3.5 一次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 BD 的解析式为 y= kx+b(k≠0),将 B(3,1),D(1,2)代入 解析式得 3k+b= 1, k+b= 2,{ 解得 k= - 1 2 , b= 5 2 . ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 BD 的解析式为 y= - 1 2 x+ 5 2 ; 第 6 题解图 ②y= - 1 2 x+5　 【解析】设平移后的解析式为 y = - 1 2 x+n, 将(2,4)代入得 y= - 1 2 x+5. 7. B 8. y= -x-1　 【解析】设直线 AB 的解析式为 y= kx+1( k≠0), 将点 A( -2,3)代入得 AB 的解析式为 y = -x+1,易得直线 CD∥直线 AB, ∴ 设直线 CD 的解析式为 y = - x + b,将 C( -1,0)代入得直线 CD 的解析式为 y= -x-1. 命题点 5　 一次函数图象与性质的应用 1. C　 2. D 3. B 　 【解析 】 由 图 象 可 得 方 程 组 y=ax+b, y=mx+n,{ 的 解 为 x= -3, y= 2,{ 故甲正确;由图可知,一次函数 y = ax+b 的图象过 点( -3,2)和(0,-2),得 y= - 4 3 x-2,令 y = 0,即- 4 3 x-2 = 0,解得 x= - 3 2 ,因此方程 ax+b= 0 的解为 x= - 3 2 ,故乙正 确;由一次函数 y=mx+n 的图象与 y 轴的交点在(0,1)点 的下方,可知当 x= 0 时,mx+n≠1,故丙不正确. 4. B　 5. D　 拓展设问 　 C 6. D 拓展设问 　 4≤n≤11　 【解析】把 C(1,2)代入 y= 3x+3- n 得 n= 4,把 B(3,1)代入 y= 3x+3-n 得 n= 11,∴ 当直线 l 平移后与△ABC 有交点时,n 的取值范围是 4≤n≤11. 7. (1)(1,0);(2) k≤-1 或 k≥1 　 【解析】(1) ∵ y = kx-k = k(x-1),∴ 直线 y= kx-k 恒过点(1,0);(2)当直线刚好过 点 A 时,将 A( -2,3)代入 y = kx-k 中,得 3 = - 2k-k,解得 k= -1;当直线刚好过点 B 时,将 B(2,1)代入 y = kx-k 中, 得 1 = 2k-k,解得 k = 1,∴ 当直线 y = kx-k 与线段 AB 有交 点时,k 的取值范围为 k≤-1 或 k≥1. 变式 (1)m≥4;(2)n≤16;(3) n≤2m　 【解析】 (1)点 B 的坐标为(m,8),AB 与 x 轴平行,当 m= 4 时,点 B 落在直 线 l 上,所以 m≥4;(2)点 B 的坐标为(8,n),当 n= 16 时, 点 B 落在直线 l 上,当 n≤16 时,线段 AB 与直线 l 有公共 点;(3)点 B 的坐标为(m,n)时点 A 在直线 l 上方,欲使线 段 AB 与直线 l 有公共点,点 B 应该在直线 l 上或者在直 线 l 下方,将 x=m 代入 y= 2x 得 y= 2m,∴ 当 n≤2m 时,线 段 AB 与直线 l 有公共点. 8.解:(1)将 C(m,1)代入一次函数 y= - 1 2 x+2 可得,m= 2, 设正比例函数 l2 的解析式为 y = kx( k≠0),将 C(2,1)代 入可得,k= 1 2 , ∴ l2 的解析式为 y= 1 2 x; (2)当 k 的值为 0, 1 2 或- 1 2 时,l3 与 l1 ,l2 仅有一个交点. 【解法提示】当 l3 与 l2 ,l1 分别平行时,l3 与 l1 ,l2 仅有一个 交点,此时 k 的值为 1 2 或- 1 2 ;当 l3 过点 C 且垂直于 y 轴 时,l3 与 l1 ,l2 仅有一个交点,此时 k 的值为 0. 