2.3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 一元二次方程及其解法(必考) 考向 1　 一元二次方程的解法 1. 若 xm 2-2 +x-3 = 0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的值是 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 B. -2 C. 0 D. 2 或-2 2. [2024 石家庄一模]若 x = 2± 4-4×3×( -1) 2×3 是一 元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根,则 a+b+c= (　 D　 ) A. -2 B. 4 C. 2 D. 0 3. 珍珍将方程 x2 -4x-2 = 0 化为( x+p) 2 = q 的形 式时,得到 p 的值为 2,q 的值为 6,则珍珍所得 结果 (　 B　 ) A. 正确 B. 不正确,p 的值应为-2 C. 不正确,q 的值应为 2 D. 不正确,q 的值应为 4 4. [2024 河北 9 题 2 分]淇淇在计算正数 a 的平方 时,误算成 a 与 2 的积,求得的答案比正确答 案小 1,则 a= (　 C　 ) A. 1 B. 2 -1 C. 2 +1 D. 1 或 2 +1 5. [2024 石家庄 18 县摸底]下面是杨老师讲解一元 二次方程的解法时在黑板上的板书过程,请认 真阅读并完成任务. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋2x2 -3x-5 = 0 解:x2 - 3 2 x= 5 2 第一步……………………… x2 - 3 2 x+( 3 4 ) 2 = 5 2 +( 3 4 ) 2 第二步…………… (x- 3 4 ) 2 = 49 16 第三步………………………… x- 3 4 = ± 7 4 第四步…………………………… x1 = 5 2 ,x2 = -1 第五步……………………… (1)任务一:①杨老师解方程的方法是 　 B　 . A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 ②第二步变形的依据是　 等式的基本性质 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)任务二:请你按要求解下列方程: ①x2 +2x-3 = 0;(公式法) ②3(x-2) 2 = x2 -4. (因式分解法) 解:(1)①B;②等式的基本性质; (2)①x2+2x-3=0, a=1,b=2,c=-3, Δ=22-4×1×(-3)= 16>0, x= -b± b2-4ac 2a =-2±4 2×1 =-1±2, 所以 x1 =1,x2 =-3; ②3(x-2) 2 =x2-4, 3(x-2) 2-(x+2)(x-2)= 0, (x-2)(3x-6-x-2)= 0, x-2=0 或 3x-6-x-2=0, 所以 x1 =2,x2 =4. 考向 2　 一元二次方程解的应用 6. [2024 张家口一模改编]已知关于 x 的一元二次 方程 x2 + 5x -m = 0 的一个根是 2,则 m 的值 是 　 14　 . 变式 6-1 [2024 凉山州]若关于 x 的一元二次方 程(a+2) x2 +x+a2 -4 = 0 的一个根是 x = 0,则 a 的值为 (　 A　 ) A. 2　 　 B. -2　 　 C. 2 或-2　 D. 1 2 变式 6-2 [2024 南充]已知m是方程 x2 +4x-1= 0 的一个根,则(m+5)(m-1)的值为　 -4　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 分层作业本·河北数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 考向 3　 一元二次方程根的判别式 7. [名师原创]已知 k 为实数,四个人对关于 x 的 方程 kx2 -(k+2)x+ 1 4 k= 0 进行了讨论: 甲:这一定是关于 x 的一元二次方程. 乙:这有可能是关于 x 的一元一次方程. 丙:当 k≥-1 时,该方程有实数根. 丁:只有当 k≥ - 1 且 k≠ 0 时,该方程有实 数根. 下列判断正确的是 (　 C　 ) A. 甲和丙说得对 B. 甲和丁说得对 C. 乙和丙说得对 D. 