3.10 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 10　 二次函数的图象与性质(必考) 要点归纳 要点 1 二次函数的图象与性质(图象⇔抛物线) 概念 形如 y=ax2 +bx+c(a,b,c 为常数且 a≠0􀪍􀪍)的函数叫作 x 的二次函数 三种表达式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 大 致 图 象 a>0 开口向上 a<0 开口向下 对称轴 直线 x= ①　 　 　 　 　 直线 x= ②　 h　 直线 x= ③　 　 　 　 　 顶点坐标 ④　 　 　 　 ⑤　 (h,k) 　 — 最 值 a>0 x= - b 2a 时, y 有最小值⑥　 　 　 　 　 x=h 时, y 有最小值⑦　 k　 x= x1 +x2 2 时, y 有最⑧　 小　 值 a<0 x= - b 2a 时, y 有最大值⑨　 　 　 　 　 x=h 时, y 有最大值􀃊􀁉􀁒　 k　 x= x1 +x2 2 时, y 有最 􀃊􀁉􀁓　 大　 值 增 减 性 a>0 在对称轴左侧时, y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁔　 减小　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁕　 增大　 a<0 在对称轴左侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁖　 增大　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁗　 减小　 注:特别地,若已知二次函数的表达式为 y=ax2 +bx,则二次函数图象必过原点 ∙∙∙∙ ;反之,若已 知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象过原点,则必有 c= 0. 25 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 对点练习 1. 根据表格填空: 表达式 顶点式: y= -2(x-1) 2 +4 交点式: y= 2(x-1)(x-3) 一般式: y= x2 +2x-4 由表达 式直接 得到的 信息 ①顶点坐标为　 (1,4)　 ; ②对称轴为直线　 x=1　 ; ③有最　 大　 值为　 4　 ①与 x 轴交点坐标为 　 (1,0)和(3,0) 　 ; ②对称轴为直线　 x=2　 ① 与 y 轴 交 点 坐 标 为 　 (0,-4) 　 ; ②对称轴为直线　 x=-1 　 最值 x= 　 1 　 时, y最大 = 　 4 　 x= 　 2 　 时, y最小 = 　 -2　 x= 　 -1 　 时, y最小 = 　 -5　 与坐标 轴交点 坐标 与 x 轴交点坐标为　 ( 2+ 1,0)和(- 2 +1,0) 　 ;与 y 轴交点坐标为　 (0,2)　 与 y 轴交点坐标为　 (0, 6) 　 与 x 轴交点坐标为 　(- 5-1,0)和( 5-1,0)　 画出 草图 要点 2 对称轴的理解与应用 (1)求对称轴 例 1　 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,4)和(-6,4)两点,则此抛物线的对称轴为(􀃊􀁉􀁘　 C　 ) A. 直线 x=4　 　 　 　 B. 直线 x=0　 　 　 　 C. 直线 x=-3　 　 　 　 D. 直线 x=-6 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 图 1 方法指导 如图 1,若抛物线上两点的纵坐标相等,横坐标不相等(x1≠x2),则对称轴 为直线 x= x1+x2 2 . (2)判断函数类型:给出几组自变量 x 与函数值 y 的对应值,若有下表的特征,则该函数为 二次函数; 35 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 【获取信息】由表可得,该二次函数的图象性质: ①开口􀃊􀁉􀁙　 向上　 ,对称轴为直线􀃊􀁉􀁚　 x=1　 ,顶点坐标为􀃊􀁉􀁛　 (1,-9) 　 ; ②当 x≤1 时,y 随 x 的增大而 􀃊􀁊􀁒　 减小　 ,当 x≥1 时,y 随 x 的增大而􀃊􀁊􀁓　 增大　 ;函 数有最􀃊􀁊􀁔　 小　 值,为􀃊􀁊􀁕　 -9　 ; ③该二次函数的图象与 x 轴的交点有􀃊􀁊􀁖　 2　 个,坐标为􀃊􀁊􀁗　 (-2,0),(4,0) 　 ,与 y 轴的交点坐标为􀃊􀁊􀁘　 (0,-8) 　 . (3)利用对称轴求点坐标 变式题图 例 2　 抛物线 y= x2 -4x+m 2 与 x 轴的一个交点的坐标为(1,0), 则此 抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为􀃊􀁊􀁙　 (3,0) 　 . 