2.5 分式方程解法及应用-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程的解法及应用(必考) 考向 1　 分式方程的解法 1. [2024 石家庄校级模拟]将方程 1 x-1 -1 = 2x 1-x 去分 母,两边同乘(x-1)后的式子为 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1-1 = -2x B. x-1-1 = -2x C. 1-(x-1)= 2x D. 1-(x-1)= -2x 2. [2024 德阳]分式方程 1 x = 5 x+3 的解是 (　 D　 ) A. 3 B. 2 C. 3 2 D. 3 4 变式 [2024 邢台一模]若分式 x x-1 与 m 1-x 的值相 等,则 m 的值不可能是 (　 C　 ) A. -3 B. 0 C. -1 D. -2 3. [2023 上海]在分式方程 2x-1 x2 + x 2 2x-1 = 5 中,设 2x-1 x2 = y,可得到关于 y 的整式方程为(　 D　 ) A. y2 +5y+5 = 0 B. y2 -5y+5 = 0 C. y2 +5y+1 = 0 D. y2 -5y+1 = 0 4. [名师原创]嘉嘉在解分式方程 3- x 2x-1 = - 2 1-2x 时,步骤如下: 第 4 题图 (1)嘉嘉开始出现错误的步骤是　 ①　 ; (2)请你给出正确的完整解题步骤. 解:(1)①; (2)3- x 2x-1 =- 2 1-2x , 去分母: 3(2x-1)-x=2, 考向 2　 分式方程解的应用 5. [2024 唐山迁安二模]嘉淇准备完成题目:解方程 2 □ + 1 x+2 = 0. 发现分母的位置印刷不清,查阅答 案后发现标准答案是 x = -1,请你帮助嘉淇推 断印刷不清的位置可能是 (　 A　 ) A. x-1 B. -x-1 C. x+1 D. x2 -1 6. [2024 遂宁改编]分式方程 2 x-1 = 1- m x-1 的解为负 数,则 m 的取值范围为 (　 C　 ) A. m>-3 B. m>-3 且 m≠-2 C. m<-3 D. m<3 且 m≠-2 7. 若 x=a 是方程 3x+1 = b 和2x +1 x = 1 的公共解, 则 a= 　 -1　 ,b= 　 -2　 . 考向 3　 分式方程的实际应用 8. [2016 河北 12 题 2 分]在求 3x 的倒数的值时,嘉 淇同学误将 3x 看成了 8x,她求得的值比正确 答案小 5. 依上述情形,所列关系式成立的是 (　 B　 ) A. 1 3x = 1 8x -5 B. 1 3x = 1 8x +5 C. 1 3x = 8x-5 D. 1 3x = 8x+5 9. [2022 课标新增·现实情境理解方程的意义]“某学 校改造过程中整修门口 3 000 m 的道路,但是 在实际施工时,…,求实际每天整修道路多少 米?”在这个题目中,若设实际每天整修道路 x m,可得方程3 000 x-10 - 3 000 x = 20,则题目中用 “…”表示的条件应是 (　 B　 ) A. 每天比原计划多修 10 m,结果延期 20 天完成 B. 每天比原计划多修 10 m,结果提前 20 天完成 C. 每天比原计划少修 10 m,结果延期 20 天完成 D. 每天比原计划少修 10 m,结果提前 20 天完成 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 分层作业本·河北数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 变式 学科融合实验室的一个容器内盛有 150 克 食盐水,其中含盐 10 克. 如何处理能将该容器 内食盐水含盐的百分比提高到原来的 3 倍? 小颖根据这一情境中的数量关系列出方程 3× 10 150 = 10 150-x ,则未知数 x 表示的意义是 (　 C　 ) 　 　 变式题图 A. 增加的水量 B. 加入的食盐量 C. 蒸发掉的水量 D. 减少的食盐量 10. 真实情境 [2024 石家庄模拟改编]某路口的斑 马线路段 A-B-C 横穿双向车道,其中,AB = 2BC = 10 米,在人行绿灯亮时,小刚共用时 10 秒通过 AC,其中通过 BC 的速度是通过 AB 的 1. 3 倍,则小刚通过 AB 的速度为 (　 A　 ) 第 10 题图 A. 18 13 米 / 秒 B. 1 米 / 秒 C. 36 13 米 / 秒 D. 8 13 米 /秒 11. [2024 邯郸广平县模拟]对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号 max{a,b}表示 a、b 中较 大的数,如:max{2,4} = 4. 按照这个规定. 方 程 max{x,-x} = 2x +1 x 的解为 (　 D　 ) A. 1- 2 B. 2- 2 C. 1- 2或 1+ 2 D. 1+ 2或-1 12.易错 ∙∙ 已知关于 x 的分式方程 2 x-1 - mx 1-x = 1. (1)若此方程有增根,则 x 的值为　 　 　 　 , m 的值为　 -2　 ; (2)若此方程无解,则 m 的值为　 1 或-2　 ; (3)若此方程的解为正数,则 m 的取值范围 为　 m<1 且 m≠-2　 . 13. 某公司会计欲查询乙商品的进价(如下表), 发现进货单已被墨水污染. 小李:我记得甲商品进价比乙商品进价每件 高 50%. 小王: 我 记 得 甲 商 品 比 乙 商 品 的 数 量 多 40 件. (1)乙商品的进价是多少? (2)请你帮会计算出甲商品的进价及甲、乙商 品的进货数量. 