1.7 整式与因式分解-【一战成名新中考】2025河北中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河北数学 　 第 一 章 数 与 式 命题点 7　 整式与因式分解(必考) 类型 1　 幂运算 1. [河北真题改编组合练] (1)a4 ÷a 得 a?,则“?”是　 　 　 ; (2)等式 x3 x = x4(x≠0)”中,覆盖的运算 符号是 (　 　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. + B. - C. × D. ÷ (3)若 8-3 ×8-4 ×80 = 8p,则 p 的值为 　 　 　 　 ; (4)[2024 河北 8 题改编]若 a,b 是正整数,且满 足 2a+2a+…+2aüþ ýï ï ï ï ï 8 个 2a 相加 = 2 b×2b×…×2büþ ýï ï ï ï ï 8 个 2b 相乘 ,则 a 与 b 的关系是　 　 　 　 　 . 变式 易错 ∙∙ 已知 b4 = b×8,则 b= 　 0 或 2　 . 类型 2　 多运算型 2. [2021 河北 2 题 3 分]不一定相等的一组是 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a+b 与 b+a B. 3a 与 a+a+a C. a3 与 a·a·a D. 3(a+b)与 3a+b 3. [2024 河北 2 题 3 分]下列运算正确的是 (　 C　 ) A. a7 -a3 =a4 B. 3a2·2a2 = 6a2 C. ( -2a) 3 = -8a3 D. a4 ÷a4 =a 4. [2018 河北 20 题节选]嘉淇准备完成题目:化简: ( x2 +6x+8) -(6x+5x2 +2) . 发现系数“ ”印 刷不清楚. 他妈妈说:“我看到该题标准答案的 结果是常数. ”通过计算说明原题中“ ”是几. 解:设“”是 a, 则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2) =ax2+6x+8-6x-5x2-2 =(a-5)x2+6, ∵该题标准答案的结果是常数, ∴ a-5=0,解得 a=5. ∴原题中“”是 5. 类型 3　 因式分解 5. [2020 河北 3 题 3 分]对于①x- 3xy = x(1- 3y), ②(x+3)(x-1)= x2 + 2x- 3,从左到右的变形, 表述正确的是 (　 C　 ) A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解,②是乘法运算 D. ①是乘法运算,②是因式分解 6. 小明做了如下四道因式分解题: ①x2 -y2 = (x-y)(x+y); ②x3 -x= x(x2 -1); ③x2y-xy2 = xy(x-y); ④4x2 +8xy+4y2 = (2x+2y) 2 . 其中因式分解的结果不彻底的是 (　 D　 ) A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ②和④ 7. [2024 九地市二模]将多项式“4m2 -?”因式分解, 结果为(2m+5n)(2m-5n),则“?”是 (　 A　 ) A. 25n2 B. -25n2 C. 25n D. 5n2 8. [唐山路南区二模]对比 4x2 -4x+1 和 8x-4 因式 分解的结果,共同的因式为 (　 C　 ) A. 2x B. 2x+1 C. 2x-1 D. 4(2x-1) 9. [2020 河北 9 题 3 分]若 (92 -1)(112 -1) k = 8×10× 12,则 k= (　 B　 ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 类型 4　 数形结合型整式运算 10. 小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面 积,并据此写出了一个因式分解的等式,此等 式是 (　 B　 ) 第 10 题图 A. a2 +2ab+b2 = (a+b)(a+b) B. a2 +3ab+2b2 = (a+2b)(a+b) C. a2 -b2 = (a+b)(a-b) D. 2a2 +3ab+b2 = (2a+b)(a+b) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 分层作业本·河北数学 　 第 一 章 数 与 式 11. [2024 石家庄校级模拟]如图,“ L” 形图形的面 积为 7,如果 a-b= 1,那么 a+b= 　 7　 . 