变式　 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴为直线 l,抛物线与 直线 y = t 交于点 A(3,t),根据图象可知抛物线的对称轴为 􀃊􀁊􀁚　 直线 x=1　 ,点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为 􀃊􀁊􀁛　 (-1,t) 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 方法指导 ①已知对称轴为直线 x=a,与 x 轴的一个交点为(b,0),则与 x 轴的另一个交点坐标 为􀃊􀁋􀁒　 (2a-b,0) 　 ;②若已知抛物线上任意一点的坐标为 M(m,n),对称轴为直线 x=a,则点 M 关于对称轴对称的点的坐标为􀃊􀁋􀁓　 (2a-m,n) 　 . (4)利用对称轴比较函数值大小 例 3　 多解法 ∙∙∙ (冀教九下 P38A 组第 2 题(3)改编)若二次函数 y= a(x-3) 2 +c(a>0)的图 象过 A( -1,y1),B(2,y2),C(5,y3),则 y1,y2,y3 的大小关系是 (􀃊􀁋􀁔　 B　 ) A. y1 >y2 >y3 　 　 　 B. y1 >y3 >y2 　 　 　 C. y2 >y1 >y3 　 　 　 D. y3 >y1 >y2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 方法指导 解法一:异侧转化为同侧. 需求出点关于对称轴对称的点的横坐标,然后利用同侧的 增减性比较,如图 2,图 3. 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 解法二:距离法. 先定开口方向,再算“距离”,开口向上,距离对称轴越远的值越大, 开口向下,距离对称轴越远的值越小. 如图 4,可得点 A,C,B 到抛物线对称轴 x= t 的 距离的大小关系为 | xB-t | > | xC-t | > | xA -t | (用含 t 的代数式分别表示距离),因为抛 物线开口向上,所以 yA,yB ,yC 的大小关系是􀃊􀁋􀁕　 yB 　 > 􀃊􀁋􀁖　 yC 　 >􀃊􀁋􀁗　 yA 　 . 45 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 (5)利用对称轴求自变量取值范围内函数最值(涉及分类讨论) 例 4　 已知二次函数 y= - 1 2 (x+1) 2 +3,当 1≤x≤4 时,该二次函数的最大值为􀃊􀁋􀁘　 1　 . 变式　 已知二次函数 y= -(x-h) 2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时,与其对应 的函数值 y 的最大值为-1,则 h 的值为 (　 　 ) A. 3 或 6 B. 1 或 6 C. 1 或 3 D. 4 或 6 【思路点拨】如图 5,通过对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨论,求出符合 图 5 条件的 h 的值. ①当 h<2 时,有􀃊􀁋􀁙　 -(2-h) 2 =-1　 ,解得􀃊􀁋􀁚　 h=1　 ; ②当 2≤h≤5 时,y= -(x-h) 2 的最大值为􀃊􀁋􀁛　 0　 ,不符合题意; ③当 h>5 时,有􀃊􀁌􀁒　 -(5-h) 2 =-1　 ,解得􀃊􀁌􀁓　 h=6　 . 【答案】􀃊􀁌􀁔　 B　 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 方法指导 已知二次函数 y=a(x-h)2 +k 图象的对称轴为直线 l,且函数图象经过点(1,m)和(4, n),根据下列二次函数图象,当 1≤x≤4 时,函数 y 的最大值与最小值如下. 图象 最大值 m k k n 最小值 n n m m 图象 最大值 n n m m 最小值 m k k n 注:①当对称轴在自变量取值范围左侧或右侧时,函数在所给自变量取值范围端点 处取得最大值与最小值; ②当对称轴在自变量取值范围内时,函数在顶点处取得一个最值,在所给自变量 取值范围距对称轴较远处一端点取得另一个最值. 》》请完成分层作业本 P46-47 习题《《 55 ∴ 当通话时间小于 240 min 时,应选择 B 类;当通话时间大 于 240 min 时,应选择 A 类;当通话时间为 240 min 时,选择 A,B 类都可以. 