综上,当 k 的值为 0, 1 2 或- 1 2 时,l3 与 l1 ,l2 仅有一个交点. 9. C　 【解析】如解图,直线 y = kx+4( k>0)一定过点(0,4), 把( -4,0)代入 y= kx+4 得,k = 1,把( -4,1)代入 y = kx+4 得,k= 3 4 ,∵ 直线 y= kx+ 4( k> 0)与坐标轴围成的三角形 内部(不包含边界)有且只有 6 个整点,∴ k 的取值范围是 3 4 ≤k<1. 第 9 题解图 10. (1) -1;(2)①( -1,0),(0,0),(0,1);②(1,2),(2,1); ③9　 【解析】(1)将 y= 2 代入 y= x+1,得出 x= 1,∴ P(1, 2),将 P(1,2)代入 y=ax+3,得 a= -1;(2)③整点分别为 ( -1,0),(0,1),(0,0),(1,2),(1,1),(1,0),(2,1), (2,0),(3,0),共 9 个,画图如解图. 第 10 题解图 11. C　 【解析】设点 P 的坐标为(m,-m+ 3) ( 0 <m< 3),则 CO=m,PC= -m+3,∴ C矩形 PCOD = 2(CO+CP)= 6,则嘉嘉说 法正确;易知 A(0,3),B(3,0),点 P 运动到线段 AB 的中 点时,点 P 的坐标为( 3 2 , 3 2 ),∴ OP = 3 2 2 ,此时 OP⊥ AB,点 P 到原点 O 的距离最短,且最短距离为 3 2 2 ,则淇 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 淇说法错误. 12. (1)(2,-1);(2)2;(3)4 或 1 4 　 【解析】(1)y= (m-1) x- 2m+1 =mx-x-2m+1 =m(x-2) -x+1,由题意可知 x-2 = 0, 此时 x= 2,y= -1,∴ 无论 m 取何值,该一次函数的图象总 过定点(2,-1);(2)∵ 点 B(1,t),C(3,t+2)都在一次函 数 y= (m-1)x-2m+1 的图象上,∴ 把两个点坐标代入得 t=m-1-2m+1, t+2 = 3(m-1) -2m+1,{ 解得 m= 2;(3)当 m-1>0,即 m> 1 时,一次函数 y= (m-1)x-2m+1 中,y 随 x 的增大而增 大,∴ 当 x= 3 时,y 有最大值 2,把(3,2)代入 y = (m-1) x -2m+1,得 3(m-1) -2m+1 = 2,解得 m = 4;当 m-1<0,即 m<1 时,y= (m-1) x- 2m+ 1 中,y 随 x 的增大而减小,∴ 当 x= -2 时,y 有最大值 2,把( -2,2)代入 y = (m-1) x- 2m+1,得-2(m-1) -2m+1 = 2,解得 m = 1 4 . 综上所述,m 的值为 4 或 1 4 . 13. (1)y= x(0≤x≤2), 2x-2(2<x<3), -x+7(3≤x≤7); { (2)当 0<x<3 时,y 随 x 的增大 而增大(答案不唯一);(3) 14 5 ≤b< 32 5 　 【解析】 (1) ∵ ∠C= 30°,AC= 8,AD 是 BC 边上的高,∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°,∴ AD= 4,又∵ E 是 AD 的中点,∴ AE =ED = 2,又∵ ∠EBD= 30°,∴ BE = 2DE = 4,如解图①,当 0≤x≤2 时, 点 P 在 BE 上,BP= 2x,又∵ ∠EBD = 30°,∴ y =PQ = x;如 解图②,当 2<x<3 时,点 P 在 AE 上,y=PD= 2(x-2) +2 = 2x-2;如解图③,当 3≤x≤7 时,点 P 在 AC 上,y = PQ = 1 2 PC= 1 2 [8-2(x-3)] = -x+7,故 y= x(0≤x≤2), 2x-2(2<x<3), -x+7(3≤x≤7); { 图① 图② 图③ 第 13 题解图 (2)函数图象如解图④,性质:当 0<x<3 时,y 随 x 的增大 而增大(答案不唯一); 第 13 题解图④ (3) 14 5 ≤b< 26 5 　 【解析】当一次函数 y1 = - 2 5 x+b 过点 (3,4)时,即- 2 5 × 3+b = 4,解得 b = 26 5 ;当一次函数 y1 = - 2 5 x+b 过点(7,0)时,即- 2 5 ×7+b = 0,解得 b = 14 5 ;∵ 一 次函数 y1 = - 2 5 x+b 在平移过程中,与 y 的函数图象有两 个交点,则 b 的取值范围为 14 5 ≤b< 26 5 . 