2.6 一元一次不等式(组)的解法及其应用-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法及应用(必考) 要点归纳 要点 1 不等式的基本性质 →1 题 基本性质 文字表达 数学表达 在解不等式中的应用 性质 1 不等式两边加(或减)同一个 数(或式子),不等号的方向 不变 如果 a > b,那么 a ± c ①　 >　 b±c 移项 性质 2 不等式两边乘(或除以)同一 个正数,不等号的方向不变 如果 a>b,c>0,那么 ac ②　 >　 bc(或 a c > b c ) 性质 3 不等式两边乘(或除以)同一 个负数,不等号的方向改变 如果 a>b,c<0,那么 ac ③　 <　 bc(或 a c < b c ) 去分母,系数化为 1 要点 2 一元一次不等式的解法及解集表示 →2 题 解法步骤 与解一元一次方程类似:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项; ⑤系数化为 1(特别注意性质 3 的变号) 注:根据实际情况选择解题步骤,如不等式中无分母,则跳过① 解集 的表示 数轴上 的表示 解集 ④　 x<a　 ⑤　 x>a　 ⑥　 x≤a　 ⑦　 x≥a　 总结 在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一定边界点,二定方向. 定边界 点时,“≥”或“≤”是实心圆点,“>”或“<”是空心圆圈;定方向的原则 为小于向左,大于向右 要点 3 一元一次不等式组的解法及解集表示 →2 题 解法步骤 ①分别求出不等式组中各个不等式的解集; ②将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来,找出它们的公共部分; ③根据公共部分写出不等式组的解集,如果没有公共部分,那么不等式组 无解 82 基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 续表 解集的类型 及其在数轴 上的表示 (b>a) 类型 解集 解集在数轴上的表示 确定解集的口诀 x>a x>b{ ⑧　 x>b　 同大取大 x<a x<b{ ⑨　 x<a　 同小取小 x>a x<b{ ⑩　 a<b　 大小小大中间找 x<a x>b{ 􀃊􀁉􀁓　 无解　 大大小小找不到 要点 4 含参不等式(组)的相关计算 例 1　 已知不等式组 x>2, x>a.{ (1)若不等式 x>a 的解集是 x>1,则 a 的值是􀃊􀁉􀁔　 　 1　 ; (2)若不等式组的解集是 x>2,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁕　 a≤2　 ; → 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 【思维点拨】 根据 同大取大, 可 知 a 与 2 的关系. (3)若不等式组的解集是 x>3,则 a 的值为􀃊􀁉􀁖　 　 3　 ; (4)若不等式组的解集是 x>a,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁗　 a≥2　 . 例 2　 已知不等式组 x≤2, x>a.{ (1)若不等式组的解集为-1<x≤2,则 a 的值为􀃊􀁉􀁘　 -1　 ; (2)若不等式组有解,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁙　 a<2　 ; → 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 【思维点拨】不等式组有 解, 则 根 据 “ 大小小大 中间找” 且 x 可以取 2, 从而确定 a 与 2 的关系. (3)若不等式组恰好有三个整数解,则 a 的取值范围是􀃊􀁉􀁚　 -1≤a<0　 ; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思维点拨】不等式组恰好有三个整数解,则这三个整数解是􀃊􀁉􀁛　 2,1,0 　 ,则不等式 x>a 中,可以取到 x= 􀃊􀁊􀁒　 0　 ,但不能取到 x= 􀃊􀁊􀁓　 -1　 ,从而可确定 a 的取值范围. (4)若不等式组至少有三个整数解,则 a 的取值范围是􀃊􀁊􀁔　 a<0　 ; (5)若不等式组无解,则 a 的取值范围是􀃊􀁊􀁕　 a≥2　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋【思维点拨】 根据“大大小小找不到”确定 a 的取值范围. 要点 5 一元一次不等式的实际应用 →3 题 ◆常见关键词与对应不等号:见到“大于、多于、超过、高于”用􀃊􀁊􀁖　 >　 ;见到“小于、少于、 不足、低于”用􀃊􀁊􀁗　 <　 ;见到“至少、不低于、不小于、不少于”用􀃊􀁊􀁘　 ≥　 ;见到“至多、不 超过、不大于、不多于”用􀃊􀁊􀁙　 ≤　 . (1)购买 A,B 两种商品共 m 个,且 A 商品的数量不少于􀪍􀪍􀪍 B 商品的 1 n ,设购买 A 商品 x 个, 则可列不等式为􀃊􀁊􀁚　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)购买 A,B 两种商品共 m 个,A 商品的单价为 a 元,B 商品的单价为 b 元,总费用不超􀪍􀪍 过􀪍 n 元. 设购买 A 商品 x 个,则可列不等式为􀃊􀁊􀁛　 ax+b(m-x)≤n　 . 92 基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 随堂练习 1. (人教七下 P120 第 3 题改编)利用不等式的性质,判断下列说法的正误: (1)若 a<b,则 a+1<b+1　 √　 　 　 　 　 (2)若-2a>-2b,则 a<b　 √　 (3)若 a<b,则 ac<bc　 ✕　 (4)若 a(c2 +1) <b(c2 +1),则 a<b　 √　 2. (人教七下 P115 练习改编)用不等式表示下列语句,写出解集,并在数轴上表示解集. (1)x 的 3 倍大于或等于 1;(2)y 大于等于-10,且 y 的 1 4 小于-2. 