2.1一次方程(组)及其解法-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第二章　 方程(组)与不等式(组) 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 1　 一次方程(组)及其解法(必考) 考向 1　 等式的性质 1. [2024 唐山滦南模拟]下列运用等式的性质变形 正确的是 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 若 x= y,则 x+5 = y-5 B. 若 a2 = b2,则 a= b C. 若 a c = b c ,则 a= b D. 若 ax=ay,则 x= y 2. [2018 河北 7 题 3 分·新北师七上 P146 第 6 题改 编]有三种不同质量的物体“ ” “ ” “ ”,其中, 同一种物体的质量都相等,现左右手中同样的 盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右 质量不 ∙ 相等,则该组是 (　 A　 ) 考向 2　 一次方程(组)的解法 3. [2024 沧州校级模拟]下面是解一元一次方程 2(x+3)= 5x 的步骤: 2(x+3)= 5x ↓① 2x+6 = 5x ↓② 2x-5x= -6 ↓③ -3x= -6 ↓④ x= 2 下列说法错误的是 (　 C　 ) A. ①步的依据是乘法分配律 B. ②步的依据是等式的性质 1 C. ③步的依据是加法结合律 D. ④步的依据是等式的性质 2 4. [2024 唐山路南区二模]若代数式 2m 与 3-m 的 值相同,则 m 等于 (　 C　 ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. [2015 河北 11 题 2 分]利用加减消元法解方程组 2x+5y= -10①, 5x-3y= 6②,{ 下列做法正确的是 (　 D　 ) A. 要消去 y,可以将①×5+②×2 B. 要消去 x,可以将①×3+②×( -5) C. 要消去 y,可以将①×5+②×3 D. 要消去 x,可以将①×( -5) +②×2 变式 用代入法解方程组 y= 2x-3①, 3x+2y= 8②{ 时,将方 程①代入②中,所得的方程正确的是 (　 B　 ) A. 3x+4x-3 = 8 B. 3x+4x-6 = 8 C. 3x-2x-3 = 8 D. 3x+2x-6 = 8 6. 关于 x 的代数式 ax+b,当 x 分别取值-1,0,1,2 时,对应的代数式的值如下表: x -1 0 1 2 ax+b 3 1 -1 -3 若 ax+b= 5,则 x 的值是 (　 A　 ) A. -2 B. 3 C. -4 D. 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 分层作业本·河北数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 7. [名师原创]在解方程 2x+1 3 -x+2 6 = 1 时,恬恬同 学的解答过程如下: (1)恬恬的解答过程从第　 ③　 步开始出现错 误,错误的原因是　 去括号没变号　 ; (2)解方程:2x +1 3 = x+2 4 -1. 解:(1)③,去括号没变号; (2)去分母,得 4(2x+1)= 3(x+2)-12, 去括号,得 8x+4=3x+6-12, 移项、合并同类项,得 5x=-10, 系数化为 1,解得 x=-2. 考向 3　 一次方程(组)解的应用 8. [2024 石家庄桥西区校级三模]若 x = 1 是方程 x+ a= 0 的解,则 a 的值为 (　 B　 ) A. 1 B. -1 C. 0 D. -2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 全角度考法探究 变式 8-1 下面是一个被墨水污染过的 方程:2x- 1 2 = 3x+ ,答案显示此方 程的解是 x = - 1,被墨水遮盖的是一个 常数,则这个常数是 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 B. -1 