第 11 题图 　 第 12 题图 12. [2021 河北 17 题 4 分]现有甲、乙、丙三种不同 的矩形纸片(边长如图) . (1)取甲、乙纸片各 1 块,其面积和为　 a2+b2　 ; (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大 正方形,先取甲纸片 1 块,再取乙纸片 4 块,还需取丙纸片　 4　 块; 拓展设问 (3)淇淇要用这三种纸片(三种都要用)紧密 拼 接 成 一 个 大 矩 形, 使 其 面 积 为 a2 +nab+12b2, 则 n 可 能 的 整 数 值 有　 3　 个. 13. [创新考法]用直角边分别为 a 和 b 的两个等 腰直角三角形进行拼图,由图①得到图②. 图①　 　 　 　 图② 第 13 题图 (1)图①中两个三角形的面积分别为　 　 　 　 和　 　 　 　 ,图②中长方形 ABCD 的面积 为　 ab 　 . (用含 a,b 的字母表示) (2)当 a≠b 时,比较大小:a 2 +b2 2 　 > 　 ab;(填 “>”或“<”) (3) 开放性试题 当 a 和 b 满足什么条件时, a2 +b2 2 与 ab 相等? 甲:我可以通过计算进 行说明.乙:我可以通过画图进行说明. 请 你选择其中一人的方法,进行说明. 解:(3)选择甲的方法,当 a = b 时,a 2+b2 2 = a2,ab = a ·a=a2, ∴当 a=b 时,a 2+b2 2 =ab. 选择乙的方法,由解图可知当 a=b 时,a 2+b2 2 =a. 14. [创新考法]如图①是宽为 a,长为 b(a<b)的小 长方形纸片,现有 3 张这样的小长方形纸片, 不重叠地放在可伸缩的长方形 ABCD 内,未 被覆盖的部分用阴影表示. 下列是甲、乙、丙 三人的摆放方式: 甲:如图②,阴影部分的面积记为 S1; 乙:如图③,设右下角与左上角的阴影部分的 面积的差为 S2; 丙:如图④,设右下角与左上角的阴影部分的 面积的差为 S; (1)用含有 a,b 的代数式分别表示 S1,S2; (2)请比较 S1 与 S2 的大小关系,并说明理由; (3)当 BC 的长度变化时,S 的值能否始终保 持不变. 若能,求出 a 与 b 之间的数量关 系;若不能,请说明理由. 图① 图② 图③ 图④ 第 14 题图 解:(1)S1 =b(b-a)= b2-ab, S2 =b2-a·2a=b2-2a2; (2)S1-S2 =b2-ab-(b2-2a2)= b2-ab-b2+2a2 =-ab+ 2a2 =a(2a-b), 当 2a-b>0 时,2a>b,S1>S2, 当 2a-b=0 时,2a=b,S1 =S2, 当 2a-b<0 时,2a<b,S1<S2; (3)左上角的阴影部分的面积=(BC-b)·2a, 右下角的阴影部分的面积=(BC-a)·b, S=(BC-b)·2a-(BC-a)·b, 化简后,S=BC(2a-b)-ab, ∵当 BC 的长度变化时,S 始终保持不变, ∴2a-b=0,∴ b=2a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 (3)这个最小数是-20. 【解法提示】∵ 在“1□2□6-9”的 □内填入符号后,使计算所得数最小,∴ 1□2□6 的结果 最小,易知 1□2□6 的最小值是 1-2×6 = -11,∴ 1□2□6-9 的最小值是-11-9 = -20,∴ 这个最小数是 20. (4)(1 3 4 + 7 8 - 7 12 ) ÷( - 7 8 ) = ( 7 4 + 7 8 - 7 12 ) ×( - 8 7 ) = 7 4 ×( - 8 7 ) + 7 8 ×( - 8 7 ) - 7 12 ×( - 8 7 ) = -2-1+ 2 3 = -2 1 3 . 命题点 6　 代数式与规律探索(含代数推理) 1. C　 变式 1-1 D　 变式 1-2 (1)6+a;(2)2a+8;(3)4a; (4)2a+ 4;(5) 2a+ 8　 【解析】 (5) ∵ 原正方形的周长为 2a,∴ 原正方形的边长为 a 2 ,∵ 将它按题图的方式向外等 距扩 1,∴ 新正方形的边长为( a 2 +2),则新正方形的周长 为 4( a 2 +2)= 2a+8. 2. C　 变式 2-1 7　 【解析】 ∵ x2 - 2x- 3 = 0,∴ x2 - 2x = 3, ∴ 2x2 -4x+1 = 2(x2 -2x) +1 = 2×3+1 = 7. 　 变式 2-2 1 3. 