3.7 反比例函数的图象与性质&3.8 反比例函数解析式的确定及k的几何意义-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 7　 反比例函数的图象与性质(必考) 要点归纳 要点 1 反比例函数的概念及其表达式 (1)概念:一般地,形如 y= k x (k 为常数,k≠0)的函数叫作反比例函数,自变量 x 的取值范 围是①　 x≠0　 ; (2)表达式的三种形式(k 为常数,k≠0):①y= k x ;②y= kx-1;③xy= k. 要点 2 反比例函数的图象与性质(图象⇔双曲线) →1-2 题 图象 性质 表达式 ①图象分别位于第② 一、三 　 象限; ②在每一个象限内,y 随 x 的增 大而③　 减小　 ①图象分别位于第④　 二、四　 象限; ②在每一个象限内,y 随 x 的增 大而⑤　 增大　 共性: ①图象关于直线⑥　 y=±x　 成轴对称; 关于⑦　 原点 　 成 中心对称; ②图象上任意一点 P(x,y)的横、纵坐 标之积均为 k,即 xy= k y= k x (k⑧　 >　 0) y= k x (k⑨ <　 0) 要点 3 反比例函数图象上点的纵坐标大小比较 →2 题 (1)在同一象限时,根据函数的增减性来比较,k>0,y 随 x 的增大而减小; k<0,y 随 x 的增大而增大; (2)在不同象限时,x 轴上方的图象上的点的纵坐标大,反之则小. 最简单的办法就是画出草图,标出各点,从图象中比较大小. 如图,若 x1 <0<x2 <x3,则 y1,y2,y3 的大小关系为⑩　 y1<y3<y2 　 . 易错点 1　 忽视反比例函数增减性的前提条件 例 1　 若点 A(a,m)和点 B(b,n)在反比例函数 y= 7 x 的图象上,且 a<b,则 (􀃊􀁉􀁓　 D　 ) A. m>n　 　 　 　 B. m<n　 　 　 　 C. m=n　 　 　 　 D. m、n 的大小无法确定 易错点 2　 求反比例函数的取值范围时,要考虑自变量在每个象限内的情况 例 2　 (北师九上 P161T5 改编)已知反比例函数 y= 2 x ,当 x<-2 时,y 的取值范围是􀃊􀁉􀁔 -1<y<0　 , 当 y>-1 时,x 的取值范围是􀃊􀁉􀁕　 x<-2 或 x>0　 . 54 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 随堂练习 1. 对于反比例函数 y= 6 x 的图象的对称性叙述错误的是 ( D ) A. 关于原点中心对称 B. 关于直线 y= x 对称 C. 关于直线 y= -x 对称 D. 关于 x 轴对称 2. 【一题多设问】(冀教九上 P131 图 27-2-1 改编)在如图所示的坐标平面内有一点 P(1, 4),已知反比例函数 y= k x (k≠0)的图象经过点 P. 第 2 题图 (1)k 的值是 　 4 　 ;该函数图象位于第 　 一、三 　 象限;当 x < 0 时, y 随 x 的增大而 　 减小　 ;当 x>0 时,y　 >　 0,当 x<0 时,y　 <　 0; (2)判断下列点也在该反比例函数图象上的有　 B,D,E,H,K　 ;(写出代表点的字母) A( -1,4),B(2,2),C(2,3),D(4,1),E( -2,-2),G(4,-1),H( -4,-1),K( -1,-4) (3)用描点法在图中的平面直角坐标系内画出该函数的图象; (4)若点 Q( -m2,n)在该反比例函数图象上,则点 Q 所在的象限是　 第三象限　 ; (5)若点(m,n)在该反比例函数图象上,则点( -m,-n) 　 在　 (填“在”或“不在”)该反比 例函数图象上; (6)若点( 1 2 ,a),(3,b)均在该反比例函数图象上,则 a　 >　 b; (7)若点(x1,y1),(x2,y2)均在该反比例函数图象上,且 0<x1 <x2,则 y1 　 >　 y2 . 》》请完成分层作业本 P40 习题《《 命题点 8　 反比例函数解析式的确定及 k 的几何意义(10 年 6 考) 要点归纳 要点 1 待定系数法求反比例函数的表达式 知一点坐标即可求表达式. (1)设出形如 y= k x 的反比例函数表达式; (2)将图象上一点坐标(a,b)代入得 k= ①　 ab　 ; (3)确定反比例函数表达式 y= ②　 　 　 　 . 64 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 2 反比例函数 k 的几何意义 过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线段,垂线段与坐标轴围成的矩形的 面积为③　 |k | 　 .如图,S矩形ABOC =④　 2　 ,S△AOB =S△ACO =⑤　 1　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋技巧点拨 题中已知面积求 k 时,可考虑利用 k 的几何意义,由面积得 | k | ,再 结合图象所在象限判断 k 的正负,从而得出 k 的值. 亦可用此方法 求反比例函数的表达式. 