2.5 分式方程解法及应用-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥1 ⑦①-②,得-3x= 3,解得 x= -1 随堂练习 1. C　 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3.解:代入消元法:由②得 x= 3y+6③, 把③代入①得 2(3y+6) +y= 5, 解得 y= -1,把 y= -1 代入③得 x= 3, 则方程组的解为 x= 3, y= -1;{ 加减消元法:①×3+②得 7x= 21, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入②得 y= -1, 则方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. B　 2. 200 元 3.解:设三人间客房租了 x 间,两人间客房租了 y 间, 根据题意,得 3x+2y= 50, 3x×25+2y×35 = 1 510,{ 解得 x= 8, y= 13.{ 答:三人间客房租了 8 间,两人间客房租了 13 间. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 随堂练习 1. 16,36,6　 2. (1) x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ;(2) x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)x1 = 7,x2 = -8. 　 3. C 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③80(1-x) 2 = 54　 ④(a-2x) ( b- 2x)　 ⑤(a-x)( b-x) 　 ⑥x· m-x 2 　 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧(a- 2x)(b-2x)　 ⑨2 m　 ⑩(40-2x) (26-x) = 144×6　 􀃊􀁉􀁓ax　 􀃊􀁉􀁔ax2 　 􀃊􀁉􀁕(1+x)　 􀃊􀁉􀁖(1+x) 2 随堂练习 1. D　 2. 8 100(1+x) 2 = 10 500 3. 2 500,2 900,400,4× x 50 ,(8+4× x 50 ),(2 900-x),(2 900-x -2 500) 【自主解答】 解:设每台冰箱降价 x 元, 根据题意,得(2 900-x-2 500)(8+4× x 50 )= 5 000, 解方程,得 x1 = x2 = 150, 2 900-150 = 2 750. 答:每台冰箱定价应为 2 750 元. 命题点 5　 分式方程的解法及应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70　 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书 包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁊􀁘x = 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的 解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 随堂练习 1.解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得 x(x+1) -(x+1)(x-1)= 3(x-1), 去括号,得 x2 +x-x2 +1 = 3x-3,解得 x= 2, 检验:当 x= 2 时,(x+1)(x-1)= 3≠0, 则原分式方程的解为 x= 2. 2. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 3. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式 1　 6　 变式 2　 6 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法及应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔1　 􀃊􀁉􀁕a≤2　 􀃊􀁉􀁖3　 􀃊􀁉􀁗a≥2　 􀃊􀁉􀁘-1　 􀃊􀁉􀁙a<2　 􀃊􀁉􀁚-1≤a<0　 􀃊􀁉􀁛2,1,0　 􀃊􀁊􀁒0　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<0 􀃊􀁊􀁕a≥2　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≤　 􀃊􀁊􀁚x≥ 1 n (m-x) 􀃊􀁊􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. (1)√　 (2)√　 (3)✕　 (4)√ 2.解:(1)x 的 3 倍大于或等于 1 用不等式表示为3x≥1,解 得 x≥ 1 3 , 在数轴上表示如解图①; 第 2 题解图① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程的解法及应用(必考) 要点归纳 要点 1 分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 要点 2 分式方程的解法: →1 题 分式方程 去分母 转化 →整式方程 解整式方程 → 有解 检验 → 最简公分母不为 0 →分式方程有解 最简公分母为 0 →解是增根,分式 方程无解 ì î í ï ï ï ï 无解→分式方程无解 ì î í ï ï ï ï ï ï 例 1　 解方程: 3 x-2 = x+1 2-x -1. 答题规范 注意事项 解:方程两边同乘①　 (x-2) 　 , 得②　 3=-(x+1)-(x-2) 　 , ①去分母时,方程的每一项都要乘最简公分母; ②分式前为“-”、分子为多项式时,去分母后不要 忘记“-”,并且分子要加括号 去括号,得③　 3=-x-1-x+2　 , 去掉“-( 　 　 )”形式的括号时,原括号内的每项都 要变号 移项、合并同类项、系数化为 1, 得④　 x=-1　 , 移项一定要变号 检验:⑤　 当 x=-1 时,x-2≠0　 , 一定要写检验过程 故⑥　 x=-1　 是分式方程的解 最后不要忘记写结论 要点 3 分式方程的增根与无解 →2 题 (1)增根:是去分母后的整式方程的解,同时也使得分式方程的分母等于 0. (2)无解的两种情况:①分式方程化为整式方程后,整式方程无解􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解; ②分式方程化为整式方程后,整式方程的解是分式方程的增根􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解. 要点 4 分式方程的实际应用 →3 题 (1)解题步骤 实际问题 找等量关系 设未知数 → 列分式方程 → 解方程 → 双检验 → 答 注:双检验———①检验是否是分式方程的解;②检验是否符合实际问题. (2)常考类型 类型 1　 购买问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…多 /少 /贵 / …”“…与􀪍…相等􀪍􀪍(同)” . 例 2　 某商场准备购进 A,B 两种书包,每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 10 元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,用 600􀪍􀪍􀪍 元购进 A 种书包的个数是用 350 元购进 B 种书包个数的 2 倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则 A,B 两种书包每 52 基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 个进价各是多少元? 审:基本数量关系式:总费用 单价 =数量. 设:设 A 种书包每个进价为 x 元, 列:依题意,得⑩　 　 　 　 　 　 　 　 , (根据两种书包数量的倍数关系列方 程) 解:解得􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 　 　 　 　 , 总费用 单价(元) 数量(个) A 种 600 x ⑦　 　 　 　 B 种 350 ⑧　 x+10　 ⑨　 　 　 　 验:􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 答:􀃊􀁉􀁖　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 类型 2　 行程问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…晚 /少用 /提前 / …”“…先出发􀪍􀪍􀪍,…同时􀪍􀪍到达”“相遇”. 例 3　 (人教八上 P154 第 3 题改编)甲、乙两人分别从距目的地 6 千米􀪍􀪍􀪍和 10 千米􀪍􀪍􀪍􀪍的两地 同时出发,甲、乙的速度比是 3 ∶ 4􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,结果甲比乙提前 20 分钟􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍到达目的地,设甲的速 度为 3x 千米 /时,则所列方程是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 6 3x +20 = 10 4x B. 6 3x = 10 4x +20 C. 6 3x +20 60 = 10 4x D. 6 3x = 10 4x +20 60 审:基本数量关系式:路程 速度 =时间. 设:已知设甲的速度为 3x 千米 /时. 列:依题意,得􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 　 　 . (根据甲乙 同时出发,到达目的地的时间差列方程) 【答案】􀃊􀁉􀁛　 C　 路程 (千米) 速度 (千米 / 时) 时间 (时) 甲 6 3x 􀃊􀁉􀁗　 　 　 乙 10 􀃊􀁉􀁘　 4x　 􀃊􀁉􀁙　 　 　 类型 3　 工程问题 例 4　 (人教八上 P152 例 3)两个工程队共同参与一项筑路工程,①甲队单独施工 1 个月􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 完成总工程的 1 3 , 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 这时②增加了乙队,两队又共同工作了半个月 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,总工程全部完成. 哪个队的施工速度快? 审:工作总量看作“1”,工作总量=工作效率×工作时间. ①甲的工作量:􀃊􀁊􀁒　 　 　 ;甲的工作时间:1 个月,可得甲的工作效率 = 􀃊􀁊􀁓　 　 　 ;②乙 的工作时间􀃊􀁊􀁔　 　 　 个月,甲增加的工作时间为􀃊􀁊􀁕　 　 　 个月;则甲的工作总量为 􀃊􀁊􀁖　 　 　 　 　 　 ;由①②可得甲、乙工作总量和为 1. 设:设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 1 x . 62 基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 列:􀃊􀁊􀁗　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 解:解得􀃊􀁊􀁘　 x=1　 , 验:􀃊􀁊􀁙　 经检验,x=1 是原分式方程的解,且符合实际　 , ∴ 乙队单独施工 1 个月可完成全部任务. 答:􀃊􀁊􀁚　 乙队的施工速度快　 . 随堂练习 1. (人教八上 P151 例 2 改编)解方程: x x-1 -1 = 3 x+1 . 解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得 x(x+1)-(x+1)(x-1)= 3(x-1), 去括号,得 x2+x-x2+1=3x-3,解得 x=2, 检验:当 x=2 时,(x+1)(x-1)= 3≠0, 则原分式方程的解为 x=2. 2. 已知 2 x-1 = m x 是关于 x 的分式方程. (1)若方程的解为 2,则 m 的值为　 　 　 　 ; (2)若方程的解为正整数,当 m 为整数时,m 的值为　 　 　 　 ; (3)若方程的解为负数,则 m 的取值范围为　 　 　 　 ; (4)若方程有增根,则 m 的值为　 　 　 　 ; (5)若方程无解,则 m 的值为　 　 　 　 . 3. 【2022 年版课标新增内容】某施工队挖掘一条长 96 米的隧道,开工后每天比原计划多挖 掘 2 米,结果提前 4 天完成任务,求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数. 小明同 学根据题意列出方程:96 x - 96 x+2 = 4,则方程中未知数 x 表示 　 . 变式 1　 (冀教八上 P22 例 1 改编)某施工队要挖掘一条长 120 米的隧道,因为采取了新的 施工工艺,开工后每天开挖的长度是原计划的 4 3 倍,结果比原计划提前 5 天完成任务,则 原计划每天开挖的长度为　 　 　 　 米. 变式 2　 某工程队承接一铁路工程,在挖掘一条 500 米长的隧道时,为了尽快完成,实际施 工时每天挖掘的长度是原计划的 1. 5 倍,结果提前了 25 天完成了其中 300 米的隧道挖掘 任务,则实际每天挖掘　 　 　 　 米. 》》请完成分层作业本 P22-23 习题《《 72