5 2 ;-2　 4. B 5. (1) 3x;( 2) 1　 拓展设问 ( 1) 33;( 2) 5;( 3) 0　 【解析】 (1)由题意得 3x=m,2x+3 = n,且 y =m+n = 58,∴ 3x+(2x+ 3)= 5x+3 = 58,解得 x = 11,∴ m = 3x = 33;(2) ∵ y = 5x+3, ∴ 当 x 的值每增加 1 时,y 的值就增加 5;(3)5x+3>-2,解 得 x>-1,即 x 的最小整数值为 0; (4)解:由题可知,当 x=a 时,y=A=m+n= 3x+2x+3 = 5x+3 = 5a+3; 当 x=a+2 时,y=B= 5x+3 = 5(a+2) +3 = 5a+13, 则 B-A= 5a+13-(5a+3)= 10. 6. D　 7. B 变式 　 D　 【解析】由题意知 M+N= 10(a+1) +a+10a+a+ 1 = 10a+10+a+10a+a+1 = 22a+11 = 11(2a+1),∴ M+N 的 值总能被 11 整除. 8. D　 【解析】设一个三位数与一个两位数分别为 100x + 10y+z 和 10m+n,如解图①,则由题意得 mz = 20,nz = 5, ny= 2,nx= a,∴ mz nz = 4,即 m = 4n,∴ 当 n = 2,y = 1 时,z = 2. 5 不是正整数,不符合题意,故舍去;当 n = 1,y = 2 时,则 m= 4,z= 5,x=a,如解图②. ∴ A. “20”左边的数是 2×4 = 8, 故本选项不符合题意;B. “20”右边的“ ■”表示 4,故本选 项不符合题意;∵ a 上面的数应为 4a,如解图②,∴ 运算结 果可以表示为 1 000(4a+1) +100a+25 = 4 100a+1 025,∴ D 选项符合题意,当 a= 2 时,计算结果大于 6 000,故 C 选 项不符合题意. 图① 　 图② 第 8 题解图 9.解:验证　 1 2 ×10 = 5 = 22 +12 ; 探究　 (m+n) 2 + (m- n) 2 = m2 + 2mn+ n2 +m2 - 2mn+ n2 = 2m2 +2n2 = 2(m2 +n2 ) . ∵ m,n 为正整数,∴ m2 +n2 是正整数, ∴ (m+n) 2 +(m-n) 2 一定为偶数, ∴ 该偶数的一半为 1 2 [(m+n) 2 +(m-n) 2 ] =m2 +n2 . 10.解:(1)∵ 53-32 = 21≠24, ∴ 5 324 不是“递减数”; (2)∵ 一个“递减数”为 a312, ∴ 10a+3-31 = 12, ∴ a= 4, ∴ 这个“递减数”为 4 312; (3)满足条件的“递减数的最大值为 8 165. 【解法提示】 ∵ abcd 是“递减数”,∴ 10a+b-10b-c = 10c+d,∵ abc+bcd = 100a+10b+c+ 100b+ 10c+d,∴ abc+bcd = 100a+ 10b+ c+ 100b+10a+b-10b-c = 110a+ 101b,∵ 110a+ 101b = 99(a+ b) +11a+2b 能被 9 整除,∴ 11a+2b 能被 9 整除,∵ 各数 位上的数字互不相等且均不为 0,∴ a= 1, b= 8{ 或 a= 2, b= 7{ 或 a= 3, b= 6{ 或 a= 4, b= 5{ 或 a= 5, b= 4{ 或 a= 6, b= 3{ 或 a= 7, b= 2{ 或 a= 8, b= 1,{ ∴ 当 a= 8,b= 1 时,有最大的“递减数”,∴ 10× 8- 9× 1-c = 10c+d,即:11c+d= 71,∴ c 最大取 6,此时 d = 5,∴ 满足条 件的“递减数”的最大值为 8 165. 命题点 7　 整式与因式分解 1. (1)3;(2)C;(3) - 7;(4) a+ 3 = 8b 　 【解析】根据已知得, 8×2a = 28 b,即 2a +3 = 28 b,∴ a+3 = 8b. 变式 　 0 或 2 2. D　 3. C 4.解:设“ ”是 a, 则原式= (ax2 +6x+8) -(6x+5x2 +2) =ax2 +6x+8-6x-5x2 -2 = (a-5)x2 +6, ∵ 该题标准答案的结果是常数, ∴ a-5 = 0,解得 a= 5. ∴ 原题中“ ”是 5. 5. C　 6. D　 7. A　 8. C　 9. B　 10. B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 一战成名·河北数学 分 层 作 业 本 　 11. 7　 【解析】如解图,分别延长图形的两边使之相交. 则 “L”形图形的面积为 a2 -b2 = (a+b) (a-b) = 7,将 a-b = 1 代入(a+b)(a-b)= 7,得 a+b= 7. 