14.解:(1)∵ 直线 l:y= kx+b 经过点 P ( -2, 0), ∴ -2k+b= 0,即 b= 2k; (2)由题意得,T1(2,4), 将 T1(2, 4)和 P( -2,0)代入 y= kx+b 得 2k+b= 4, -2k+b= 0,{ 解得 k= 1, b= 2,{ ∴ 直线 l 的解析式为 y= x+2; (3)由(1)得 b= 2k,则直线 l 的解析式为 y= kx+2k, 当直线 l 经过点 T2(4, 3)时,k= 1 2 , 当直线 l 经过点 T3(6,2)时,k= 1 4 , 结合图象,直线 l 每侧各两个点时,k 的取值范围为 1 4 < k< 1 2 . 15.解:( 1) A 区显示的结果为 25 +an,B 区显示的结果为 -16-3an; (2)由(1)可知 y= 25+an,x= -16-3an, ∴ y= - x 3 + 59 3 , y 关于 x 的函数图象如解图所示, 第 15 题解图 由图象可知,y 随着 x 的增大而减小; (3)当 n= 4 时,由题意得 M,N,Q 三点的横坐标相同,纵 坐标分别为 0,a,4a+25. ①当 M 为 NQ 中点时,a+4a+25 = 0,解得 a= -5; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 ②当 N 为 MQ 中点时,4a+25+0 = 2a,解得 a= - 25 2 ; ③当 Q 为 MN 中点时,0+a= 2(4a+25),解得 a= - 50 7 . 综上所述,a 的值为-5 或- 25 2 或- 50 7 . 命题点 6　 一次函数的实际应用 1. A　 【解析】设 y 与 x 的关系式为 y = kx+b( k≠0),将(5, 11),(10,12)分别代入,得 5k+b= 11, 10k+b= 12,{ 解得 k= 1 5 , b= 10, { 故该 一次函数解析式为 y = 1 5 x+10. 当 x = 30 时,y = 1 5 x+10 = 16,即★的值是 16. 2. B　 【解析】由图象可知,乙先出发 1 h 后,甲才出发,故甲 说法不正确;甲的速度为 80 3-1 = 40( km / h),故乙说法正确; 设甲离开 A 地的距离 s(km)与时间 t(h)之间的关系为 s= kt+b(k≠0),把(1,0),(3,80)代入解析式得 s= 40t-40;设 乙离开 A 地的距离 s(km)与时间 t(h)之间的关系为 s=mt (m≠0),把(3,40)代入解析式得 3m= 40,即 m= 40 3 ,∴ 其 关系式为 s= 40 3 t,设乙出发 t 小时,两人相距 10 km,根据 题意得 | 40t-40- 40 3 t | = 10 或 40 3 t = 10,解得 t = 9 8 或 15 8 或 3 4 ,∴ 当 t= 9 8 或 15 8 或 3 4 时,甲、乙相距 10 km,故丙说法 不正确. 3. y= 1. 5x+4. 5　 【解析】设一次函数解析式为 y = kx+b( k≠ 0), ∵ 当 x = 4 时, y = 10. 5; 当 x = 7 时, y = 15, ∴ 10. 5 = 4k+b, 15 = 7k+b,{ 解得 k= 1. 5, b= 4. 5,{ ∴ 一次函数的解析式是 y = 1. 5x+4. 5. 4.解:(1)当 17<x≤30 时,y = 17× 1. 8+ 2. 