乙和丁说得对 8. [2016 河北 14 题 2 分]a,b,c 为常数,且(a-c) 2 > a2 +c2,则关于 x 的方程 ax2 +bx+c = 0 根的情况 是 (　 B　 ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为 0 9. [名师原创]小明在解一元二次方程 x2 -2x+■ = 0 时,发现常数项被污染. (1)小明猜这个常数项为 0,请按照小明的猜 想解一元二次方程; (2)老师告诉小明这个方程有两个实数根,求 被污染的常数项的最大值. 解:(1)依题意得,x2-2x=0, 因式分解得 x(x-2)= 0, 解得 x1 =0,x2 =2; (2)设这个常数项为 c,依题意得, Δ=(-2) 2-4c≥0,解得 c≤1, ∴被污染的常数项的最大值为 1. 考向 4　 一元二次方程根与系数的关系 10. [2024 邯郸模拟]若 a,b 是方程 x2 -2 023x+2 = 0 的两个实数根,则 ab(a+b)的值为 (　 C　 ) A. -4 046 B. -2 023 C. 4 046 D. 2 023 11. [2024 眉山]已知方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别 为 x1,x2,则 1 x1 + 1 x2 的值为 　 　 　 　 . 12. 欧几里得的《几何原本》记载,形如 x2 +bx = a2 的方程的图解法是:画 Rt△ABC,使∠ACB = 90°,BC=a,AC= b 2 ,再在斜边 AB 上截取 AD= b 2 ,则该方程的一个正根是 (　 D　 ) 第 12 题图 A. AC 的长 B. AD 的长 C. BC 的长 D. BD 的长 13. [2019 河北 15 题 2 分]小刚在解关于 x 的方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)时,只抄对了 a = 1,b = 4, 解出其中一个根是 x = - 1. 他核对时发现所 抄的 c 比原方程的 c 值小 2,则原方程的根的 情况是 (　 A　 ) A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 x= -1 D. 有两个相等的实数根 14. 已知关于 x 的方程(x-1)(x+2)= p,则下列分 析正确的是 (　 B　 ) A. 当 p= 0 时,方程有两个相等的实数根 B. 当 p>0 时,方程有两个不相等的实数根 C. 当 p<0 时,方程没有实数根 D. 方程的根的情况与 p 的值无关 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 = 1 2 . 变式 8-2 A　 变式 8-3 D 9. 1(答案不唯一,1 或 3 均可)　 【解析】关于 x 的方程 mx+x = 4 的解是 x= 4 m+1 ,由于这个方程的解是整数,即 4 m+1 是 整数,所以 m+1 = ±1 或 m+1 = ±2 或 m+1 = ±4,即 m = 0 或 m= -2 或 m= 1 或 m= -3 或 m= 3 或 m= -5,所以满足条件 的正整数 m 可以为 1 或 3. 10. ( -3,0) 11.解:(1)∵ 方程组 x-y= p, 2x+y= 0{ 的解为 x= 1, y=a,{ ∴ 2×1+a= 0, ∴ a= -2, ∵ 0 = (a-3) +(a2 +□a-1), ∴ ( -2-3) +[( -2) 2 +( -2)□-1] = 0, ∴ □ = -1, ∴ 小明将系数□看成了-1; (2)∵ A= (a-3) +(a2 +□a-1)= 6, ∴ ( -2-3) +[( -2) 2 +( -2)□-1] = 6, ∴ □ = -4, ∴ A = (a-3) +(a2 -4a-1) =a-3+a2 -4a-1 =a2 -3a-4. 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. A　 2. C 3. A　 【解析】设小亮今年的年龄为 x 岁,则 42-x+ 5 = 3( x+ 5),解得 x= 8,即小亮今年的年龄为 8 岁. 4. B　 【解析】在已有一个纸杯的基础上,设每增加一个纸 杯,高度增加 x cm,根据题意,得 11+ 5x = 13. 5,解得 x = 0. 5,∴ 10 个纸杯叠放在一起的高度为 11 + 9 × 0. 5 = 15. 5(cm) . 5. A　 【解析】由题图可知,V甲 = 9×9x = 81x,V乙 = 6×6(x+5)= 36(x+5),∵ 两个长方体容器中液体体积相同,∴ 81x = 36 (x+5),解得 x= 4,∴ V甲 = V乙 = 81x = 81×4 = 324;乙容器中 液面的高度为 324÷36 = 9. 