=-5,{ 解得 b=2, c=3,{ ∴抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3. 已知顶点 2. (冀教九下 P57B 组第 1(1)题改编)已知抛物线的顶点为(2,4),且过点(1,2),求抛物线 的表达式. 解:设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2+4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2=a(1-2) 2+4,解得 a=-2, ∴抛物线的表达式为 y=-2(x-2) 2+4. 已知与 x 轴交点 3. (冀教九下 P39 例题改编)已知二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象经过点( -3,0),(1,0),(0, 3),求该二次函数的表达式. 解:∵二次函数的图象经过点(-3,0),(1,0), ∴设二次函数的表达式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×(-1)= 3,解得 a=-1, ∴该二次函数的表达式为 y=-(x+3)(x-1),即 y=-x2-2x+3. 已知对称轴 4. 多解法 ∙∙∙ 已知抛物线 y= 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x = 2,且经过点(1,0),求抛物线的表 达式. 解:解法一:∵抛物线的对称轴为直线 x=2, ∴- b 4 =2,解得 b=-8, 又∵抛物线经过点(1,0),∴2-8+c=0,解得 c=6, ∴抛物线的表达式为 y=2x2-8x+6. 解法二:∵抛物线 y=2x2+bx+c 的对称轴为直线 x=2,且与 x 轴交于点(1,0), ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴抛物线的表达式为 y=2(x-1)(x-3)= 2x2-8x+6. 5. 将抛物线 y= x2 -2x+2 向下平移 2 个单位长度,再向左平移 1 个单位长度,平移后所得新 抛物线的表达式为　 y=x2-1　 . 6. 将抛物线 y= -2x2 +4x-1 沿 x 轴翻折,得到的抛物线的表达式为　 y=2x2-4x+1　 ;沿 y 轴 翻折得到的抛物线表达式为　 y=-2x2-4x-1　 . 》》请完成分层作业本 P49-50 习题《《 85 (0,-4);x= -1;-1,-5;( - 5 -1,0)和( 5 -1,0) 命题点 11　 二次函数的图象与 a,b,c 的关系 要点归纳 ①y 轴　 ②左　 ③右　 ④两个 随堂练习 ①③⑤⑥⑦⑩ 命题点 12　 二次函数解析式的确定及图象变换 要点归纳 ①不变　 ②不变　 ③相反　 ④不变　 ⑤相反 随堂练习 1. 解:由题意,得 -9+3b+c= 0, -4-2b+c= -5,{ 解得 b= 2, c= 3,{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3. 2. 解:设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2 +4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2 =a(1-2) 2 +4,解得 a= -2, ∴ 抛物线的表达式为 y= -2(x-2) 2 +4. 3. 解:∵ 二次函数的图象经过点( -3,0),(1,0), ∴ 设二次函数的表达式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×( -1)= 3,解得 a= -1, ∴ 该二次函数的表达式为 y= -(x+3)(x-1), 即 y= -x2 -2x+3. 4. 解:解法 1:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, ∴ - b 4 = 2,解得 b= -8, 又∵ 抛物线经过点(1,0), ∴ 2-8+c= 0,解得 c= 6, ∴ 抛物线的表达式为 y= 2x2 -8x+6. 解法 2:∵ 抛物线 y= 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x= 2,且与 x 轴交于点(1,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴ 抛物线的表达式为 y= 2(x-1)(x-3)= 2x2 -8x+6. 5. y= x2 -1 6. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1 命题点 13　 二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③无　 ④x<x1 或 x>x2 ⑤x1 <x<x2 随堂练习 1. (1)(3,0);(2)x1 =-1,x2 =3;(3)-1<x<3;(4)x<-1 或 x>3 2. (1)(1,2),(5,18);(2) -2±2 5 命题点 14　 二次函数的实际应用 要点归纳 例 1　 解:解法 1:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x- 2) 2 +k(a≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 <0, ∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 解法 2:设抛物线的表达式为 y=ax2 +bx+8(a≠0), 将点 B(8,0)代入,结合- b 2a = 2, 得 - b 2a = 2, 64a+8b+8 = 0, { 解得 a= - 1 4 , b= 1, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 x2 +x+ 8 = - 1 4 ( x- 2) 2 + 9. 其 余同理. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 的长度为 9 m. ①(x-2)　 ② 1 2 [50-(x-2)]　 ③D　 ④(300-10x) ⑤(20+x)　 ⑥(300-10x)(20+x)　 ⑦-10x2 +100x+6 000 ⑧0≤x≤30　 ⑨5　 􀃊􀁉􀁒65　 􀃊􀁉􀁓6 250　 􀃊􀁉􀁔(300+20x) 􀃊􀁉􀁕(20-x)　 􀃊􀁉􀁖(300+20x)(20-x)　 􀃊􀁉􀁗-20x2 +100x+6 000 􀃊􀁉􀁘0≤x≤20　 􀃊􀁉􀁙当 x = 2. 5 时,y 取得最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元 􀃊􀁉􀁚∵ 6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元,即涨价 5 元时利润最 大,最大利润为 6 250 元 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、直线、角、角平分线 要点归纳 ①图 1,图 2,图 3　 ②图 4　 ③BC　 ④AC　 ⑤BC　 ⑥AC ⑦AB　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 3 　 􀃊􀁉􀁒60　 􀃊􀁉􀁓60　 􀃊􀁉􀁔90°　 􀃊􀁉􀁕相等 􀃊􀁉􀁖180°　 􀃊􀁉􀁗相等　 􀃊􀁉􀁘相等　 􀃊􀁉􀁙PN　 􀃊􀁉􀁚相等 随堂练习 1. B　 2. D　 3. (1)45°;(2)136° 命题点 2　 相交线与平行线 要点归纳 ①∠3　 ②∠8　 ③∠8　 ④∠5　 ⑤∠8　 ⑥∠7　 ⑦∠8 ⑧90° ⑨无数　 ⑩>　 􀃊􀁉􀁓>　 􀃊􀁉􀁔AO　 􀃊􀁉􀁕相等　 􀃊􀁉􀁖 = 　 􀃊􀁉􀁗 = 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5