解:(1)设乙商品的进价为 x 元 /件,则甲商品的进 价为(1+50%)x 元 /件, 根据题意,得 7 200 (1+50%)x -3 200 x =40, 解得 x=40, 经检验,x=40 是原分式方程的解,且符合题意; 答:乙商品的进价是 40 元 /件; (2)甲商品的进价为: (1+50%)×40=60(元 /件), 甲商品的进货数量为:7 200 60 =120(件), 乙商品的进货数量为:3 200 40 =80(件) . 答:甲商品的进价是 60 元 /件,甲、乙商品的进货数 量分别为 120 件、80 件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 因式分解得 x(x-2)= 0, 解得 x1 = 0,x2 = 2; (2)设这个常数项为 c,依题意得, Δ= ( -2) 2 -4c≥0,解得 c≤1, ∴ 被污染的常数项的最大值为 1. 10. C　 【解析】∵ a,b 是方程 x2 - 2 023x+ 2 = 0 的两个实数 根,∴ a+b= - -2 023 1 = 2 023,ab = 2 1 = 2,∴ ab(a+b) = 2× 2 023 = 4 046. 11. 1 2 　 【解析】 ∵ 方程 x2 + x- 2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 , ∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = -2,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -1 -2 = 1 2 . 12. D　 13. A　 14. B 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. A　 2. D　 3. D　 4. B 5. 6　 【解析】由题意得 1+n+n·n = 43,整理得 n2 +n-42 = 0, (n+7)(n-6)= 0,解得 n1 = -7(不符合题意,舍去),n2 = 6, ∴ n 的值为 6. 6. x2 +22 = (x+0. 5) 2 7. B 8.解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB = x m,则边 BC = 70-2x+2 = (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2 -36x+320 = 0, 解得 x1 = 16,x2 = 20, 当 x= 16 时,72-2x= 72-32 = 40(m), 当 x= 20 时,72-2x= 72-40 = 32(m) . 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,面积为 640 m2 ; (2)不能, 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2 -36x+325 = 0, Δ= ( -36) 2 -4×325 = -4<0, ∴ 一元二次方程没有实数根, ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 9.解:(1)a+1;a+7;a+8; (2)552; (3)嘉嘉的说法正确,理由如下: 根据题意得(a+1)(a+7)= 135, 整理得 a2 +8a-128 = 0, 解得 a1 = 8,a2 = -16(不符合题意,舍去), ∵ 10 月 8 日为周二,圈出的四个数在日历表中存在,符合 题意, ∴ 嘉嘉的说法正确; 淇淇的说法正确,理由如下: 根据题意得 a(a+8)= 84, 整理得 a2 +8a-84 = 0, 解得 a1 = 6,a2 = -14(不符合题意,舍去), ∵ 10 月 6 日为周日,圈出的四个数在日历表中存在,符合 题意, ∴ 淇淇的说法正确. 命题点 5　 分式方程的解法及应用 1. D　 2. D 变式 C　 【解析】由题得 x x-1 = m 1-x ,解得 x = -m. ∵ x≠1, ∴ -m≠1,则 m≠-1. 3. D 4.解:(1)①; (2)3- x 2x-1 = - 2 1-2x , 去分母: 3(2x-1) -x= 2, 去括号:6x-3-x= 2, 移项,合并同类项:5x= 5, 系数化为 1:x= 1, 经检验,x= 1 是原分式方程的根. 5. A　 【解析】设印刷不清的位置的式子为 a,即 2 a + 1 x+2 = 0, 把 x= -1 代入,解得 a = - 2,经检验 a = - 2 是分式方程的 解,当 x= -1 时,4 个选项中只有 x-1 的值为-2,则推断印 刷不清的位置可能是 x-1. 6. C　 【解析】去分母得 2 = x-1-m,解得 x = m+ 3,由方程的 解为负数,得到 m+ 3 < 0,且 m+ 3 ≠ 1,则 m 的取值范 围为 m<-3. 7. -1;-2 8. B　 9. B　 变式 C 10. A　 【解析】设小刚通过 AB 的速度为 x,由题意可得 10 x + 5 1. 3x = 10,解得 x = 18 13 ,经检验 x = 18 13 是分式方程的解,且 符合题意,故小刚通过 AB 的速度为 18 13 米 /秒. 11. D　 【解析】当 x<-x,即 x<0 时,方程变形为-x = 2x+1 x ,解 得 x1 = x2 = -1,经检验 x = -1 是分式方程的解;当 x>-x, 即 x>0 时,方程变形为 x = 2x+1 x ,解得 x3 = 1+ 2 ,x4 = 1- 2 (舍去),经检验 x= 1+ 2 是分式方程的解,综上,所求 方程的解为 1+ 2或-1. 