综上所述,B、C、D 均错误. 6. B 7.解:(1)设掷中 A 区一次得 x 分,掷中 B 区一次得 y 分, 依题意有 3x+5y= 65, 5x+3y= 71,{ 解得 x= 10, y= 7.{ 故掷中 A 区一次得 10 分,掷中 B 区一次得 7 分; (2)2×10+6×7 = 62(分) . 答:小明得了 62 分. 8. (1)4;(2)(m+2a),1　 【解析】(1)依题意有 a+8 = 2(10- a),解得 a= 4;(2)解法 1:依题意有 2m+a-(m-a) = (m+ 2a)个,y=a-(a-x)= a-a+x= x,∴ y x = x x = 1. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋解法 2:嘉嘉从甲盒拿出 a(1<a<m)个黑子放入乙盒中, 又从乙盒拿回 a 个棋子放到甲盒,∴ 甲、乙两盒中的棋子 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋个数与起始状态没有变化,由此可知甲盒中的 x(0<x<a) 个白子是用乙盒中的 y 个黑子交换得到的,故 x = y,则 y x = 1. 9.解:(1)设可以制作竖式纸盒 x 个,横式纸盒 y 个, 依题意,得 4x+3y= 40, x+2y= 20,{ 解得 x= 4, y= 8,{ ∴ 共可制作这样的纸盒 4+8 = 12(个); (2)设竖式纸盒做了 b 个,且正方形纸板共用了 30 张, ∴ 横式纸盒做了 30-b 2 个, ∴ a= 4b+3× 30-b 2 = 5 2 b+45, ∴ b= 2 5 a-18, ∵ 2 5 >0, ∴ b 随 a 的增大而增大, ∴ 当 a= 50 时,b 取得最大值,最大值为 2 5 ×50-18 = 2, ∴ 竖式纸盒最多能做 2 个. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. D 2. D　 【解析】由题意,得 a= 3,b= -2,c= -1,∴ a+b+c= 3-2- 1 = 0. 3. B　 【解析】x2 -4x= 2,x2 -4x+4 = 2+4,(x-2) 2 = 6,∴ p= -2, q= 6. 4. C　 【解析】根据题意得,a2 -2a = 1,解得 a = 1± 2 ,∵ a>0, ∴ a= 2 +1. 5.解:(1)①B;②等式的基本性质; (2)①x2 +2x-3 = 0, a= 1,b= 2,c= -3, Δ= 22 -4×1×( -3)= 16>0, x= -b± b2 -4ac 2a = -2±4 2×1 = -1±2, 所以 x1 = 1,x2 = -3; ②3(x-2) 2 = x2 -4, 3(x-2) 2 -(x+2)(x-2)= 0, (x-2)(3x-6-x-2)= 0, (x-2)(2x-8)= 0, x-2 = 0 或 2x-8 = 0, 所以 x1 = 2,x2 = 4. 6. 14 变式 6-1 A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+2)x2 + x+a2 -4=0 的一个根是 x= 0,∴ a2 -4 = 0 且 a+2≠0,解得 a = 2. 变式 6-2 -4　 【解析】把 x=m 代入 x2 +4x-1 = 0,得 m2 + 4m= 1,∴ (m+ 5) (m- 1) = m2 -m+ 5m- 5 = m2 + 4m- 5 = 1- 5 = -4. 7. C　 8. B 9.解:(1)依题意得,x2 -2x= 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 因式分解得 x(x-2)= 0, 解得 x1 = 0,x2 = 2; (2)设这个常数项为 c,依题意得, Δ= ( -2) 2 -4c≥0,解得 c≤1, ∴ 被污染的常数项的最大值为 1. 10. C　 【解析】∵ a,b 是方程 x2 - 2 023x+ 2 = 0 的两个实数 根,∴ a+b= - -2 023 1 = 2 023,ab = 2 1 = 2,∴ ab(a+b) = 2× 2 023 = 4 046. 11. 1 2 　 【解析】 ∵ 方程 x2 + x- 2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 , ∴ x1 +x2 = -1,x1x2 = -2,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -1 -2 = 1 2 . 