3.6 一次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 6　 一次函数的实际应用(必考) 类型 1 费用、利润最值问题 ◆解题思路:明确等量关系式→确定函数关系式→确定自变量取值范围→由函数增减性确 定最值. 例 1　 某服装店购进甲、乙两种服装,甲种服装进价为 70 元 /件,市场售价为 100 元 /件,乙种 服装进价为 35 元 /件,市场售价为 75 元 /件. 若该店决定用不多于 6 300 元购进这两种 服装共 100 件,并全部售出. (1)请分别写出购进总费用 y(单位:元)、所获利润 w(单位:元)与购进甲种服装数量 x(单位:件)之间的函数关系式; (2)请求购进这批服装的最低费用和这批服装全部售出的最大利润. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解题步骤: (1)设:由题意知购进甲种服装①　 x　 件,则购进乙种服装②　 (100-x) 　 件; 列一次函数关系式:y= ③　 70x+35(100-x) 　 = ④　 35x+3 500　 ; w= ⑤　 (100-70)x+(75-35)(100-x) 　 = ⑥　 -10x+4 000　 ; (2)确定 x 的取值范围:由“用不多于 6 300 元购进这两种服装共 100 件􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍” 可得不等式: ⑦　 35x+3 500≤6 300　 ,且 0≤x≤100,解得⑧　 0≤x≤80　 ;(根据限定条件列出不 等式) 判断 y,w 随 x 增大时的变化情况:∵ 35>0,-10<0, ∴ y 随 x 的增大而增大;w 随 x 的增大而减小;(判断函数增减性) 确定最值:当 x= ⑨　 0　 时,y 取得最小值,此时 y= 􀃊􀁉􀁒　 3 500　 ; 当 x= 􀃊􀁉􀁓　 0　 时,w 取得最大值,此时 w= 􀃊􀁉􀁔　 4 000　 . 答:􀃊􀁉􀁕　 购进这批服装的最低费用为 3 500元,这批服装全部售出的最大利润为 4 000元　 . 类型 2 方案择优问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋◆问题考查方式及解决方法: ①当给定 x 值,比较哪个方案花费更少时,直接将 x 值代入表达式􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,比较 y 值大小; ②当给定 y 值,比较哪个方案量更多时,直接将 y 值代入表达式􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,比较 x 值大小; ③当 x,y 值均未给定,求解哪个方案更合算 /省钱时,分别令 y1 = y2,y1 >y2,y1 <y2􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,并计算出 x 的取值范围,再根据结果选取方案. 例 2　 (人教八下 P98 练习改编)某移动公司有两类收费标准,A 类收费标准如下: ①不管通􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 话时间多长,每月必须缴月租费 12 元,另外,通话费按 0. 2 元 / min 计􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. B 类收费标准 如下: ②没有月租费,但通话费按 0. 25 元 / min 计.􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (1)分别写出 A,B 两类收费标准每月应缴费用 y(元)与通话时间 x( min) 之间的函数关 系式. 审:A 类收费标准下的函数关系式:由①知每月应缴费用 =月租费+ 每分钟通话费×通话􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 时间􀪍􀪍 = 􀃊􀁉􀁖　 12　 +􀃊􀁉􀁗　 0. 2　 ×通话时间;B 类收费标准下的函数关系式:由②知每月应缴􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 24 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 费用=􀪍􀪍􀪍每分钟通话费×通话时间􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 = 􀃊􀁉􀁘　 0. 25　 ×通话时间; 列:A 类:yA = 􀃊􀁉􀁙　 0. 2x+12　 ;B 类:yB = 􀃊􀁉􀁚　 0. 25x　 ; (2)如果某用户预计每月交 55 元的话费, 那么该用户选择哪类收费标准划算? 