2.4 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元二次方程的实际应用(10 年 3 考) 1. [名师原创]某旅游景点 2024 年 1 ~ 5 月份接待 游客人数如图所示. 设从 2 月份到 4 月份,游 客每月的平均增长率为 x,根据题意可得方程 (　 A　 ) 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 25(1+x) 2 = 64 B. 25(1+x2)= 64 C. 64(1-x) 2 = 25 D. 64(1-x2)= 25 2. 如图都是由同样大小的小球按一定规律排列 的,依照此规律排列下去,若图○n 共有 210 个 小球,则可列方程为 (　 D　 ) 第 2 题图 A. n(n-1)= 210 B. n(n+1)= 210 C. n(n-1) 2 = 210 D. n(n+1) 2 = 210 3. 真实情境 如图是某停车场的平面示意图,停车 场外围的长为 30 米,宽为 19 米. 停车场内车 道的宽都相等,若停车位的总占地面积为 390 平方米,列方程求解车道宽度时,设车道宽度 为 x(单位:米),下列方程正确的是 (　 D　 ) 第 3 题图 A. 19x+30x= 30×19-390 B. 2x2 +30x= 30×19-390 C. (30-x)(19-2x)= 390 D. (30-x)(19-x)= 390 4. [2024 石家庄月考]某花圃用花盆培育某种花 苗,经过试验发现,每盆花的盈利与每盆株数 构成一定的关系,每盆植入 3 株时,平均单株 盈利 10 元;以同样的栽培条件,若每盆每增加 1 株,平均单株盈利就减少 1 元,要使每盆的盈 利为 40 元,需要每盆增加几株花苗? 设每盆 增加 x 株花苗,下面列出的方程中符合题意的 是 (　 B　 ) A. (x-3)(10-x)= 40 B. (x+3)(10-x)= 40 C. (x-3)(10+x)= 40 D. (x+3)(10+x)= 40 5. [2024 沧州一模改编]某班班长在接到学校紧急 通知后,通知了班级的 n 名班委,班委接到通 知后,又分别通知了班级的其他 n 名同学,这 样全班 43 名同学恰好都接到了一次通知,则 n 的值为　 6　 　 　 . 6. [2024 吉林]图①中有一首古算诗,根据诗中的 描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其 示意图如图②,其中 AB = AB′,AB⊥B′C 于点 C,BC= 0. 5 尺,B′C = 2 尺. 设 AC 的长度为 x 尺,可列方程为　 x2+22 =(x+0. 5) 2 　 . 图① 图② 第 6 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 分层作业本·河北数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 7. [名师原创]对于题目:“将原边长为 x m 的正方 形菜地一边缩短 5 m,另一边延长到原来的 2 倍少 1 m,得到一个面积为 18 m2 的矩形菜地, 求原正方形菜地的边长 x 的值. ”三人的说法 如下: 甲:可列出关于 x 的方程为(2x-1)(x-5)= 18. 乙:原正方形菜地的边长 x 的值有 2 个. 丙:x 的值可以小于 6,也可以大于 7. 下列判断正确的是 (　 B　 ) A. 甲和丙对 B. 乙和丙错 C. 甲和丙错 D. 乙和丙对 8. [2022 课标例 71 改编]如图,嘉嘉想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成 一个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料) . (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,面积为 640 m2? (2)羊圈的面积能达到 650 m2 吗? 如果能,请 你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 第 8 题图 解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB = x m,则边 BC = 70- 2x+2=(72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2-36x+320=0, 解得 x1 =16,x2 =20, 当 x=16 时,72-2x=72-32=40(m), 当 x=20 时,72-2x=72-40=32(m) . 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽 为 20 m 时,面积为 640 m2; (2)不能, 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2-36x+325=0, Δ=(-36) 2-4×325=-4<0, ∴一元二次方程没有实数根, ∴羊圈的面积不能达到 650 m2 . 9. 真实情境 如图为 2024 年 10 月的日历表,在其 中用一个方框圈出 4 个数(如图中虚框所示), 设这 4 个数从小到大依次为 a,b,c,d. (1)若用含有 a 的式子分别表示出 b,c,d,其结果 应为:b=　 a+1　 ;c=　 a+7　 ;d=　 a+8　 ; (2)按这种方法所圈出的四个数中,ab 的最大 值为 　 552　 ; (3)嘉嘉说:“按这种方法可以圈出四个数,使 得 bc 的值为 135. ” 淇淇说:“按这种方法可以圈出四个数,使 最小数 a 与最大数 d 的乘积 ad 为 84. ”请 你运用一元二次方程的相关知识分别说明 二人的说法是否正确. 第 9 题图 解:(1)a+1;a+7;a+8; (2)552; (3)嘉嘉的说法正确,理由如下: 根据题意得(a+1)(a+7)= 135, 整理得 a2+8a-128=0, 解得 a1 =8,a2 =-16(不符合题意,舍去), ∵10 月 8 日为周二,圈出的四个数在日历表中存在, 符合题意, ∴嘉嘉的说法正确; 淇淇的说法正确,理由如下: 根据题意得 a(a+8)= 84, 整理得 a2+8a-84=0, 解得 a1 =6,a2 =-14(不符合题意,舍去), ∵10 月 6 日为周日,圈出的四个数在日历表中存在, 符合题意, ∴淇淇的说法正确. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 因式分解得 x(x-2)= 0, 解得 x1 = 0,x2 = 2; (2)设这个常数项为 c,依题意得, Δ= ( -2) 2 -4c≥0,解得 c≤1, ∴ 被污染的常数项的最大值为 1. 10. C　 【解析】∵ a,b 是方程 x2 - 2 023x+ 2 = 0 的两个实数 根,∴ a+b= - -2 023 1 = 2 023,ab = 2 1 = 2,∴ ab(a+b) = 2× 2 023 = 4 046. 11. 1 2 　 【解析】 ∵ 方程 x2 + x- 2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 , ∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = -2,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -1 -2 = 1 2 . 12. D　 13. A　 14. B 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. A　 2. D　 3. D　 4. B 5. 6　 【解析】由题意得 1+n+n·n = 43,整理得 n2 +n-42 = 0, (n+7)(n-6)= 0,解得 n1 = -7(不符合题意,舍去),n2 = 6, ∴ n 的值为 6. 6. x2 +22 = (x+0. 5) 2 7. B 8.解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB = x m,则边 BC = 70-2x+2 = (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2 -36x+320 = 0, 解得 x1 = 16,x2 = 20, 当 x= 16 时,72-2x= 72-32 = 40(m), 当 x= 20 时,72-2x= 72-40 = 32(m) . 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,面积为 640 m2 ; (2)不能, 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2 -36x+325 = 0, Δ= ( -36) 2 -4×325 = -4<0, ∴ 一元二次方程没有实数根, ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 9.解:(1)a+1;a+7;a+8; (2)552; (3)嘉嘉的说法正确,理由如下: 根据题意得(a+1)(a+7)= 135, 整理得 a2 +8a-128 = 0, 解得 a1 = 8,a2 = -16(不符合题意,舍去), ∵ 10 月 8 日为周二,圈出的四个数在日历表中存在,符合 题意, ∴ 嘉嘉的说法正确; 淇淇的说法正确,理由如下: 根据题意得 a(a+8)= 84, 整理得 a2 +8a-84 = 0, 解得 a1 = 6,a2 = -14(不符合题意,舍去), ∵ 10 月 6 日为周日,圈出的四个数在日历表中存在,符合 题意, ∴ 淇淇的说法正确. 命题点 5　 分式方程的解法及应用 1. D　 2. D 变式 C　 【解析】由题得 x x-1 = m 1-x ,解得 x = -m. ∵ x≠1, ∴ -m≠1,则 m≠-1. 3. D 4.解:(1)①; (2)3- x 2x-1 = - 2 1-2x , 去分母: 3(2x-1) -x= 2, 去括号:6x-3-x= 2, 移项,合并同类项:5x= 5, 系数化为 1:x= 1, 经检验,x= 1 是原分式方程的根. 5. A　 【解析】设印刷不清的位置的式子为 a,即 2 a + 1 x+2 = 0, 把 x= -1 代入,解得 a = - 2,经检验 a = - 2 是分式方程的 解,当 x= -1 时,4 个选项中只有 x-1 的值为-2,则推断印 刷不清的位置可能是 x-1. 6. C　 【解析】去分母得 2 = x-1-m,解得 x = m+ 3,由方程的 解为负数,得到 m+ 3 < 0,且 m+ 3 ≠ 1,则 m 的取值范 围为 m<-3. 7. -1;-2 8. B　 9. B　 变式 C 10. A　 【解析】设小刚通过 AB 的速度为 x,由题意可得 10 x + 5 1. 3x = 10,解得 x = 18 13 ,经检验 x = 18 13 是分式方程的解,且 符合题意,故小刚通过 AB 的速度为 18 13 米 /秒. 11. D　 【解析】当 x<-x,即 x<0 时,方程变形为-x = 2x+1 x ,解 得 x1 = x2 = -1,经检验 x = -1 是分式方程的解;当 x>-x, 即 x>0 时,方程变形为 x = 2x+1 x ,解得 x3 = 1+ 2 ,x4 = 1- 2 (舍去),经检验 x= 1+ 2 是分式方程的解,综上,所求 方程的解为 1+ 2或-1. 12. (1)1;-2;(2)1 或-2;(3)m<1 且 m≠-2 13.解:(1)设乙商品的进价为 x 元 /件,则甲商品的进价为 (1+50%)x 元 /件, 根据题意,得 7 200 (1+50%)x -3 200 x = 40, 解得 x= 40, 经检验,x= 40 是原分式方程的解,且符合题意; 答:乙商品的进价是 40 元 /件; (2)甲商品的进价为: (1+50%) ×40 = 60(元 /件), 甲商品的进货数量为: 7 200 60 = 120(件), 乙商品的进货数量为: 3 200 40 = 80(件) . 答:甲商品的进价是 60 元 /件,甲、乙商品的进货数量分 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5