12. D　 13. A　 14. B 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. A　 2. D　 3. D　 4. B 5. 6　 【解析】由题意得 1+n+n·n = 43,整理得 n2 +n-42 = 0, (n+7)(n-6)= 0,解得 n1 = -7(不符合题意,舍去),n2 = 6, ∴ n 的值为 6. 6. x2 +22 = (x+0. 5) 2 7. B 8.解:(1)设矩形 ABCD 的边 AB = x m,则边 BC = 70-2x+2 = (72-2x)m. 根据题意,得 x(72-2x)= 640, 化简,得 x2 -36x+320 = 0, 解得 x1 = 16,x2 = 20, 当 x= 16 时,72-2x= 72-32 = 40(m), 当 x= 20 时,72-2x= 72-40 = 32(m) . 答:当羊圈的长为 40 m,宽为 16 m 或长为 32 m,宽为 20 m 时,面积为 640 m2 ; (2)不能, 理由:由题意,得 x(72-2x)= 650, 化简,得 x2 -36x+325 = 0, Δ= ( -36) 2 -4×325 = -4<0, ∴ 一元二次方程没有实数根, ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2 . 9.解:(1)a+1;a+7;a+8; (2)552; (3)嘉嘉的说法正确,理由如下: 根据题意得(a+1)(a+7)= 135, 整理得 a2 +8a-128 = 0, 解得 a1 = 8,a2 = -16(不符合题意,舍去), ∵ 10 月 8 日为周二,圈出的四个数在日历表中存在,符合 题意, ∴ 嘉嘉的说法正确; 淇淇的说法正确,理由如下: 根据题意得 a(a+8)= 84, 整理得 a2 +8a-84 = 0, 解得 a1 = 6,a2 = -14(不符合题意,舍去), ∵ 10 月 6 日为周日,圈出的四个数在日历表中存在,符合 题意, ∴ 淇淇的说法正确. 命题点 5　 分式方程的解法及应用 1. D　 2. D 变式 C　 【解析】由题得 x x-1 = m 1-x ,解得 x = -m. ∵ x≠1, ∴ -m≠1,则 m≠-1. 3. D 4.解:(1)①; (2)3- x 2x-1 = - 2 1-2x , 去分母: 3(2x-1) -x= 2, 去括号:6x-3-x= 2, 移项,合并同类项:5x= 5, 系数化为 1:x= 1, 经检验,x= 1 是原分式方程的根. 5. A　 【解析】设印刷不清的位置的式子为 a,即 2 a + 1 x+2 = 0, 把 x= -1 代入,解得 a = - 2,经检验 a = - 2 是分式方程的 解,当 x= -1 时,4 个选项中只有 x-1 的值为-2,则推断印 刷不清的位置可能是 x-1. 6. C　 【解析】去分母得 2 = x-1-m,解得 x = m+ 3,由方程的 解为负数,得到 m+ 3 < 0,且 m+ 3 ≠ 1,则 m 的取值范 围为 m<-3. 7. -1;-2 8. B　 9. B　 变式 C 10. A　 【解析】设小刚通过 AB 的速度为 x,由题意可得 10 x + 5 1. 3x = 10,解得 x = 18 13 ,经检验 x = 18 13 是分式方程的解,且 符合题意,故小刚通过 AB 的速度为 18 13 米 /秒. 11. D　 【解析】当 x<-x,即 x<0 时,方程变形为-x = 2x+1 x ,解 得 x1 = x2 = -1,经检验 x = -1 是分式方程的解;当 x>-x, 即 x>0 时,方程变形为 x = 2x+1 x ,解得 x3 = 1+ 2 ,x4 = 1- 2 (舍去),经检验 x= 1+ 2 是分式方程的解,综上,所求 方程的解为 1+ 2或-1. 12. (1)1;-2;(2)1 或-2;(3)m<1 且 m≠-2 13.解:(1)设乙商品的进价为 x 元 /件,则甲商品的进价为 (1+50%)x 元 /件, 根据题意,得 7 200 (1+50%)x -3 200 x = 40, 解得 x= 40, 经检验,x= 40 是原分式方程的解,且符合题意; 答:乙商品的进价是 40 元 /件; (2)甲商品的进价为: (1+50%) ×40 = 60(元 /件), 甲商品的进货数量为: 7 200 60 = 120(件), 乙商品的进货数量为: 3 200 40 = 80(件) . 答:甲商品的进价是 60 元 /件,甲、乙商品的进货数量分 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5