第 11 题解图 12. (1)a2 +b2 ;(2)4;(3)3 13.解:(1) 1 2 a2 , 1 2 b2 ,ab;(2) >;【解法提示】(2) ∵ a≠b,∴ (a-b) 2 >0,即 a2 -2ab+b2 >0,∴ a2 +b2 >2ab,∴ a2 +b2 2 >ab. (3)选择甲的方法,当 a= b 时, a2 +b2 2 =a2 ,ab=a·a=a2 , ∴ 当 a= b 时, a2 +b2 2 =ab. 选择乙的方法,由解图可知当 a= b 时, a2 +b2 2 =ab. 第 13 题解图 14.解:(1)S1 = b(b-a)= b2 -ab, S2 = b2 -a·2a= b2 -2a2 ; (2)S1 -S2 = b2 -ab-(b2 -2a2 )= b2 -ab-b2 +2a2 = -ab+2a2 = a(2a-b), 当 2a-b>0 时,2a>b,S1 >S2 , 当 2a-b= 0 时,2a= b,S1 =S2 , 当 2a-b<0 时,2a<b,S1 <S2 ; (3)能;左上角阴影部分的面积= (BC-b)·2a, 右下角阴影部分的面积= (BC-a)·b, S= (BC-a)·b-(BC-b)·2a, 化简后,S=BC(b-2a) +ab, ∵ 当 BC 的长度变化时,S 始终保持不变, ∴ b-2a= 0,∴ b= 2a. 命题点 8　 分式及其运算 1. B　 变式 　 D　 2. B　 3. B　 4. C　 5. D　 6. A 7. A　 【解析】 ∵ A xy+y2 - y x2 +xy = x -y xy ,∴ A xy+y2 = x -y xy + y x2 +xy , ∴ A y(x+y) = x -y xy + y x(x+y) ,∴ Ax = ( x-y) ( x+y) +y2 ,∴ Ax = x2 ,∴ A= x. 8. A　 9. C 10. B　 【解析】(x+ 2x x-1 ) ÷ x2 +2x+1 x-1 = x 2 -x+2x x-1 ÷(x +1) 2 x-1 = x2 +x x-1 · x-1 (x+1) 2 = x(x +1) x-1 · x-1 (x+1) 2 = x x+1 ,∵ x 为正整数, ∴ x≥1,∴ x+x≥x+1,即 2x≥x+1,∴ 1 2 ≤ x x+1 <1,∴ 表示 (x+ 2x x-1 ) ÷ x2 +2x+1 x-1 的值的点落在如图所示的区域②. 11.解:(1) a2 a-1 -a+1 = a2 a-1 -(a -1) 2 a-1 , 故小明计算错误; a2 a-1 -a 2 -1 a-1 = a 2 -a2 +1 a-1 = 1 a-1 , 故小红计算错误; 则这个“接力游戏”中计算错误的同学有:小明,小红; (2)正确的解答过程如下: a2 a-1 -a+1 = a 2 a-1 -(a-1) = a 2 a-1 -(a -1) 2 a-1 = a 2 -a2 +2a-1 a-1 = 2a -1 a-1 . 12.解:(1)A 区显示的结果为 4-m2 -m2 = 4-2m2 ; B 区显示的结果为-8+2m+2m= -8+4m, 根据 A 区、B 区的代数式的值相等可得 4-2m2 = -8+4m, 整理得 m2 +2m-6 = 0, 解得 m1 = -1+ 7 ,m2 = -1- 7 , 即 m 的值为-1+ 7或者-1- 7 ; (2)从初始状态按 4 次后, A 区显示的结果为 4-m2 -m2 -m2 -m2 = 4-4m2 ; B 区显示的结果为-8+2m+2m+2m+2m= -8+8m, 根据题意有分式 4-4m2 -8+8m = 4(1 -m2 ) -8(1-m) = 4(1 +m)(1-m) -8(1-m) = -1 +m 2 , 化简结果为- 1+m 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. C　 2. A　 3. C　 4. C　 5. D　 变式 B　 6. A 7.解:(1)③,去括号没变号; (2)去分母,得 4(2x+1)= 3(x+2) -12, 去括号,得 8x+4 = 3x+6-12, 移项、合并同类项,得 5x= -10, 系数化为 1,得 x= -2. 8. B　 变式 8-1 　 D　 【解析】 ∵ x = - 1 是方程的解,∴ 2 × ( -1) - 1 2 = 3×( - 1) + ,- 2- 1 2 = - 3+ ,解得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3