􀃊􀁉􀁛s0 　 􀃊􀁊􀁒t1 时刻到达乙地　 􀃊􀁊􀁓t2 时刻开始从乙地返回甲地 􀃊􀁊􀁔在乙地停留的时间为 t2 -t1 　 􀃊􀁊􀁕 s0 t1 　 􀃊􀁊􀁖 s0 t3 -t2 　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘s0 􀃊􀁊􀁙s1 　 􀃊􀁊􀁚t2 -t1 　 􀃊􀁊􀁛t3 　 􀃊􀁋􀁒 s1 t1 　 􀃊􀁋􀁓 s0 -s1 t3 -t2 　 􀃊􀁋􀁔>　 􀃊􀁋􀁕b　 􀃊􀁋􀁖a 􀃊􀁋􀁗t1 　 􀃊􀁋􀁘b　 􀃊􀁋􀁙a　 􀃊􀁋􀁚t4 -t3 　 􀃊􀁋􀁛<　 􀃊􀁌􀁒t2 时刻 b 车在距离甲地 s1 处追上 a 车　 􀃊􀁌􀁓t3 　 􀃊􀁌􀁔t2 　 􀃊􀁌􀁕<　 􀃊􀁌􀁖t1 时刻 a、b 两车在距 离甲地 s1 处相遇　 􀃊􀁌􀁗a、b 两车在 t1 时刻相遇 　 􀃊􀁌􀁘a 车在 t2 时刻率先到达乙地　 􀃊􀁌􀁙b 车在 t3 时刻到达甲地 命题点 7　 反比例函数的图象与性质 要点归纳 ①x≠0　 ②一、三　 ③减小　 ④二、四　 ⑤增大　 ⑥y = ±x　 ⑦原点　 ⑧>　 ⑨<　 ⑩y1 <y3 <y2 　 􀃊􀁉􀁓D　 􀃊􀁉􀁔-1<y<0 􀃊􀁉􀁕x<-2 或 x>0 随堂练习 1. D 2. (1)4,一、三,减小,>,<; (2)B,D,E,H,K; (3) 第 2 题解图 (4)第三象限; (5)在;(6) >;(7) > 命题点 8　 反比例函数解析式的 确定及 k 的几何意义 要点归纳 ①ab　 ② ab x 　 ③ | k | 　 ④2　 ⑤1　 ⑥ | k | 　 ⑦ 1 2 | k | 　 ⑧ | k | 随堂练习 1. A　 2. D　 3. C　 4. B　 5. (1) -4;(2)6 命题点 9　 反比例函数的应用 随堂练习 1. D 2. (1)y= 3x+3,y= 6 x ; (2) 第 2 题解图 ①x>1 或-2<x<0;②0<x≤1 或 x≤-2;(3) 9 2 3. 12 4. (1)y= 6 x ;(2)①1;②3<n≤4 或 1≤n<2 【解析】(1)将点(2,3)代入双曲线的表达式,得 3 = k 2 ,解 得 k= 6,故双曲线的表达式为 y = 6 x ( x> 0);( 2) ①如解 图,当 n= 4 时,图象 G 为 PB,PC 和双曲线上 BC 之间的部 分围成的区域,此时,图象 G 内只有 1 个整点 M(3,3);② 如解图,当图象 G 内只有 1 个整点时,除了点 M 外还有点 N,∴ n 的取值范围为 3<n≤4 或 1≤n<2. 第 4 题解图 命题点 10　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥ 4ac-b2 4a 　 ⑦k　 ⑧小　 ⑨ 4ac-b2 4a 　 􀃊􀁉􀁒k　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔减小 􀃊􀁉􀁕增大　 􀃊􀁉􀁖增大　 􀃊􀁉􀁗减小　 􀃊􀁉􀁘C　 􀃊􀁉􀁙向上　 􀃊􀁉􀁚x= 1 􀃊􀁉􀁛(1,-9)　 􀃊􀁊􀁒减小　 􀃊􀁊􀁓增大　 􀃊􀁊􀁔小　 􀃊􀁊􀁕-9　 􀃊􀁊􀁖2　 􀃊􀁊􀁗( -2, 0),(4,0)　 􀃊􀁊􀁘(0,-8)　 􀃊􀁊􀁙(3,0)　 􀃊􀁊􀁚直线 x= 1　 􀃊􀁊􀁛( -1,t) 􀃊􀁋􀁒(2a-b,0)　 􀃊􀁋􀁓(2a-m,n)　 􀃊􀁋􀁔B　 􀃊􀁋􀁕yB 　 􀃊􀁋􀁖yC 　 􀃊􀁋􀁗yA 　 􀃊􀁋􀁘1 􀃊􀁋􀁙-(2-h) 2 = -1　 􀃊􀁋􀁚h= 1　 􀃊􀁋􀁛0　 􀃊􀁌􀁒-(5-h) 2 = -1　 􀃊􀁌􀁓h= 6 􀃊􀁌􀁔B 对点练习 1. (1,4);x= 1;大,4;1,4;( 2 +1,0)和( - 2 +1,0);(0,2) (1,0)和(3,0);x= 2;2,-2;(0,6) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 (0,-4);x= -1;-1,-5;( - 5 -1,0)和( 5 -1,0) 命题点 11　 二次函数的图象与 a,b,c 的关系 要点归纳 ①y 轴　 ②左　 ③右　 ④两个 随堂练习 ①③⑤⑥⑦⑩ 命题点 12　 二次函数解析式的确定及图象变换 要点归纳 ①不变　 ②不变　 ③相反　 ④不变　 ⑤相反 随堂练习 1. 解:由题意,得 -9+3b+c= 0, -4-2b+c= -5,{ 解得 b= 2, c= 3,{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3. 2. 解:设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2 +4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2 =a(1-2) 2 +4,解得 a= -2, ∴ 抛物线的表达式为 y= -2(x-2) 2 +4. 