8( x- 17) + 0. 9x = 3. 7x-17; 当 x>30 时,y= 17×1. 8+2. 8×(30-17) +6( x-30) +0. 9x = 6. 9x-113; ∴ y= 3. 7x-17(17<x≤30), 6. 9x-113(x>30) .{ (2)由 y 与 x 之间的函数关系式可知,y 随 x 的增大而 增大, 当 x>30 时,y>6. 9×30-113 = 94, ∵ 156. 1>94, ∴ x>30, ∴ 6. 9x-113 = 156. 1,解得 x= 39, ∴ 小明家这个月用水 39 吨. 5.解:(1)10,一次函数; (2)当 0≤x≤8 时,设 y 与 x 的函数关系式为 y= kx+b( k≠ 0),由题意知,函数图象过点(2,15),(4,20), ∴ 15 = 2k+b, 20 = 4k+b,{ 解得 k= 2. 5, b= 10,{ ∴ y 与 x 的函数关系式为 y= 2. 5x+10(0≤x≤8); (3)由题意知,点(8,30),(12,35) 在同一个一次函数图 象上, ∴ 8 min 时,容器有水 30 mL,12 min 时,容器有水 35 mL, 故 8 min 后水流的速度为(35-30) ÷(12- 8) = 1. 25( mL / min), 又∵ 点(16,40)在该一次函数图象上,即 16 min 时,容器 有水 40 mL, ∴ 2 小时后容器中的水量为 40+1. 25×2×60 = 190(mL), ∵ 190<200, ∴ 两节课后,水不会溢出容器. 6.解:(1)乙,16;【解法提示】由题意可知,乙槽在注入水的 过程中,水的高度不断增加,当水位达到铁块顶端时,高度 变化情况又同前面不同,∴ 折线 EDC 表示的是乙槽的水 深与注水时间的关系;折线 EDC 中,在 D 点表示乙槽水深 16 cm,也就是铁块的高度为 16 cm. (2)设 AB 的函数表达式为 y= kx+b(k≠0), 将点(0,14),(7,0)代入得 b= 14, 7k+b= 0,{ 解得 k= -2, b= 14,{ ∴ AB 的函数表达式为 y= -2x+14(0≤x≤7); (3)设 ED 的函数表达式为 y=mx+n(m≠0), 将点(0,4),(4,16)代入得 n= 4, 4m+n= 16,{ 解得 m= 3, n= 4,{ ∴ ED 的函数表达式为 y= 3x+4(0≤x≤4) . 联立方程组 y= -2x+14, y= 3x+4,{ 解得 x= 2, y= 10,{ 答:注水 2 分钟,甲、乙两个水槽中水的深度相同. 命题点 7　 反比例函数的图象与性质 1. C　 变式 　 4(答案不唯一,a<5 均满足) 2. A　 变式 　 B　 3. A　 4. C　 拓展设问 　 3,-3　 5. A 6. D　 7. -1<y<0;x<-2 或 x>0 命题点 8　 反比例函数解析式的 确定及 k 的几何意义 1. y= 3 x 2. A　 【解析】∵ AB 平行于 x 轴,∴ A,B 的纵坐标相同,∵ 点 A 坐标为( -1,-2),点 B 在点 A 左侧,AB = 4,∴ 点 B 的坐 标为( -5,-2),∴ AB 中点的坐标为( -3,-2) . 又∵ 反比例 函数图象经过 AB 的中点,∴ k= -2×( -3)= 6. 3.解:设 M 点的坐标为(x,y),则 MN= y,ON= -x, 由题意可知 OA= 2ON= -2x, ∵ OA·MN= 4,∴ -2x·y= 4, ∴ k= xy= -2,∴ y= - 2 x . 4. C 变式 4-1 　 C　 【解析】如解图,连接 OC,OA,∵ ☉A 与 x 轴相切于点 B,CB 为☉A 的直径,∴ BC∥OD,∴ S△ACD = S△ACO =S△AOB = 6,∵ | k | = 2S△COB = 2×2×6 = 24,且反比例函 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 分层作业本·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 5　 一次函数图象与性质的应用(必考) 考向 1　 一次函数与一次方程(组)的关系 1. 