2.1一次方程(组)及其解法-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河北数学 第二章　 方程(组)与不等式(组) 　 　 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 1　 一次方程(组)及其解法(必考) 要点归纳 要点 1 等式的性质 →1 题 基本性质 文字表达 数学表达 在解方程中的应用 性质 1 等式两边加(或减)同一个数(或 式子),结果仍相等 若 a= b,则 a±c= b±c 移项 性质 2 等式两边乘同一个数,或除以同 一个不为 0 的数,结果仍相等 若 a= b,则 ac= bc; 若 a= b,c≠0,则 a c = b c 去分母, 系数化为 1 要点 2 解一元一次方程 本质是经过移项、合并同类项等步骤,将方程化为 ax = b(a≠0)的形式,再将系数化为 1, 得到 x= b a . 例 1　 解方程:x +2 5 = 2- x -1 2 . 答题规范 注意事项 解:去分母:①　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ①不要漏乘不含分母的项; ②分子是多项式时,去分母时加括号 去括号:②　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 去掉“-( 　 　 )”形式的括号时,原括号内 的每一项都要变号 移项:③　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 移项一定要变号 合并同类项:④　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ①把方程化为 ax= b(a≠0)的形式; ②字母及其指数不变,只把系数相加 系数化为 1:⑤　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 方程两边同除以未知数的系数 要点 3 二元一次方程组的解法 →3 题 (1)基本思想:二元一次方程组 消元 转化 → 一元一次方程; (2)解法:代入消元法,加减消元法. 71 基础夯实练·河北数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 例 2　 (人教七下 P93 第 2 题改编)解方程组 x-3y= 8①, 4x-3y= 5②{ 时,两位同学的部分解法如下: 解法 1———加减消元法:由①-②,得 3x= 3,解得 x= 1. 解法 2———代入消元法:由①,得 3y= x-8③,把③代入②,得 4x+8-x= 5,解得 x= -1. (1)上述两种解题过程中你发现解法⑥　 1　 的解题过程有错误(填“1”或“2”); (2)请将过程有误的解法改正. 【自主作答】⑦　 ①-②,得-3x=3,解得 x=-1. 　 归纳:①任意一个二元一次方程组都可以用两种消元法求解; ②加减消元法:适用于方程组中两个方程同一未知数的系数相等或互为相反数; ③代入消元法:适用于方程组中一个方程常数项为 0 或某个未知数的系数为 1 或-1. 要点 4 ※三元一次方程组的解法 基本思想:三元一次方程组 消元 转化 →二元一次方程组 消元 转化 →一元一次方程. 随堂练习 1. 解方程 1 2 x-1 = - 1 2 x+1 时,利用等式性质变形,下列正确的是 ( C ) A. 两边同时乘 2,得 x-1 = -x+1　 　 　 　 　 　 　 B. 移项,得 1 2 x= - 1 2 x+1-1 C. 移项,得 1 2 x+ 1 2 x= 1+1 D. 两边同时除以 1 2 ,得 x-2 = -x+ 1 2 2. 已知 x= 3 是关于 x 的方程 mx-2 = x+1 的解,那么 m 的值为　 2　 . 变式 1　 已知 x= 2, y= -1{ 是方程 2x-ay= 6 的一个解,那么 a 的值是　 2　 . 变式 2　 若关于 x,y 的方程组 3x+y= 3m-5, x-y=m-1{ 中,x+y= -1,则 m 的值为　 1　 . 3. (北师八上 P114 第 2 题改编)分别用代入消元法和加减消元法解方程组 2x+y= 5①, x-3y= 6②.{ 解:代入消元法:由②得 x=3y+6③, 把③代入①得 2(3y+6)+y=5, 解得 y=-1,把 y=-1 代入③得 x=3, 则方程组的解为 x=3, y=-1;{ 　 　 　 　 加减消元法:①×3+②得 7x=21, 解得 x=3, 把 x=3 代入②得 y=-1, 则方程组的解为 x=3, y=-1.{ 》》请完成分层作业本 P14-15 习题《《 81 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥1 ⑦①-②,得-3x= 3,解得 x= -1 随堂练习 1. C　 2. 2　 变式 1　 2　 变式 2　 1 3.解:代入消元法:由②得 x= 3y+6③, 把③代入①得 2(3y+6) +y= 5, 解得 y= -1,把 y= -1 代入③得 x= 3, 则方程组的解为 x= 3, y= -1;{ 加减消元法:①×3+②得 7x= 21, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入②得 y= -1, 则方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. B　 2. 