解:(1)x 的 3 倍大于或等于 1 用不等式表示为3x≥1,解得 x≥ 1 3 , 在数轴上表示如解图①; (2)y 的 1 4 小于-2 用不等式表示为 1 4 y<-2,解得 y<-8,∴解集为-10≤y<-8, 在数轴上表示如解图②. 3. 嘉淇连续记录了他家私家车 6 天中每天行驶的路程(如下表),以 50 千米为标准,多于 50 千米的记为“ +”,不足 50 千米的记为“ -” . 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 路程(千米) -8 -11 -14 10 -16 +21 (1)求这六天一共行驶多少千米? (2)已知行驶 100 千米需用汽油 8 升,该私家车 24 升汽油在上述连续行驶 6 天后,第七天 最多还能行驶多少千米? 解:(1)(-8-11-14+10-16+21)+50×6=282(千米), 答:这六天一共行驶 282 千米; (2)设第七天能行驶 x 千米,依题意得, 282 100 ×8+ x 100 ×8≤24,解得 x≤18 答:第七天最多还能行驶 18 千米. 》》请完成分层作业本 P24-25 习题《《 03 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥1 ⑦①-②,得-3x= 3,解得 x= -1 随堂练习 1. C　 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3.解:代入消元法:由②得 x= 3y+6③, 把③代入①得 2(3y+6) +y= 5, 解得 y= -1,把 y= -1 代入③得 x= 3, 则方程组的解为 x= 3, y= -1;{ 加减消元法:①×3+②得 7x= 21, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入②得 y= -1, 则方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. B　 2. 200 元 3.解:设三人间客房租了 x 间,两人间客房租了 y 间, 根据题意,得 3x+2y= 50, 3x×25+2y×35 = 1 510,{ 解得 x= 8, y= 13.{ 答:三人间客房租了 8 间,两人间客房租了 13 间. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 随堂练习 1. 16,36,6　 2. (1) x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ;(2) x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)x1 = 7,x2 = -8. 　 3. C 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③80(1-x) 2 = 54　 ④(a-2x) ( b- 2x)　 ⑤(a-x)( b-x) 　 ⑥x· m-x 2 　 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧(a- 2x)(b-2x)　 ⑨2 m　 ⑩(40-2x) (26-x) = 144×6　 􀃊􀁉􀁓ax　 􀃊􀁉􀁔ax2 　 􀃊􀁉􀁕(1+x)　 􀃊􀁉􀁖(1+x) 2 随堂练习 1. D　 2. 8 100(1+x) 2 = 10 500 3. 2 500,2 900,400,4× x 50 ,(8+4× x 50 ),(2 900-x),(2 900-x -2 500) 【自主解答】 解:设每台冰箱降价 x 元, 根据题意,得(2 900-x-2 500)(8+4× x 50 )= 5 000, 解方程,得 x1 = x2 = 150, 2 900-150 = 2 750. 答:每台冰箱定价应为 2 750 元. 命题点 5　 分式方程的解法及应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70　 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书 包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁊􀁘x = 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的 解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 随堂练习 1.解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得 x(x+1) -(x+1)(x-1)= 3(x-1), 去括号,得 x2 +x-x2 +1 = 3x-3,解得 x= 2, 检验:当 x= 2 时,(x+1)(x-1)= 3≠0, 则原分式方程的解为 x= 2. 2. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 3. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式 1　 6　 变式 2　 6 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法及应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔1　 􀃊􀁉􀁕a≤2　 􀃊􀁉􀁖3　 􀃊􀁉􀁗a≥2　 􀃊􀁉􀁘-1　 􀃊􀁉􀁙a<2　 􀃊􀁉􀁚-1≤a<0　 􀃊􀁉􀁛2,1,0　 􀃊􀁊􀁒0　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<0 􀃊􀁊􀁕a≥2　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≤　 􀃊􀁊􀁚x≥ 1 n (m-x) 􀃊􀁊􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. (1)√　 (2)√　 (3)✕　 (4)√ 2.