数学思想 小颖同学根据“一次函数 y = kx+b 的 图象与 x 轴的交点为(1,0)”,判断关于 x 的一 元一次方程 kx+b = 0 的解为 x = 1,小颖同学在解 决这道题时用到的数学思想是 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 模型思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 由特殊到一般的思想 2. 已知方程 kx+b= 0 的解是 x= 3 2 ,则函数 y = kx+ b 的图象可能是 (　 D　 ) 3. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 y = ax+b 与 y=mx+n(a<m<0)的图象如图所示,三人说 法如下: 甲:方程组 y-ax= b, y-mx=n{ 的解为 x= -3, y= 2;{ 乙:方程 ax+b= 0 的解为 x= - 3 2 ; 丙:当 x= 0 时,mx+n= 1. 第 3 题图 下列判断正确的是 (　 B　 ) A. 甲、乙、丙都对 B. 甲、乙对,丙错 C. 甲、丙对,乙错 D. 甲、乙、丙都不对 考向 2　 一次函数与一次不等式(组)的关系 4. 如图,已知直线 y = kx+b,则关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是 (　 B　 ) 第 4 题图 A. x<-1 B. x>-1 C. x<2 D. x>2 5. 如图,已知直线 y1 = ax+b 与 y2 = mx+n 相交于 点 P( -1,1),则关于 x 的不等式 y1 >y2 的解集 在数轴上表示正确的是 (　 D　 ) 第 5 题图 拓展设问 若 y1 与 x 轴交于点( -2,0),y2 与 x 轴交于点( - 1 2 ,0),则不等式组 ax+b>0, mx+n<0{ 的解 集为 (　 C　 ) A. x<-2 B. -2<x<- 1 2 C. x>- 1 2 D. 以上答案都不对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 分层作业本·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 考向 3　 一次函数的交点(公共点)类问题 6. [2015 河北 14 题改编]如图,直线 l 的解析式为 y= 3x+3,若直线 y = a 与直线 l 的交点在第二 象限,则 a 的取值范围是 (　 D　 ) 第 6 题图 A. 1<a<2 B. 3<a<4 C. -1<a<0 D. 0<a<3 拓展设问 如图, △ABC 的顶点坐标分别是 A(1,1),B(3,1),C(1,2),将直线 l 向下平移 n 个单 位 与 △ABC 有 交 点, n 的 取 值 范 围 是　 4≤n≤11　 . 拓展设问题图 7. [2022 河北 25 题改编]如图,已知点 A( - 2,3), B(2,1),直线 y = kx-k(k≠0)与线段 AB 有交 点,则 (1)直线 y= kx-k 恒过点　 　 (1,0) 　 ; (2)k 的取值范围是　 k≤-1 或 k≥1　 . 第 7 题图 变式 如图,已知直线 l 的解析式为 y = 2x,点 A 的坐标为(2,8),线段 AB 与直线 l 有公共点. 变式题图 (1)若点 B 的坐标为(m,8),则 m 的取值范围 是　 m≥4　 ; (2)若点 B 的坐标为(8,n),则 n 的取值范围 是　 n≤16　 ; (3)若点 B 的坐标为(m,n),则 m 与 n 之间应 满足关系式:　 n≤2m　 . 