C. - 1 2 D. 1 2 变式 8-2 小颖同学在解关于 x 的一元 一次方程 7a+x= 18 时,误将+x 看作-x, 得方程的解为 x= - 4,那么原方程的解 为 (　 A　 ) A. x= 4 B. x= 2 C. x= 0 D. x= -2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　变式 8-3 [ 2023 石 家 庄 期 中 ] 方 程 组 2x+y= ■, x+y= 3{ 的解为 x= 2, y= ▲,{ 则被遮盖的前后两 个数分别为 (　 D　 ) A. 1,2 B. 1,5 C. 2,4 D. 5,1 9. [开放性试题·2024 保定莲池区一模]若关于 x 的 方程 mx+x= 4 的解是整数,写出一个满足条件 的正整数 m 的值:　 1(答案不唯一) 　 . 10. 已 知 点 P 的 坐 标 ( x, y ) 满 足 方 程 组 x+y= 2a-b-4, x-y= b-4.{ 若 a 和 b 的值都为 1,则点 P 的坐标是　 (-3,0) 　 . 11. [2024 邢台模拟]对于题目:“若方程组 x-y=p, 2x+y=0{ 的 解为 x= 1, y=a,{ 且整式 A = (a-3) +(a 2 +□a-1), 求整式 A 的值. ” 小明化简求值时,将系数□看错了,他求的 A 的值为 0; 小宇求的结果与题的正确答案一样,A 的值 为 6. (1)小明将系数□看成了多少? (2)化简整式 A. 解:(1)∵方程组 x-y=p, 2x+y=0{ 的解为 x=1, y=a,{ ∴2×1+a=0,∴ a=-2, ∵0=(a-3)+(a2+□a-1), ∴ (-2-3)+[(-2) 2+(-2)□-1] =0, ∴□=-1,∴小明将系数□看成了-1; (2)∵A=(a-3)+(a2+□a-1)= 6, ∴ (-2-3)+[(-2) 2+□a-1] =6, ∴□=-4, ∴A =(a-3)+(a2-4a-1) =a-3+a2-4a-1 =a2-3a-4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 11. 7　 【解析】如解图,分别延长图形的两边使之相交. 则 “L”形图形的面积为 a2 -b2 = (a+b) (a-b) = 7,将 a-b = 1 代入(a+b)(a-b)= 7,得 a+b= 7. 第 11 题解图 12. (1)a2 +b2 ;(2)4;(3)3 13.解:(1) 1 2 a2 , 1 2 b2 ,ab;(2) >;【解法提示】(2) ∵ a≠b,∴ (a-b) 2 >0,即 a2 -2ab+b2 >0,∴ a2 +b2 >2ab,∴ a2 +b2 2 >ab. (3)选择甲的方法,当 a= b 时, a2 +b2 2 =a2 ,ab=a·a=a2 , ∴ 当 a= b 时, a2 +b2 2 =ab. 选择乙的方法,由解图可知当 a= b 时, a2 +b2 2 =ab. 第 13 题解图 14.解:(1)S1 = b(b-a)= b2 -ab, S2 = b2 -a·2a= b2 -2a2 ; (2)S1 -S2 = b2 -ab-(b2 -2a2 )= b2 -ab-b2 +2a2 = -ab+2a2 = a(2a-b), 当 2a-b>0 时,2a>b,S1 >S2 , 当 2a-b= 0 时,2a= b,S1 =S2 , 当 2a-b<0 时,2a<b,S1 <S2 ; (3)能;左上角阴影部分的面积= (BC-b)·2a, 右下角阴影部分的面积= (BC-a)·b, S= (BC-a)·b-(BC-b)·2a, 化简后,S=BC(b-2a) +ab, ∵ 当 BC 的长度变化时,S 始终保持不变, ∴ b-2a= 0,∴ b= 2a. 