解:(1)x 的 3 倍大于或等于 1 用不等式表示为3x≥1,解 得 x≥ 1 3 , 在数轴上表示如解图①; 第 2 题解图① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 (2)y 的 1 4 小于-2 用不等式表示为 1 4 y<- 2,解得 y<- 8, ∴ 解集为-10≤y<8, 在数轴上表示如解图②. 第 2 题解图② 3.解:(1)( -8-11-14+10-16+21) +50×6 = 282(千米), 答:这六天一共行驶 282 千米; (2)设第七天能行驶 x 千米,依题意得, 282 100 ×8+ x 100 ×8≤24,解得 x≤18, 答:第七天最多还能行驶 18 千米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三章　 函　 数 命题点 1　 平面直角坐标系与函数 要点归纳 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横　 ⑥(x,-y) ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y)　 􀃊􀁉􀁒(x,y+a) 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔 | a | 　 􀃊􀁉􀁕 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁖 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁗 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁘 | y2 -y1 | 　 􀃊􀁉􀁙图象法　 􀃊􀁉􀁚≠　 􀃊􀁉􀁛≠　 􀃊􀁊􀁒≥　 􀃊􀁊􀁓≥　 􀃊􀁊􀁔≥　 􀃊􀁊􀁕≠　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗>　 􀃊􀁊􀁘> 随堂练习 1. (1)( -2,3),第二象限;(2) ( -2,-3),3;(3) - 6;(4) (2, 3),( -2,1);(5) (0,3) 或( - 4,3);(6) 17 ,( - 5 2 ,1); (7)m>0 2. A 命题点 2　 函数图象的分析与判断 例 1　 C 例 2　 (1)②④;①③⑤⑥;⑤⑥;(2)横轴,纵轴;(3)45; (4)10:30,30,30;(5)20 km / h 和 10 km / h;(6)18;14:30 命题点 3　 一次函数的图象与性质 要点归纳 ① 　 ② 　 ③ 　 ④一、二、三 ⑤一、三、四　 ⑥一、三　 ⑦一、二、四　 ⑧二、三、四 ⑨二、四　 􀃊􀁉􀁒一、三　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔二、四　 􀃊􀁉􀁕减小 􀃊􀁉􀁖正半轴　 􀃊􀁉􀁗一、二　 􀃊􀁉􀁘负半轴　 􀃊􀁉􀁙三、四　 􀃊􀁉􀁚( - b k ,0) 􀃊􀁉􀁛(0,b)　 􀃊􀁊􀁒<　 􀃊􀁊􀁓> 随堂练习 1. ;y = 2x+ 1;>,增大;>,正;( - 1 2 ,0), (0,1);一、二、三;4,1,-2,-5;y = -3x-2;<,减小;<,负; ( - 2 3 ,0),(0,-2);二、三、四 2. (1)m≠-1;变式　 1;(2) -3;变式　 m>1;(3) -1<m≤1; (4)p<q　 变式 1　 m<-1　 变式 2　 D 命题点 4　 一次函数解析式的确定及图象的平移 随堂练习 1. (1)3;(2)2;(3)4; (4)解:设一次函数的表达式为 y= kx+b(k≠0), 将 A(1,3),B( -1,2)两点代入, 得 k+b= 3, -k+b= 2,{ 解得 k= 1 2 , b= 5 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ 该一次函数的表达式为 y= 1 2 x+ 5 2 . 【拓展设问 1】y= 1 2 x-1; 【拓展设问 2】y= -2x 2. (1)y= 4x-4;(2)左平移 1 个单位长度或者向上平移 4 个 单位长度;(3)y= 4x+1;变式 1　 y = -4x-1;变式 2　 y = 4x -1;变式 3　 y= 4x-2 命题点 5　 一次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①t>0　 ②t<-1　 ③-1<t<0　 ④t> 1 2 　 ⑤t<0　 ⑥0<t< 1 2 　 ⑦-1<b< 1 2 　 ⑧-1<k<0　 ⑨ 2 3 ≤k≤1　 ⑩ 1 2 ≤k≤1 􀃊􀁉􀁓 1 3 ≤k≤1 随堂练习 1. (1)x= 6,x= 5;变式　 (7,0);(2)x>6,x<0; (3) x= 4, y= - 4 3 ,{ 12,8;(4)x≥-3 命题点 6　 一次函数的实际应用 ①x　 ②(100-x)　 ③70x+35(100-x)　 ④35x+3 500 ⑤(100-70)x+(75-35) (100-x) 　 ⑥-10x+4 000　 ⑦35x+ 3 500≤6 300　 ⑧0≤x≤80　 ⑨0　 􀃊􀁉􀁒3 500　 􀃊􀁉􀁓0　 􀃊􀁉􀁔4 000 􀃊􀁉􀁕购进这批服装的最低费用为 3 500 元,这批服装全部售出 的最大利润为 4 000 元　 􀃊􀁉􀁖12　 􀃊􀁉􀁗0. 2　 􀃊􀁉􀁘0. 25　 􀃊􀁉􀁙0. 2x+ 12　 􀃊􀁉􀁚0. 25x (2)解:当 y= 55 时,A 类:55 = 0. 2x+12,解得 x= 215;B 类:55 = 0. 25x,解得 x= 220,∵ 215<220,∴ B 类划算. (3)解:由 0. 2x+12>0. 25x,解得 x<240;由 0. 2x+12<0. 25x, 解得 x>240;由 0. 2x+12 = 0. 25x,解得 x= 240. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3