要点 3 与反比例函数 k 的几何意义有关的面积计算 单 个 反 比 例 函 数 初始图形 衍生图形 S矩形ABCD = ⑥　 | k | 　 S▱ABCD = | k | 　 　 S▱ABCD = | k | S△AOP = ⑦　 　 　 　 　 S△ABC = 1 2 | k | 　 S△ABC = 1 2 | k | 　 　 (AO=AB) S△AOB = | k | S△AOB+S△COD =⑧　 |k |　 S△ABC = | k | 　 　 　 　 S△APP′ = 2 | k | 两 个 反 比 例 函 数 初始图形 衍生图形 初始图形 衍生图形 S矩形ABCD = | k1 | + | k2 | S△ABO =S△ABC = 1 2 ( | k1 | + | k2 | ) S矩形ABED = |k1 | - |k2 | S△BOC = 1 2 (|k1 |-|k2 |) 74 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 技巧点拨 ①与 k 的几何意义有关的面积计算中,寻找的关键量􀪍􀪍􀪍是反比例函数图象上点的横、纵坐 标,那么根据同底等高􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍、等底等高􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍的三角形(特殊平行四边形)面积相等可推导出面积 为 1 2 | k | 或 | k | 的几何图形; ②常作辅助线􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍:a. 连接反比例函数图象上的点与坐标原点; b. 过反比例函数图象上的点作 x 轴或 y 轴的垂线. 随堂练习 1. 若反比例函数 y= k x (k≠0)的图象经过点( -1,4),则它的函数表达式是 ( A ) A. y= - 4 x B. y= - 1 4x C. y= 4 x D. y= 1 4x 2. 已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x= 2 时,y= 6,则 y 关于 x 的函数解析式为 ( D ) A. y= 1 12x B. y= 3 x C. y= 3x D. y= 12 x 3. 已知 P 是反比例函数 y= k x (k≠0)图象上一点,PA⊥x 轴于点 A,若 S△AOP = 4,则这个反比 例函数的解析式是 ( C ) A. y= 8 x B. y= - 8 x C. y= 8 x 或 y= - 8 x D. y= 4 x 或 y= - 4 x 4. 若下列图中反比例函数的表达式均为 y= 4 x ,则阴影面积为 2 的是 ( B ) 图① 　 　 　 图② 　 　 　 图③ 　 　 　 图④ 第 4 题图 A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 　 第 5 题图 5. 大、小两个正方形按图示方式放置,反比例函数 y = k x (x<0)的图象经过 小正方形的一个顶点 A,且与大正方形的一边交于点 B( -1,4) . (1)k= 　 -4　 ; (2)图中阴影部分的面积为　 6　 . 》》请完成分层作业本 P41 习题《《 84 ,.当通话时间小于240mn时，应选择B类：当通话时间大 于240min时，应选择A类：当通话时间为240min时，选择 @x>1或-2<<0：20<≤1或x≤-2(3)号 A,B类都可以 3.12 ⑧。②1，时刻到达乙地，时刻开始从乙地返回甲地 6 4.(1)y= 年：(2)①1：23<n≤4或1≤n<2 ②在乙地停留的时间为，4，因母，、5< 3-2 【解析1(1)将点(2,3)代人双曲线的表达式，得3=专 8,-4194,产团e86u ,解 6 516a,-4,8<0时刻b车在距离甲地 得k=6,故双曲线的表达式为y=是(x>0):(2)①如解 s,处追上a车，218<t,时刻a,b两车在距 图，当n=4时，图象G为PB,PC和双曲线上BC之间的部 离甲地s,处相遇5a,b两车在41时刻相遇6a车在t 分围成的区域，此时，图象G内只有1个整点M(3,3):② 时刻率先到达乙地b车在4时刻到达甲地 如解图，当图象G内只有1个整点时，除了点M外还有点 命题点7反比例函数的图象与性质 N,n的取值范围为3<m≤4或1≤n<2. 要点归纳 ①x≠0②一、三③减小④二，四⑤增大⑥y=±x ⑦原点⑧>⑨<0，<，<D2-1<y<0 Bx<-2或x>0 随堂练习 1.D P■■■W 2.(1)4.一、三，减小，>，<： 246 8 (2)B.D.E.H.K: 第4题解图 (3) 命题点10 二次函数的图象与性质 要点归纳 ②h③+5 -） ⑤(h,k) Gtae-b 第2题解图 4a ⑦k⑧小g4如c-b 4a 0k①大2减小 (4)第三象限： B增大增大5减小GC①向上⑧x=1 (5)在：(6)>：(7)> 0(1,-9)0减小①增大2小8-9425(-2， 命题点8反比例函数解析式的 0),(4.0)④(0，-8)团(3,0)@直线x=1四(-1，） 确定及k的几何意义 (2a-b,0)①(2a-m,n）2B8yyc5y,1 要点归纳 8-(2-h)2=-18h=10040-(5-h)2=-140h=6 ①ab②地 ③11④2⑤1⑥11⑦子181 2B 随堂练习 对点练习 1.A2.D3.C4.B5.(1)-4:(2)6 1(1,4)x=1:大，4：1,4：(2+1,0)和(-2+1,0)：(0,2) 命题点9反比例函数的应用 随堂练习 1.D 2(1)y=3x+3.y=6 (2》 (1.0)和(3.0)：x=2:2,-2:(0,6 第2题解图 4