【自主作答】解:当 y=55 时,A类:55=0. 2x+12,解得 x= 215;B 类:55 = 0. 25x,解得 x= 220, ∵215<220,∴B 类划算. (3)根据一个月的通话时间,你认为选择哪类收费标准更实惠? 【自主作答】解:由 0. 2x+12>0. 25x,解得 x<240;由 0. 2x+12<0. 25x,解得 x>240;由 0. 2x+12 =0. 25x,解得 x=240. ∴当通话时间小于 240 min时,应选择 B 类;当通话时间大于 240 min时,应选择 A类;当通 话时间为 240 min时,选择 A,B 类都可以. 类型 3 行程问题(以下均为匀速运动) 类型 图象 背景及得到的信息 单人 单线 往返 背景:某人从甲地前 往乙地,停留一段时 间后返回甲地 信息: ①甲、乙两地间的距离为􀃊􀁉􀁛　 s0 　 ; ②点 A 的实际意义为􀃊􀁊􀁒　 t1 时刻到达乙地　 ; 点 B 的实际意义为􀃊􀁊􀁓　 t2 时刻开始从乙地返回甲地　 ; 线段 AB 的实际意义为􀃊􀁊􀁔　 在乙地停留的时间为 t2-t1　 ; ③OA 段的速度 v1 为􀃊􀁊􀁕　 　 　 　 　 　 , BC 段的速度 v2 为􀃊􀁊􀁖　 　 　 　 　 　 ; ④若 α<β,则 v1􀃊􀁊􀁗　 <　 v2(填“>”“<”或“ =”) 单程 背景:某人从甲地前 往乙地,途中因故停 留一段时间后继续前 进并到达乙地 信息: ①甲、乙两地间的距离为􀃊􀁊􀁘　 s0 　 ;停留地与甲地的距离 为􀃊􀁊􀁙　 s1 　 ; ②中途停留的时间为 􀃊􀁊􀁚 　 t2 - t1 　 ;到达乙地的时刻 为􀃊􀁊􀁛　 t3 　 ; ③OA 段的速度 v1 为􀃊􀁋􀁒　 　 　 　 　 　 , BC 段的速度 v2 为􀃊􀁋􀁓　 　 　 　 　 　 ; ④若 α>β,则 v1􀃊􀁋􀁔　 >　 v2(填“>”“<”或“ =”) 34 基础夯实练·河北数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 双人 双线 追及 背景:OA 与 BC 分别 表示 a 车与 b 车从甲 地不同时出发前往 乙地 信息: ①􀃊􀁋􀁕 　 b 　 车比􀃊􀁋􀁖 　 a 　 车晚出发,晚出发的时间为 􀃊􀁋􀁗　 t1　 ; ②􀃊􀁋􀁘　 b 　 车比􀃊􀁋􀁙 　 a 　 车早到达乙地,早到达的时间为 􀃊􀁋􀁚　 t4-t3　 ; ③若 a 车的速度为 va,b 车的速度为 vb,则 va􀃊􀁋􀁛 <　 vb(填 “>”“<”或“ =”); ④点 D 的实际意义为􀃊􀁌􀁒　 t2 时刻 b 车在距离甲地 s1 　 ; ⑤追及时在时间上存在等量关系: s1 va - s1 vb = t1 相遇 背景:OA 表示 a 车从 甲地前往乙地,BC 表 示 b 车从乙地前往甲 地,两车同时出发 信息: ①a,b 两车相向而行,a 车到达乙地的时刻为􀃊􀁌􀁓　 t3 　 ,b 车到达甲地的时刻为􀃊􀁌􀁔　 t2 　 ; ②若 a 车的速度为 va,b 车的速度为 vb,则 va 􀃊􀁌􀁕　 <　 vb (填“>”“<”或“ =”); ③点 D 的实际意义为􀃊􀁌􀁖　 t1 时刻 a,b 两车在距离　 　 ; ④相遇时在路程上存在等量关系:s0 = va t1 +vb t1 双人单线 背景:a 车以速度 va 从甲地前往乙地,同 时 b 车以速度 vb 从 乙地前往甲地,且 va >vb,图中表示两车 之间的距离 s 与行 驶时间 t 之间的函 数关系 信息: ①点 B 的实际意义为􀃊􀁌􀁗　 a 车在时刻率先到达乙地　 ; ②点 C 的实际意义为􀃊􀁌􀁘　 a 车在时刻率先到达乙地　 ; ③点 D 的实际意义为􀃊􀁌􀁙　 a 车在时刻率先到达乙地　 ; ④等量关系:在 AB 段有 va t1 +vb t1 = s0, 在 BC 段有 va( t2 -t1)+vb( t2 -t1)= s1, 在 CD 段有 vb( t3 -t2)= s0 -s1 》》请完成分层作业本 P38-39 习题《《 44 (2)x的小于2用不等式表示为 4℃-2，解得y<-8 3.解：(1)(-8-11-14+10-16+21)+50×6=282（千米）， 答：这六天一共行驶282千米： .解集为-10≤y<8 (2)设第七天能行驶x千米，依题意得 在数轴上表示如解图②】 282 100*8 100 ×8≤24，解得x≤18， -10-9-8-7-6-5-4-3-2-0十 答：第七天最多还能行驶18千米 第2题解图② 第三章 函 数 命题点】平面直角坐标系与函数 命题点4 一次函数解析式的确定及图象的平移 要点归纳 随堂练习 ①y②x③x=0且y=0④纵⑤横⑥(x,-y） 1.(1)3:(2)2:(3)4: ⑦(-x,y）⑧(-x,-y)⑨(x+a,y）0(x,y+a) (4)解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)， ①(x,y-a)21alBa+b0x,-xl5ly,为1 将A(1,3),B(-1,2)两点代人， 1 011图象法⑧≠9≠≥@≥②≥ k=- 2 8≠>5>> 得作+6=3. 