2.3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 一元二次方程及其解法(必考) 要点归纳 要点 1 一元二次方程(ax2 +bx+c= 0,a≠0)必须同时满足以下三个条件: (1)是整式方程; (2)只含有 1 个未知数; (3)未知数的最高次数是 2. 易错警示:对于方程 ax2 +bx+c = 0,只有当①　 a≠0　 时才是 一元二次方程;若 ax2 +bx+c= 0 是一元二次方程,则必然隐含着②　 a≠0　 . 要点 2 一元二次方程的解法(基本思路:降次) →1 题,2 题 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 x2 = p(p≥0) x=± p (x+n) 2 = p(p≥0) x=± p -n 因式分解法 (x-a)(x-b)= 0 x1 =a,x2 =b x(ax+b)= 0 x1 = 0,x2 =- b a 公式法 所有一元二次方程: ax2 +bx+c= 0 (a≠0,b2 -4ac≥0) 求根公式为 x= -b± b2-4ac 2a , 在使用求根公式时: (1)要先将一元二次方程化为一般形式; (2)确定 a,b,c 的值时要带符号 配方法 所有一元二次方程,一般用于: 二次项系数化为 1 后一次项 系数是偶数的方程,形如 x2 + 2mx-n= 0(m2 +n≥0) x= ± n+m2 -m 易错警示:①用公式法代 a,b,c 的值时要注意它们的符号; ②对于方程两边含有相同因式(如 2x(x-1)= 3(x-1))的一元二次方程,切勿直接约去公 因式求解导致丢根􀪍􀪍,正确做法是将方程化为两个因式之积为 0 的形式,利用因式分解法 求解. 要点 3 一元二次方程根的判别式 →3 题 b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根的判别式. (1)b2 -4ac>0⇔方程有③　 两个不相等　 的实数根; (2)b2 -4ac= 0⇔方程有④　 两个相等　 的实数根(x1 = x2 = ⑤　 　 　 　 　 　 ); 12 基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ (3)b2 -4ac<0⇔方程⑥　 没有　 实数根. 由(1)、(2)知 b2 -4ac≥0⇔方程有两个实数根. 注:由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时,若一元二次方程的二次􀪍􀪍 项系数含有字母􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,应注意二次项系数不为 0􀪍􀪍􀪍 这个隐含条件. 要点 4 一元二次方程根与系数的关系 →3 题 若方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1 +x2 = ⑦　 　 　 ,x1x2 = ⑧　 　 　 . 易错警示:根据根与系数的关系求方程字母系数值时,一定要保证方程有根. 随堂练习 1. (北师九上 P36 做一做改编)x2 +8x+　 16　 = (x+4) 2;x2 -12x+　 36　 = (x-　 6　 ) 2 . 2. 请用你认为的最佳方法解下列方程. (1)x2 -2x-4 = 0; 解:由原方程得 x2-2x=4, 则 x2-2x+1=4+1,即 (x-1) 2 =5, ∴ x-1=± 5 , ∴ x1 =1+ 5 ,x2 =1- 5 ; (2)2x2 -5x+2 = 0; 解:b2-4ac=(-5) 2-4×2 ×2=9>0, ∴ x=5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 =2,x2 = 1 2 ; (3)x(x-7)= 8(7-x) . 解:由原方程得 x(x-7)+ 8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x1 =7,x2 =-8. 3.易错 ∙∙ 已知一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)和它的两个实数根为 x1,x2,下列说法: ①若 a,c 异号,则方程 ax2 +bx+c= 0 一定有实数根; ②若 b2 >5ac,则方程 ax2 +bx+c= 0 一定有两个不相等的实数根; ③若 b=a+c,则方程 ax2 +bx+c= 0 一定有两个实数根; ④若 a= 1,b= 2,c= 3,由根与系数的关系可得 x1 +x2 = -2,x1·x2 = 3. 其中正确的结论的个数为 ( C ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 》》请完成分层作业本 P18-19 习题《《 22 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥1 ⑦①-②,得-3x= 3,解得 x= -1 随堂练习 1. C　 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3.解:代入消元法:由②得 x= 3y+6③, 把③代入①得 2(3y+6) +y= 5, 解得 y= -1,把 y= -1 代入③得 x= 3, 则方程组的解为 x= 3, y= -1;{ 加减消元法:①×3+②得 7x= 21, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入②得 y= -1, 则方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. B　 2. 200 元 3.解:设三人间客房租了 x 间,两人间客房租了 y 间, 根据题意,得 3x+2y= 50, 3x×25+2y×35 = 1 510,{ 解得 x= 8, y= 13.{ 答:三人间客房租了 8 间,两人间客房租了 13 间. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 随堂练习 1. 16,36,6　 2. (1) x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ;(2) x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)x1 = 7,x2 = -8. 　 3. C 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③80(1-x) 2 = 54　 ④(a-2x) ( b- 2x)　 ⑤(a-x)( b-x) 　 ⑥x· m-x 2 　 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧(a- 2x)(b-2x)　 ⑨2 m　 ⑩(40-2x) (26-x) = 144×6　 􀃊􀁉􀁓ax　 􀃊􀁉􀁔ax2 　 􀃊􀁉􀁕(1+x)　 􀃊􀁉􀁖(1+x) 2 随堂练习 1. D　 2. 8 100(1+x) 2 = 10 500 3. 2 500,2 900,400,4× x 50 ,(8+4× x 50 ),(2 900-x),(2 900-x -2 500) 【自主解答】 解:设每台冰箱降价 x 元, 根据题意,得(2 900-x-2 500)(8+4× x 50 )= 5 000, 解方程,得 x1 = x2 = 150, 2 900-150 = 2 750. 答:每台冰箱定价应为 2 750 元. 命题点 5　 分式方程的解法及应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70　 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书 包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁊􀁘x = 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的 解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 随堂练习 1.解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得 x(x+1) -(x+1)(x-1)= 3(x-1), 去括号,得 x2 +x-x2 +1 = 3x-3,解得 x= 2, 检验:当 x= 2 时,(x+1)(x-1)= 3≠0, 则原分式方程的解为 x= 2. 2. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 3. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式 1　 6　 变式 2　 6 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法及应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔1　 􀃊􀁉􀁕a≤2　 􀃊􀁉􀁖3　 􀃊􀁉􀁗a≥2　 􀃊􀁉􀁘-1　 􀃊􀁉􀁙a<2　 􀃊􀁉􀁚-1≤a<0　 􀃊􀁉􀁛2,1,0　 􀃊􀁊􀁒0　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<0 􀃊􀁊􀁕a≥2　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≤　 􀃊􀁊􀁚x≥ 1 n (m-x) 􀃊􀁊􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. (1)√　 (2)√　 (3)✕　 (4)√ 2.解:(1)x 的 3 倍大于或等于 1 用不等式表示为3x≥1,解 得 x≥ 1 3 , 在数轴上表示如解图①; 第 2 题解图① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2