8. [名师原创]如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一 次函数 y = - 1 2 x+2 的图象 l1 分别与 x 轴,y 轴 交于 A,B 两点,正比例函数的图象 l2 与 l1 交于 点 C(m,1) . (1)求 m 的值及 l2 的解析式; (2)若直线 y= kx+1 记为 l3,且 l3 与 l1,l2 仅有 一个交点,直接 ∙∙ 写出 k 的值. 第 8 题图 解:(1)将 C(m,1)代入一次函数 y = - 1 2 x+2 可得, m=2,设正比例函数 l2 的解析式为 y = kx(k≠0),将 C(2,1)代入可得,k= 1 2 ,∴ l2 的解析式为 y= 1 2 x; (2)当 k 的值为 0, 1 2 或- 1 2 时,l3 与 l1,l2 仅有一个交 点. 【解法提示】当 l3 与 l2,l1 分别平行时,l3 与 l1,l2 仅有一个交点,此时 k 的值为 1 2 或- 1 2 ;当 l3 过点 C 时,l3 与 l1,l2 仅有一个交点,此时 k 的值为 0. 综上, 当 k 的值为 0, 1 2 或- 1 2 时,l3 与 l1,l2 仅有一个交点. 考向 4　 一次函数的整点类问题 9. 在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的 点叫作整点. 直线 y= kx+4(k>0)与坐标轴围成 的三角形内部(不包含边界)有且只有 6 个整 点,则 k 的取值范围是 (　 C　 ) A. 4 5 ≤k<1 B. 4 5 <k<1 C. 3 4 ≤k<1 D. 3 4 <k<1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53 分层作业本·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 10. [名师原创]如图,已知函数 y = x+1 和 y = ax+3 的图象交于点 P,点 P 的纵坐标为 2. 第 11 题图 　 备用图 (1)则 a 的值为　 -1　 ; (2) 横坐标、纵坐标均为整数的点称为整 点,则 ①函数 y= x+1 的图象与坐标轴围成的封 闭区域(含边界)的整点为　 (-1,0), (0,0),(0,1) 　 ; ②函数 y = ax+3 的图象在第一象限内的 整点为　 (1,2),(2,1) 　 ; ③函数 y= x+1 和 y = ax+3 的图象与 x 轴 围成的几何图形中(含边界)整点的个 数为　 9　 ,并在备用图中描出. 考向 5　 一次函数的综合性问题 11. [名师原创]如图,直线 y = -x+3 与两坐标轴交 于 A,B 两点,点 P 是线段 AB 上一动点(不与 A,B 两端点重合),过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C,作 PD⊥y 轴于点 D,嘉嘉认为矩形 PCOD 的周长不变且始终为 6;淇淇认为当点 P 运动 到线段 AB 的中点时,点 P 到原点 O 的距离最 短,且最短距离为2 2 3 . 关于两人的说法,下面 判断正确的是 (　 C　 ) 第 11 题图 A. 嘉嘉与淇淇都是正确的 B. 嘉嘉与淇淇都是错误的 C. 嘉嘉是正确的,淇淇是错误的 D. 嘉嘉是错误的,淇淇是正确的 12. [经典好题]已知一次函数 y=(m-1)x-2m+1,其 中 m≠1. (1)无论m 取何值,该一次函数的图象总过一 定点,该定点的坐标为　 (2,-1) 　 ; (2)若点 B(1,t),C(3,t+2)都在该一次函数 的图象上,则 m 的值为　 2　 ; (3)若-2≤x≤3 时,该函数有最大值为 2,则 m 的值为　 　 　 　 . 13. [创新考法]如图,△ABC 中,∠C = 30°,AC = 8, AD 是 BC 边上的高,点 E 是 AD 的中点,连接 BE. ∠EBD= 30°,若动点 P 以每秒 2 个单位 长度的速度从点 B(含端点)出发,沿折线 B→ E→A→C 方向运动,当点 P 运动到点 C(含端 点)时停止运动. 