12. (1)1;-2;(2)1 或-2;(3)m<1 且 m≠-2 13.解:(1)设乙商品的进价为 x 元 /件,则甲商品的进价为 (1+50%)x 元 /件, 根据题意,得 7 200 (1+50%)x -3 200 x = 40, 解得 x= 40, 经检验,x= 40 是原分式方程的解,且符合题意; 答:乙商品的进价是 40 元 /件; (2)甲商品的进价为: (1+50%) ×40 = 60(元 /件), 甲商品的进货数量为: 7 200 60 = 120(件), 乙商品的进货数量为: 3 200 40 = 80(件) . 答:甲商品的进价是 60 元 /件,甲、乙商品的进货数量分 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 别为 120 件、80 件. 命题点 6　 一元一次不等式(组)的解法及应用 1. B　 2. C　 3. A　 4. B　 变式 C　 5. A 6.解:(1)当 m= 2 时,P= 3×( 1 3 -2)= 3×( - 5 3 )= -5; (2)由数轴知,P≤7,即 3( 1 3 -m)≤7,解得 m≥-2, ∴ m 的负整数值为-1 或-2. 7. A　 8. A　 9. A　 10. 10x-5(20-x) >90 11.解:(1)嘉嘉所列方程为 101-x= 2x, 解得 x= 33 2 3 , 又∵ x 为整数,∴ x= 33 2 3 不合题意, ∴ 淇淇的说法不正确; (2)∵ A 品牌乒乓球有 x 个, ∴ B 品牌乒乓球有(101-x)个, 依题意得 101-x-x≥28,解得 x≤36 1 2 , 又∵ x 为整数,∴ x 可取的最大值为 36. 答:A 品牌球最多有 36 个. 12. -2(答案不唯一) 13. (1)11;(2)m≤5　 【解析】(1)由 2x-m>1,得 x> m+1 2 ,由 3x-2m<-1,得 x< 2m-1 3 . ∵ 该不等式组的解集为 6<x<7, ∴ m+1 2 = 6,解得 m= 11;(2)∵ 该不等式组无解,∴ m+1 2 ≥ 2m-1 3 ,解得 m≤5. 14.解:(1)小英的得分为 3×3+1×1+2×( -2)= 6(分); (2)由题意可知小敏不把沙包投在区域外才能使投在 A 区域的次数更少. 设小敏投在 A 区域 x 次,则投在 B 区域(12-x)次. 依题意得 3x+(12-x)≥18, 解得 x≥3, ∴ 最少投在 A 区域 3 次. ★综合与实践一　 杠杆平衡原理 1.解:问题一:设支点到木杆左边挂重物处的距离为 a cm, 根据题意可得 6·a= 1×15, 解得 a= 2. 5. ∴ 左边重物到支点距离是 2. 5 cm; 问题二:∵ 支点到木杆左边挂重物处的距离为 x cm,支点 到木杆右边挂重物处的距离为 l 2 cm, ∴ 列一元一次方程为 x·n= 1 2 l. 即 x= l 2n . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三章　 函　 数 命题点 1　 平面直角坐标系与函数 1. D　 2. B　 拓展设问 (1)7; (2)第二象限 3. C 4. (1)(3,- 5), (3,- 2);(2) (1,5),( - 1,- 5),( - 1,5), ( -5,1);(3)( -5,-1)或(5,1) 5. B　 变式 5-1 　 A 变式 5-2 　 (3,2)　 【解析】过( -1,2),(3,-1)两点分别 作 x 轴,y 轴的平行线,交点为( 3,2),即为第四个顶点 坐标. 变式 5-2 题解图 6. D　 7. C　 8. x>1　 9. A 10. A　 【解析】 ∵ 点( - 3,4) 与点( a2 ,b2 ) 关于 y 轴对称, ∴ a2 = 3,b2 = 4,∴ (a+b)(a-b)= a2 -b2 = 3-4 = -1. 11. D　 【解析】先找出规律,当“和点”横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 0 时,先向右平移 1 个单位,之后按照向 上、向左,向上、向左不断重复的规律平移,“和点” Q 按 上述规则连续平移 16 次后,到达点 Q16( - 1,9),则按照 “和点”Q16 反向运动 16 次即可,可以分为两种情况: 解法 1:①Q16 先向右平移 1 个单位得到 Q15(0,9),此时 横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 0,应该是 Q15 向右 平移 1 个单位得到 Q16 ,故矛盾,不成立;②Q16 先向下平 移 1 个单位得到 Q15( -1,8),此时横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 1,则应该向上平移 1 个单位得到 Q16 ,故 符合题意,∴ 点 Q16 先向下平移,再向右平移,当平移到 第 15 次时,共计向下平移了 8 次,向右平移了 7 次,此时 坐标为( -1+7,9-8),即(6,1),∴ 最后一次若点 Q1 向右 平移则点 Q 坐标为(7,1),若点 Q1 向左平移则点 Q 坐标 为(5,1) . 第 11 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6