命题点 8　 分式及其运算 1. B　 变式 　 D　 2. B　 3. B　 4. C　 5. D　 6. A 7. A　 【解析】 ∵ A xy+y2 - y x2 +xy = x -y xy ,∴ A xy+y2 = x -y xy + y x2 +xy , ∴ A y(x+y) = x -y xy + y x(x+y) ,∴ Ax = ( x-y) ( x+y) +y2 ,∴ Ax = x2 ,∴ A= x. 8. A　 9. C 10. B　 【解析】(x+ 2x x-1 ) ÷ x2 +2x+1 x-1 = x 2 -x+2x x-1 ÷(x +1) 2 x-1 = x2 +x x-1 · x-1 (x+1) 2 = x(x +1) x-1 · x-1 (x+1) 2 = x x+1 ,∵ x 为正整数, ∴ x≥1,∴ x+x≥x+1,即 2x≥x+1,∴ 1 2 ≤ x x+1 <1,∴ 表示 (x+ 2x x-1 ) ÷ x2 +2x+1 x-1 的值的点落在如图所示的区域②. 11.解:(1) a2 a-1 -a+1 = a2 a-1 -(a -1) 2 a-1 , 故小明计算错误; a2 a-1 -a 2 -1 a-1 = a 2 -a2 +1 a-1 = 1 a-1 , 故小红计算错误; 则这个“接力游戏”中计算错误的同学有:小明,小红; (2)正确的解答过程如下: a2 a-1 -a+1 = a 2 a-1 -(a-1) = a 2 a-1 -(a -1) 2 a-1 = a 2 -a2 +2a-1 a-1 = 2a -1 a-1 . 12.解:(1)A 区显示的结果为 4-m2 -m2 = 4-2m2 ; B 区显示的结果为-8+2m+2m= -8+4m, 根据 A 区、B 区的代数式的值相等可得 4-2m2 = -8+4m, 整理得 m2 +2m-6 = 0, 解得 m1 = -1+ 7 ,m2 = -1- 7 , 即 m 的值为-1+ 7或者-1- 7 ; (2)从初始状态按 4 次后, A 区显示的结果为 4-m2 -m2 -m2 -m2 = 4-4m2 ; B 区显示的结果为-8+2m+2m+2m+2m= -8+8m, 根据题意有分式 4-4m2 -8+8m = 4(1 -m2 ) -8(1-m) = 4(1 +m)(1-m) -8(1-m) = -1 +m 2 , 化简结果为- 1+m 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. C　 2. A　 3. C　 4. C　 5. D　 变式 B　 6. A 7.解:(1)③,去括号没变号; (2)去分母,得 4(2x+1)= 3(x+2) -12, 去括号,得 8x+4 = 3x+6-12, 移项、合并同类项,得 5x= -10, 系数化为 1,得 x= -2. 8. B　 变式 8-1 　 D　 【解析】 ∵ x = - 1 是方程的解,∴ 2 × ( -1) - 1 2 = 3×( - 1) + ,- 2- 1 2 = - 3+ ,解得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 = 1 2 . 变式 8-2 A　 变式 8-3 D 9. 1(答案不唯一,1 或 3 均可)　 【解析】关于 x 的方程 mx+x = 4 的解是 x= 4 m+1 ,由于这个方程的解是整数,即 4 m+1 是 整数,所以 m+1 = ±1 或 m+1 = ±2 或 m+1 = ±4,即 m = 0 或 m= -2 或 m= 1 或 m= -3 或 m= 3 或 m= -5,所以满足条件 的正整数 m 可以为 1 或 3. 10. ( -3,0) 11.解:(1)∵ 方程组 x-y= p, 2x+y= 0{ 的解为 x= 1, y=a,{ ∴ 2×1+a= 0, ∴ a= -2, ∵ 0 = (a-3) +(a2 +□a-1), ∴ ( -2-3) +[( -2) 2 +( -2)□-1] = 0, ∴ □ = -1, ∴ 小明将系数□看成了-1; (2)∵ A= (a-3) +(a2 +□a-1)= 6, ∴ ( -2-3) +[( -2) 2 +( -2)□-1] = 6, ∴ □ = -4, ∴ A = (a-3) +(a2 -4a-1) =a-3+a2 -4a-1 =a2 -3a-4. 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. A　 2. C 3. A　 【解析】设小亮今年的年龄为 x 岁,则 42-x+ 5 = 3( x+ 5),解得 x= 8,即小亮今年的年龄为 8 岁. 4. B　 【解析】在已有一个纸杯的基础上,设每增加一个纸 杯,高度增加 x cm,根据题意,得 11+ 5x = 13. 