设运动时间为 x 秒,点 P 到 BC 的距离为 y. 图① 图② 第 13 题图 (1)写出 y 关于 x 的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围 　 ; (2) 开放性试题 在图②平面直角坐标系中画 出这个函数图象,并写出该函数的一条性 质:　 当 0<x<3 时,y 随 x 的增大而增大 (答案不唯一) 　 ; (3)若一次函数 y1 = - 2 5 x+b 与 y 的函数图象 有两个交点, 直接写出 b 的取值范围 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 分层作业本·河北数学 　 第 三 章 函 　 数 14. [2021 河北 25 题改编]如图是 4 个台阶的示意 图,每个台阶的高和宽分别是 1 和 2,每个台 阶凸出的角的顶点记作 Tm(m 为 1~4 的整数), 已知点 P(-2,0),直线 l:y=kx+b 经过点 P. (1)试推算出 k 和 b 的数量关系; (2)若直线 l 过点 T1,求直线 l 的解析式; (3)若直线 l 使得 Tm(m 为 1 ~ 4 的整数)这些 点分布在它的两侧,每侧各 2 个点,求 k 的取值范围. 第 14 题图 解:(1)∵直线 l:y=kx+b 经过点 P (-2, 0), ∴-2k+b=0,即 b=2k; (2)由题意得,T1(2,4), 将(2, 4)和(-2,0)代入 y=kx+b 得 2k+b=4, -2k+b=0,{ 解得 k=1, b=2,{ ∴直线 l 的解析式为 y=x+2; (3)由(1)得 b=2k,则直线 l 的解析式为 y=kx+2k, 当直线 l 经过点 T2(4, 3)时,k= 1 2 , 当直线 l 经过点 T3(6,2)时,k= 1 4 , 结合图象,直线 l 每侧各两个点时,k 的取值范围 为 1 4 < k< 1 2 . 15. [名师原创] [经典真题(2020 年第 21 题)新考法] 有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的 A 区就 会自动加上 a,同时 B 区就会自动减去 3a,且 均显示化简后的结果. 已知 A,B 两区初始显 示的数分别是 25 和- 16,如图①. 例如:第一 次按键后,A,B 两区显示的结果如图②. (1)从初始状态按 n 次后,分别求 A,B 两区 显示的结果; (2)若 A 区的运算结果用 y 表示,B 区的运算 结果用 x 表示,请在图③的坐标系中画出 y 关于 x 的函数图象 L,并说明 y 是如何 随着 x 的变化而变化的; (3)当 n= 4 时,某垂直于 x 轴的直线与 x 轴, 直线 y=a,L 分别交于点 M,N,Q,求当其 中一点为另外两点连线中点时 a 的值. 图① 　 图② 图③ 第 15 题图 解:(1)A 区显示的结果为 25+an,B 区显示的结果 为-16-3an; (2)由(1)可知 y=25+an,x=-16-3an, ∴ y=- x 3 +59 3 , y 关于 x 的函数图象如解图所示, 由图象可知,y 随着 x 的增大而减小; (3)当 n=4 时,由题意得 M,N,Q 三点的横坐标相 同,纵坐标分别为 0,a,4a+25. ①当 M 为 NQ 中点时,a+4a+25=0,解得 a=-5; ②当 N 为 MQ 中点时,4a+25+0=2a,解得 a=-25 2 ; ③当 Q为MN中点时,0+a=2(4a+25),解得 a=-50 7 . 综上所述,a 的值为-5 或-25 2 或-50 7 . 1. 函数图象过定点问题加练 (见专项培优练 P48) 2. 一次函数图象与性质的应用电子版加练 (扫描目录首页二维码,一键免费下载) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73