200 元 3.解:设三人间客房租了 x 间,两人间客房租了 y 间, 根据题意,得 3x+2y= 50, 3x×25+2y×35 = 1 510,{ 解得 x= 8, y= 13.{ 答:三人间客房租了 8 间,两人间客房租了 13 间. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③两个不相等　 ④两个相等 ⑤- b 2a 　 ⑥没有　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 随堂练习 1. 16,36,6　 2. (1) x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ;(2) x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)x1 = 7,x2 = -8. 　 3. C 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③80(1-x) 2 = 54　 ④(a-2x) ( b- 2x)　 ⑤(a-x)( b-x) 　 ⑥x· m-x 2 　 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧(a- 2x)(b-2x)　 ⑨2 m　 ⑩(40-2x) (26-x) = 144×6　 􀃊􀁉􀁓ax　 􀃊􀁉􀁔ax2 　 􀃊􀁉􀁕(1+x)　 􀃊􀁉􀁖(1+x) 2 随堂练习 1. D　 2. 8 100(1+x) 2 = 10 500 3. 2 500,2 900,400,4× x 50 ,(8+4× x 50 ),(2 900-x),(2 900-x -2 500) 【自主解答】 解:设每台冰箱降价 x 元, 根据题意,得(2 900-x-2 500)(8+4× x 50 )= 5 000, 解方程,得 x1 = x2 = 150, 2 900-150 = 2 750. 答:每台冰箱定价应为 2 750 元. 命题点 5　 分式方程的解法及应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1　 ⑦ 600 x ⑧x+10　 ⑨ 350 x+10 　 ⑩ 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁉􀁓x= 60　 􀃊􀁉􀁔经检验, x= 60 是原分式方程的解,且符合题意　 􀃊􀁉􀁕则 B 种书包每个 的进价为 x+10 = 70　 􀃊􀁉􀁖A 种书包每个进价为 60 元,B 种书 包每个进价为 70 元　 􀃊􀁉􀁗 6 3x 　 􀃊􀁉􀁘4x　 􀃊􀁉􀁙 10 4x 　 􀃊􀁉􀁚 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁉􀁛C　 􀃊􀁊􀁒 1 3 　 􀃊􀁊􀁓 1 3 　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 1 2 　 􀃊􀁊􀁖 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁊􀁗 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁊􀁘x = 1　 􀃊􀁊􀁙经检验,x = 1 是原分式方程的 解,且符合实际　 􀃊􀁊􀁚乙队的施工速度快 随堂练习 1.解:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得 x(x+1) -(x+1)(x-1)= 3(x-1), 去括号,得 x2 +x-x2 +1 = 3x-3,解得 x= 2, 检验:当 x= 2 时,(x+1)(x-1)= 3≠0, 则原分式方程的解为 x= 2. 2. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 3. 原计划每天挖掘隧道的长度　 变式 1　 6　 变式 2　 6 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法及应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧x>b ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔1　 􀃊􀁉􀁕a≤2　 􀃊􀁉􀁖3　 􀃊􀁉􀁗a≥2　 􀃊􀁉􀁘-1　 􀃊􀁉􀁙a<2　 􀃊􀁉􀁚-1≤a<0　 􀃊􀁉􀁛2,1,0　 􀃊􀁊􀁒0　 􀃊􀁊􀁓-1　 􀃊􀁊􀁔a<0 􀃊􀁊􀁕a≥2　 􀃊􀁊􀁖>　 􀃊􀁊􀁗<　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≤　 􀃊􀁊􀁚x≥ 1 n (m-x) 􀃊􀁊􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. (1)√　 (2)√　 (3)✕　 (4)√ 2.解:(1)x 的 3 倍大于或等于 1 用不等式表示为3x≥1,解 得 x≥ 1 3 , 在数轴上表示如解图①; 第 2 题解图① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2