解得 (-k+b=2 5 b=- 随堂练习 2 1.(1)(-2,3),第二象限：(2)(-2，-3)，3：(3)-6：(4)(2， 六该一次函数的表达式为)2+2 1.5 .(-21:(30.3)或-43：(6，(： 【拓展设问1小，=之-1： (7)m>0 【拓展设问2】y=-2x 2.A 2.(1)y=4x-4:(2)左平移1个单位长度或者向上平移4个 命题点2函数图象的分析与判断 单位长度：(3)y=4x+1:变式1y=-4x-1:变式2y=4 例1C -1:变式3y=4x-2 例2(1)②④：①3⑤6：⑤6：(2)横轴，纵轴：(3)45： 命题点5一次函数图象与性质的应用 (4)10:30,30,30:(5)20km/h和10km/h:(6)18;14:30 要点归纳 命题点3一次函数的图象与性质 1 ①>02t<-1③-1<1<0④> 2 ⑤<060<1<2 要点归纳 ⑦-1<h1 ⑧-1<k<0 3 ≤6≤101 ④-二、三 写s1 ⑤一、三、四⑥一、三⑦一、二四⑧二、三、四 随堂练习 ⑨二、四0-、三Ⅱ增大2二、四B减小 1(1)x=6,x=5:变式(7,0)：(2)x>6,x<0: 正半轴0一，二 B负半销三.四兰0) 1x=4, (3) 412.8:(4)x≥-3 0(0,6)0<①> 3 随堂练习 命题点6一次函数的实际应用 ①x②(100-x)③70x+35(100-x)④35x+3500 ⑤(100-70)x+(75-35)(100-x)6-10x+4000⑦35x+ :y=2x+1>,增大：>，正：( 2,0). 3500≤630080≤x≤80⑨000350010024000 3购进这批服装的最低费用为3500元，这批服装全部售出 的最大利润为4000元12雪0.200.250.2x+ (0.1)；一、二、三：4,1，-2，-5：y=-3x-2:<,减小：<，负： 12080.25x （号0.0，-22三四 (2)解：当y=55时，A类：55=0.2x+12,解得x=215:B类：55 =0.25x,解得x=220,:215<220..B类划算 2.(1)m≠-1：变式1：(2)-3；变式m>1:(3)-1<m≤1： (3)解：由0.2x+12>0.25x,解得x<240:由0.2x+12<0.25x, (4)p<g变式1m<-1变式2D 解得x>240:由0.2x+12=0.25x.解得x=240 3 :当通话时间小于240mi加时，应选择B类：当通话时间大 于240min时，应选择A类；当通话时间为240min时，选择 ①>1或-2<x<0:20cx≤1或x≤-2：(3) 2 A.B类都可以 3.12 9s。②，时刻到达乙地④时刻开始从乙地返回甲地 ：(2)①1：②3<n≤4或1≤m<2 6 4.(1)y= ②在乙地停留的时间为4,3产”5<④ t t1-t2 2s 482西8咖 【解折1)将点(2,3)代人双曲线的表达式.得3=今解 - 6 5t,需6团a,-<02时刻b车在距离甲地 得k=6,故双曲线的表达式为y=（x>0):(2)①如解 s,处追上a车4218<t,时刻a,b两车在距 图.当n=4时.图象G为PB.PC和双曲线上BC之间的部 离甲地s,处相遇5a.b两车在41时刻相语Ga车在2 分围成的区域，此时，图象G内只有1个整点M(3,3):② 时刻率先到达乙地车在，时刻到达甲地 如解图，当图象G内只有1个整点时，除了点M外还有点 命题点7反比例函数的图象与性质 N,.n的取值范围为3cn≤4或1≤n<2. 要点归纳 11 ①x≠0②一，三③减小④二，四⑤增大⑥y=±x ⑦原点⑧>⑨<0y,<y,<y:D2-1<<0 Bx<-2或>0 随堂练习 LD P ■B 2.(1)4,一三，减小，>，<： 46 81 (2)B,D.E,H,K: 第4题解图 (3) 命题点10 二次函数的图象与性质 要点归纳 ，②h31 b 4ac-b2 ④(-2a4a ⑤(h,k) Gdac-b* 第2题解因 4a ⑦k8小⑨4c-b 4a ⑩k①大2减小 (4)第三象限： B增大增大5减小GC向上⑧x=1 (5)在：(6)>：(7)> 9(1.-9)减小4增大2小3-942雪(-2 命题点8反比例函数解析式的 0),(4,0)函(0，-8)(3,0)②直线x=19(-1,) 确定及k的几何意义 闭(2a-b,0)0(2a-m,n)2B8y63yc西y1 要点归纳 @-(2-h)2=-18h=1900-(5-h)2=-1①h=6 ①ab②ab ③11④2⑤1O1k1⑦1⑧1 ②B 对点练习 随堂练习 1.A2.D3.C4.B5.(1)-4:(2)6 1(1,4):x=1:大，4：1,4：(2+1,0)和(-√2+1,0)：(0,2) 命题点9反比例函数的应用 随堂练习 1D 2.(1)y=3x+3,y= 6 (2) (1.0)和(3.0)：x=2:2.-2:(0.6) 第2题解图 4