5,解得 x = 0. 5,∴ 10 个纸杯叠放在一起的高度为 11 + 9 × 0. 5 = 15. 5(cm) . 5. A　 【解析】由题图可知,V甲 = 9×9x = 81x,V乙 = 6×6(x+5)= 36(x+5),∵ 两个长方体容器中液体体积相同,∴ 81x = 36 (x+5),解得 x= 4,∴ V甲 = V乙 = 81x = 81×4 = 324;乙容器中 液面的高度为 324÷36 = 9. 综上所述,B、C、D 均错误. 6. B 7.解:(1)设掷中 A 区一次得 x 分,掷中 B 区一次得 y 分, 依题意有 3x+5y= 65, 5x+3y= 71,{ 解得 x= 10, y= 7.{ 故掷中 A 区一次得 10 分,掷中 B 区一次得 7 分; (2)2×10+6×7 = 62(分) . 答:小明得了 62 分. 8. (1)4;(2)(m+2a),1　 【解析】(1)依题意有 a+8 = 2(10- a),解得 a= 4;(2)解法 1:依题意有 2m+a-(m-a) = (m+ 2a)个,y=a-(a-x)= a-a+x= x,∴ y x = x x = 1. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋解法 2:嘉嘉从甲盒拿出 a(1<a<m)个黑子放入乙盒中, 又从乙盒拿回 a 个棋子放到甲盒,∴ 甲、乙两盒中的棋子 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋个数与起始状态没有变化,由此可知甲盒中的 x(0<x<a) 个白子是用乙盒中的 y 个黑子交换得到的,故 x = y,则 y x = 1. 9.解:(1)设可以制作竖式纸盒 x 个,横式纸盒 y 个, 依题意,得 4x+3y= 40, x+2y= 20,{ 解得 x= 4, y= 8,{ ∴ 共可制作这样的纸盒 4+8 = 12(个); (2)设竖式纸盒做了 b 个,且正方形纸板共用了 30 张, ∴ 横式纸盒做了 30-b 2 个, ∴ a= 4b+3× 30-b 2 = 5 2 b+45, ∴ b= 2 5 a-18, ∵ 2 5 >0, ∴ b 随 a 的增大而增大, ∴ 当 a= 50 时,b 取得最大值,最大值为 2 5 ×50-18 = 2, ∴ 竖式纸盒最多能做 2 个. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. D 2. D　 【解析】由题意,得 a= 3,b= -2,c= -1,∴ a+b+c= 3-2- 1 = 0. 3. B　 【解析】x2 -4x= 2,x2 -4x+4 = 2+4,(x-2) 2 = 6,∴ p= -2, q= 6. 4. C　 【解析】根据题意得,a2 -2a = 1,解得 a = 1± 2 ,∵ a>0, ∴ a= 2 +1. 5.解:(1)①B;②等式的基本性质; (2)①x2 +2x-3 = 0, a= 1,b= 2,c= -3, Δ= 22 -4×1×( -3)= 16>0, x= -b± b2 -4ac 2a = -2±4 2×1 = -1±2, 所以 x1 = 1,x2 = -3; ②3(x-2) 2 = x2 -4, 3(x-2) 2 -(x+2)(x-2)= 0, (x-2)(3x-6-x-2)= 0, (x-2)(2x-8)= 0, x-2 = 0 或 2x-8 = 0, 所以 x1 = 2,x2 = 4. 6. 14 变式 6-1 A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+2)x2 + x+a2 -4=0 的一个根是 x= 0,∴ a2 -4 = 0 且 a+2≠0,解得 a = 2. 变式 6-2 -4　 【解析】把 x=m 代入 x2 +4x-1 = 0,得 m2 + 4m= 1,∴ (m+ 5) (m- 1) = m2 -m+ 5m- 5 = m2 + 4m- 5 = 1- 5 = -4. 7. C　 8. B 9.解:(1)依题意得,x2 -2x= 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4