精品解析：广东省广州英豪学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期9月考试 广州英豪学校高二年级数学试题问卷 命题人：杨 兰 审题人：彭 豪、宁英林 注意事项：满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋，如果从中随机地取出只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 至少有一个白球；红､黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 5. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 6. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 8. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知事件A，B，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果A与B互斥，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A、B与C两两互斥，那么 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B. 若与共面，则存在实数x，y，使； C. 若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D. 若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 11. 已知空间三点，设.则下列结论正确的是（     ） A. 若，且，则 B. 和的夹角的余弦值 C. 若与互相垂直，则的值为2； D. 若与轴垂直，则，应满足 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 在空间直角坐标系中， ,则=____ 13. 天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281 9522 0018 7472 0129 3879 5869 2436 8460 3990 9533 7980 2692 8280 0753 8425 8935 3882 7890 5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为______. 14. 如图，在大小为45°的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________ 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求线段的长． （2）求与所成角的余弦值． 16. 如图，正三棱柱中，底面边长为. （1）设侧棱长为，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长． 17. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的. (Ⅰ）求乙答对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 19. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期9月考试 广州英豪学校高二年级数学试题问卷 命题人：杨 兰 审题人：彭 豪、宁英林 注意事项：满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2. 柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋，如果从中随机地取出只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式直接可得解. 【详解】设，，分别表示三双鞋的左只，，，分别表示三双鞋的右只， 则从中随机取出只的所有可能为，，，，，，，，，，，，，，， 共种， 其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的有，，，，，，，，，共种， 所以概率为, 故选：C. 3. 在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】是三个不共面的向量，构成空间的一个基底，利用向量的线性运算用基底表示即可. 【详解】 即： 故选：C. 4. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 至少有一个白球；红､黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是； 对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是； 对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是； 对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是. 故选：C 5. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，，共面，设，根据空间向量坐标运算得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面， 所以，，共面，设， 因为，，， 所以， 则，解得． 故选：C. 6. 如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用基底向量可求的长. 【详解】， 故 ， 故， 故选：A 8. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件概率乘法公式可得. 【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件， 由题知， 则3人中至少有2人投中的概率为： . 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知事件A，B，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果A与B互斥，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A、B与C两两互斥，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】由互斥事件与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】对于A，如果，那么，，故A正确； 对于B，如果A与B互斥，那么，，故B正确； 对于C，如果A与B相互独立，那么，故C错误； 对于D，如果A、B与C两两互斥，那么，故D正确； 故选：ABD. 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B. 若与共面，则存在实数x，y，使； C. 若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D. 若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】AC 【解析】 【分析】由空间向量共面定理即可判断AB，由共线向量的概念即可判断C，由空间向量基本定理即可判断D 【详解】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故A正确； 若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故B错误； 若向量所在的直线是异面直线，则的方向不相同也不相反，且所在直线也不 相交，所以向量一定不共线，故C正确； 若是空间三个基底向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，故D错误； 故选：AC 11. 已知空间三点，设.则下列结论正确的是（     ） A. 若，且，则 B. 和的夹角的余弦值 C. 若与互相垂直，则的值为2； D. 若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【详解】依题意，，， 对于A，因为，所以，又，所以，解得，所以或，A不正确； 对于B，，B正确； 对于C，因与互相垂直，则， 解得或，C不正确； 对于D，因为，轴的一个方向向量， 依题意，即，D正确； 故选：BD 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 在空间直角坐标系中， ,则=____ 【答案】. 【解析】 【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可. 【详解】， ， 又， 即，解得， 故答案为. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281 9522 0018 7472 0129 3879 5869 2436 8460 3990 9533 7980 2692 8280 0753 8425 8935 3882 7890 5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为______. 【答案】##0.45 【解析】 【分析】结合表中数据根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有3281，9522，0018，0129，8460，9533，2692，0753，8425，共9组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故答案为： 14. 如图，在大小为45°的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算以及向量模的求法即可求解. 【详解】， ， . 故答案为： 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算、空间向量模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求线段的长． （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长. （2）利用向量法求得与所成角的余弦值. 【小问1详解】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. 【小问2详解】 ，，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为． 16. 如图，正三棱柱中，底面边长为. （1）设侧棱长为，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长． 【答案】（1） 由已知得，， 平面， ，， 又是正三角形， , ； ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证； （2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 又， ， ， 解得， 即侧棱长为. 17. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的. (Ⅰ）求乙答对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）设乙答对这道题的概率为，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率； （Ⅱ）设丙答对这道题的概率，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案. 详解：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件, 设乙答对这道题的概率， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件. 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得 解得， 所以，乙对这道题的概率为 (Ⅱ）设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件,丙答对这道题的概率. 由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得, 解得 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件， 所以，所求事件概率为 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率关系，解题时要认真审题，注意相互独立事件和对立事件的辨析. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，，，所以， 如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，， 所以，，即. （2）在上存在点使得平面，且为的中点． 【解析】 【分析】（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得； （2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若存在点使平面，则，， ，，，， 因为平面，所以存在实数、，使成立， 则，解得， 故在上存在点使平面，此时点为中点. 19. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可； （3）利用正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即， 又因为，则， 可得，整理可得， 且，则， 可得，解得. 【小问2详解】 由余弦定理得：，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为：， 故面积的最大值为. 【小问3详解】 根据正弦定理得： ， 令，则， 可得， 将原式化为：， 因为，则，可得， 根据二次函数的图像性质得到， 当时，原式取得最小值，； 当时，原式取得最大值，； 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于（3）：对于已知角的范围问题，解题关键是利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简整理，进而根据三角函数有界性分析求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $