2.4 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元二次方程的实际应用(10 年 3 考) 要点归纳 类型 1　 变化率问题 设原来的量为 a,变化后的量为 b, (1)若连续两次增长,平均增长率为 x,则 b= ①　 a(1+x) 2 　 ; (2)若连续两次下降,平均下降率为 x,则 b= ②　 a(1-x) 2 　 . 例 1　 为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由 80 元降为 54 元,求平均每次降价的百分率,设平均每次降价的百分率为 x,可列方程 为③　 80(1-x) 2 =54　 . 类型 2　 面积问题 (1)如图 1,设空白部分的宽为 x,则 S阴影 = ④　 (a-2x)(b-2x) 　 ; 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 (2)如图 2、图 3、图 4,设阴影道路的宽为 x,则 S空白 = ⑤　 (a-x)(b-x) 　 ; (3)如图 5,用总长为 m 米的篱笆,围成一个矩形,一边靠墙,若平行于墙的一边长为 x 米(墙 面长度大于 x 米),则所围成矩形的面积为 S= ⑥　 　 　 　 　 　 ;如图 6,当在边上留 1 米 的门时,S= ⑦　 　 　 　 　 　 　 ; 图 5 　 　 　 图 6 　 　 　 图 7 (4)如图 7,长为 a,宽为 b 的矩形 ABCD 的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形后做成一个 无盖的盒子,则该盒子的底面积 S= ⑧　 (a-2x)(b-2x) 　 . 例 2　 如图 8 所示,某小区计划在一个“长为 40 m,宽为 26 m”的矩形场地 ABCD 上修建三条 同样宽的道路,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AD 平行,其余部分种草. 若使每一块 草坪的面积都是 144 m2,则道路的宽是⑨　 2 m　 . 图 8 　 　 　 　 　 　 图 9 【拓展设问】将图 8 中的三条道路分别向上、向左和向右平移到图 9 的位置,若设宽为x m,则 可列方程为⑩　 (40-2x)(26-x)= 144×6　 . 32 基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 类型 3　 “传播”问题 (1)细胞分裂:现有 a 个细胞,若每轮分裂中每一个细胞可分裂成 x 个细胞,则第一轮分裂后 的细胞总数为􀃊􀁉􀁓　 ax　 　 ,第二轮分裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁔　 ax2 　 　 ; (2)病毒传染:有一个人患流感,若每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮后共有 􀃊􀁉􀁕　 (1+x) 　 个人患流感,第二轮后共有􀃊􀁉􀁖　 (1+x) 2 　 个人患流感; (3)植物主干分支:一种植物的主干长出 a 个支干,每个支干又长出同样数目的小分支,则主 干、支干和小分支的总数为(1+a+a2)个. 类型 4　 “循环”问题 (1)握手问题:有 n 个人相互之间只握一次手,则每个人需要握手(n-1)次,总握手次数为 n(n-1) 2 次; (2)单循环赛问题:有 n 支球队参加比赛,每个球队都要和其他球队进行比赛,且相同的两个 球队只进行一场比赛,则每个球队需要进行(n-1)场比赛,总的比赛场次为n(n -1) 2 场; (3)互赠礼物问题:一个班级有 n 名同学,每两名同学之间都要互相赠送一个礼物,则每个同 学需赠送礼物(n-1)个,总的礼物个数为 n(n-1)个. 随堂练习 1. (北师九上 P58 习题 T19 改编)一次会议上,每两个参加会议的人互相握了一次手,有人统 计一共握了 45 次手,如果这次会议到会的人数为 x 人,根据题意可列方程为 ( D ) A. x(x+1)= 45 B. x(x-1)= 45 C. 2x(x+1)= 45 D. x(x-1)= 45×2 2. (人教九上 P22T7 改编)某种植基地 2022 年水稻平均每公顷产 8 100 kg,2024 年平均每公 顷产水稻 10 500 kg,若该基地水稻每公顷产量的年平均增长率为 x,根据题意可列方程 为　 8 100(1+x) 2 =10 500　 . 3. (北师九上 P54 例 2)新华商场销售某种冰箱,每台进货价为 2 500 元. 调查发现当销售价 格为 2 900 元时,平均每天能售出 8 台;而当销售价每降低 50 元时,平均每天就能多售出 4 台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5 000 元,每台冰箱的定价应为多少元? 【思路分析】每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量 = 5 000 元. 题目中的每台冰 箱的进价为　 2 500　 元,售价为　 2 900　 元,每台冰箱获得的利润为　 400　 元,冰箱的 销售价每降低 50 元,平均每天就能多售出 4 台,如果每台冰箱的销售价格降低了 x 元,平 均每天就能多销售　 　 　 　 台冰箱,平均每天销售冰箱的数量为　 　 　 　 台,此时,每台 冰箱的销售价为　 (2 900-x) 　 元,每台冰箱的销售利润为　 (2 900-x-2 500) 　 元. 【自主解答】解:设每台冰箱降价 x 元,根据题意,得(2 900-x-2 500)(8+4× x 50 )= 5 000, 解方程,得 x1 =x2 =150,2 900-150=2 750. 答:每台冰箱定价应为 2 750 元. 》》请完成分层作业本 P20-21 习题《《 42 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥1 ⑦①-②,得-3x= 3,解得 x= -1 随堂练习 1. C　 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3.解:代入消元法:由②得 x= 3y+6③, 把③代入①得 2(3y+6) +y= 5, 解得 y= -1,把 y= -1 代入③得 x= 3, 则方程组的解为 x= 3, y= -1;{ 加减消元法:①×3+②得 7x= 21, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入②得 y= -1, 则方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. B　 2. 200 元 3.解:设三人间客房租了 x 间,两人间客房租了 y 间, 根据题意,得 3x+2y= 50, 3x×25+2y×35 = 1 510,{ 解得 x= 8, y= 13.{ 答:三人间客房租了 8 间,两人间客房租了 13 间. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 随堂练习 1. 16,36,6　 2. (1) x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ;(2) x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)x1 = 7,x2 = -8. 　 3. C 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③80(1-x) 2 = 54　 ④(a-2x) ( b- 2x)　 ⑤(a-x)( b-x) 　 ⑥x· m-x 2 　 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧(a- 2x)(b-2x)　 ⑨2 m　 ⑩(40-2x) (26-x) = 144×6　 􀃊􀁉􀁓ax　 􀃊􀁉􀁔ax2 　 􀃊􀁉􀁕(1+x)　 􀃊􀁉􀁖(1+x) 2 随堂练习 1. D　 2. 8 100(1+x) 2 = 10 500 3. 2 500,2 900,400,4× x 50 ,(8+4× x 50 ),(2 900-x),(2 900-x -2 500) 【自主解答】 解:设每台冰箱降价 x 元, 根据题意,得(2 900-x-2 500)(8+4× x 50 )= 5 000, 解方程,得 x1 = x2 = 150, 2 900-150 = 2 750. 答:每台冰箱定价应为 2 750 元. 命题点 5　 分式方程的解法及应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70　 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书 包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁊􀁘x = 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的 解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 随堂练习 1.解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得 x(x+1) -(x+1)(x-1)= 3(x-1), 去括号,得 x2 +x-x2 +1 = 3x-3,解得 x= 2, 检验:当 x= 2 时,(x+1)(x-1)= 3≠0, 则原分式方程的解为 x= 2. 2. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 3. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式 1　 6　 变式 2　 6 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法及应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔1　 􀃊􀁉􀁕a≤2　 􀃊􀁉􀁖3　 􀃊􀁉􀁗a≥2　 􀃊􀁉􀁘-1　 􀃊􀁉􀁙a<2　 􀃊􀁉􀁚-1≤a<0　 􀃊􀁉􀁛2,1,0　 􀃊􀁊􀁒0　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<0 􀃊􀁊􀁕a≥2　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≤　 􀃊􀁊􀁚x≥ 1 n (m-x) 􀃊􀁊􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. (1)√　 (2)√　 (3)✕　 (4)√ 2.解:(1)x 的 3 倍大于或等于 1 用不等式表示为3x≥1,解 得 x≥ 1 3 , 在数轴上表示如解图①; 第 2 题解图① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2