3. 解:∵ 二次函数的图象经过点( -3,0),(1,0), ∴ 设二次函数的表达式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×( -1)= 3,解得 a= -1, ∴ 该二次函数的表达式为 y= -(x+3)(x-1), 即 y= -x2 -2x+3. 4. 解:解法 1:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, ∴ - b 4 = 2,解得 b= -8, 又∵ 抛物线经过点(1,0), ∴ 2-8+c= 0,解得 c= 6, ∴ 抛物线的表达式为 y= 2x2 -8x+6. 解法 2:∵ 抛物线 y= 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x= 2,且与 x 轴交于点(1,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴ 抛物线的表达式为 y= 2(x-1)(x-3)= 2x2 -8x+6. 5. y= x2 -1 6. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1 命题点 13　 二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③无　 ④x<x1 或 x>x2 ⑤x1 <x<x2 随堂练习 1. (1)(3,0);(2)x1 =-1,x2 =3;(3)-1<x<3;(4)x<-1 或 x>3 2. (1)(1,2),(5,18);(2) -2±2 5 命题点 14　 二次函数的实际应用 要点归纳 例 1　 解:解法 1:根据题意,设抛物线的表达式为 y = a( x- 2) 2 +k(a≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 <0, ∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 解法 2:设抛物线的表达式为 y=ax2 +bx+8(a≠0), 将点 B(8,0)代入,结合- b 2a = 2, 得 - b 2a = 2, 64a+8b+8 = 0, { 解得 a= - 1 4 , b= 1, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 x2 +x+ 8 = - 1 4 ( x- 2) 2 + 9. 其 余同理. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 的长度为 9 m. ①(x-2)　 ② 1 2 [50-(x-2)]　 ③D　 ④(300-10x) ⑤(20+x)　 ⑥(300-10x)(20+x)　 ⑦-10x2 +100x+6 000 ⑧0≤x≤30　 ⑨5　 􀃊􀁉􀁒65　 􀃊􀁉􀁓6 250　 􀃊􀁉􀁔(300+20x) 􀃊􀁉􀁕(20-x)　 􀃊􀁉􀁖(300+20x)(20-x)　 􀃊􀁉􀁗-20x2 +100x+6 000 􀃊􀁉􀁘0≤x≤20　 􀃊􀁉􀁙当 x = 2. 5 时,y 取得最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元 􀃊􀁉􀁚∵ 6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元,即涨价 5 元时利润最 大,最大利润为 6 250 元 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、直线、角、角平分线 要点归纳 ①图 1,图 2,图 3　 ②图 4　 ③BC　 ④AC　 ⑤BC　 ⑥AC ⑦AB　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 3 　 􀃊􀁉􀁒60　 􀃊􀁉􀁓60　 􀃊􀁉􀁔90°　 􀃊􀁉􀁕相等 􀃊􀁉􀁖180°　 􀃊􀁉􀁗相等　 􀃊􀁉􀁘相等　 􀃊􀁉􀁙PN　 􀃊􀁉􀁚相等 随堂练习 1. B　 2. D　 3. (1)45°;(2)136° 命题点 2　 相交线与平行线 要点归纳 ①∠3　 ②∠8　 ③∠8　 ④∠5　 ⑤∠8　 ⑥∠7　 ⑦∠8 ⑧90° ⑨无数　 ⑩>　 􀃊􀁉􀁓>　 􀃊􀁉􀁔AO　 􀃊􀁉􀁕相等　 􀃊􀁉􀁖 = 　 􀃊􀁉􀁗 = 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5