精品解析：福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高二上学期阶段一考试数学试题

2024—2025学年第一学期长乐一中阶段一考试 高中二年数学科试卷 考试时间：10月11日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 2. 是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可得，解出即可判断. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得， 是“”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查两直垂直的充要条件，属于基础题. 3. 向量，，且，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案. B注意到当时不满足题目描述； C由投影向量计算公式可判断选项正误； D两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，据此可判断选项正误. 【详解】A选项，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误； B选项，注意到当时，若，则不存在，使，故B错误； C选项，在上的投影向量为， 故C正确； D选项，向量，的夹角为钝角，则且不共线， 得，故D错误. 故选：C 5. 已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，分别以AB、AD、AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系，由题可得点P坐标，，即可得答案. 【详解】分别以AB、AD、AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系如图， ∵正方体的棱长为1，∴， ∵，∴，可得. ∵，， ∴， 根据同角三角函数关系，得， ∴P点到直线AB的距离为， 故选：A. 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l过的定点，设为P，求出，结合图象，即可确定答案. 【详解】由可得， 即直线过定点，设为P， 结合，则， 直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或，即或， 故m的范围为， 故选：D 7. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到直线过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程. 【详解】由直线， 可得化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 若要到直线的距离最大，只需， 此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得， 又由直线的斜率为， 因为，可得，可得， 故此时直线的方程为，即， 经检验，此时，上述直线的方程能够成立. 故选：C. 8. 边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【详解】在边长为1的正方体中，建立空间直角坐标系，设， 则， ，则， 由，得，即，而， 因此， 当且仅当，取等号，此时，所以的最大值是. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过点与直线平行的直线是 C. 直线到直线的距离为 D. 若直线：，则 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系，点到直线的距离公式，两直线平行或垂直的充要条件求解即可． 【详解】对于A：直线的斜率为， 由于，所以，故A错误； 对于B：设过点且与直线平行的直线为， 由于点满足该直线，代入得：； 所以所求的直线方程为，故B正确； 对于C：由于直线：与直线平行， 故两直线的距离，故C正确； 对于D：直线的斜率为， 直线的斜率为：， 因，所以直线和直线不垂直，故D错误． 故选：BC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 四面体中，若，则四点共面 B. 若是四面体的底面三角形的重心，则 C. 已知平行六面体的棱长均为，且，则对角线 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理、重心的向量表示、向量数量积的运算律、基底法表示向量的方式依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，当时，四点不共面，A错误； 对于B，当为的重心时，， ，整理可得：，B正确； 对于C，， ， ，C正确； 对于D，由题意知：， 设， 则，，解得：， 向量在基底下的坐标为，D正确. 故选：BCD. 11. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由长方体的体对角线求出直径，由球的表面积公式求解即可判断选项A；把矩形和放置在同一平面内，当点，，三点共线时，最小，求解即可判断选项B；以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离，判断C；作，交于点，则为二面角的平面角，求解即可判D. 【详解】对于A，长方体外接球的直径， 故外接球的表面积为，故选项A正确； 对于D，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则， 连接交于点， 当点，，三点共线时，最小， 则，故，所以， 由余弦定理可得， ， 所以，即的最小值为，故B正确； 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 所以 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离为，故C错误； 作，交于点，由于， 平面，平面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 在中，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是________． 【答案】±6 【解析】 【分析】由题意，设交点的坐标为，分别代入直线的方程，联立方程组，即可求解得值，得到答案. 【详解】由题意，两直线的交点在轴上，可设交点的坐标为， 分别代入直线的方程，联立方程组可得，整理得，解得， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用问题，其中解答中把两直线的交点坐标分别代入两直线的方程，联立方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 13. 已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，的坐标，再根据向量数量积、向量模的坐标表示求出，，最后根据求出投影向量的坐标，最后求模即可； 【详解】解：因为，，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影为； 所以向量在向量上的投影向量为 即向量在向量上的投影向量的模为； 故答案为： 14. 已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点为，，，求： （1）边AC上的中线所在直线的方程； （2）边AC上的高所在直线的方程； （3）边AC的垂直平分线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式得到，然后根据点斜式求直线方程即可； （2）根据两直线垂直时斜率相乘为-1得到边上高的斜率为-2，然后写直线方程即可； （3）由（1）（2）得的垂直平分线的斜率为-2，过点，然后写直线方程即可. 【小问1详解】 设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. 【小问2详解】 由题意得，所以边上高的斜率为-2， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 【小问3详解】 由（2）得的垂直平分线的斜率为-2， 由（1）得的垂直平分线过点， 所以的垂直平分线的方程为：，即. 16. 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用四边形为正方形得，根据正三棱柱的性质表示各边长可得，利用线面垂直的判定定理可证明结论. （2）以中点为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，求两平面法向量，利用面面夹角公式求解即可得到结果. 【小问1详解】 如图，设，连接，，， 由题意知，四边形为正方形，∴， 中，， 在中，，∴， ∵是的中点，∴， ∵，且平面，∴平面. 【小问2详解】 如图，取的中点，的中点，连接，，则，， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，得，，故， 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 设直线l的方程为 （1）求证：不论a为何值，直线必过定点M； （2）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值． 【答案】（1）当不论a为何值，直线恒过定点； （2）直线l的方程为或. （3）6 【解析】 【分析】（1）将原直线方程变形为，由求解； （2）分截距是否为0两种情况，求得参数，即可得答案. （3）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 直线l的方程为， 整理可得：， 当时不论a为何值，， 即，， 可证当不论a为何值，直线恒过定点； 【小问2详解】 当直线过原点时满足条件，此时，解得， 此时直线方程为. 当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为， 故，解得， 可得直线l的方程为：. 综上所述，直线l的方程为或. 【小问3详解】 由题意知， 令，解得，解得； 令，解得，解得或. 综上有. ∴ ， 当且仅当，即时取等号. ∴（为坐标原点）面积的最小值是6， 此时直线方程，即. 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 【答案】（1）； （2）①，②2. 【解析】 【分析】（1）利用斜坐标定义及向量的线性运算可得结果. （2）①设，，分别为与，，同方向的单位向量，根据题意得点为的中点，利用空间向量的线性运算表示，即可得到坐标. ②用，，表示，根据求出的值，即可得到. 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴的斜坐标为. 【小问2详解】 设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，，. ①由题意得，点为的中点. . ②由题意得，， 由得，， 由得，， ∴， ∴， 解得， 则 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2． （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF； （2）若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取线段CF中点，连接OH、GH，可证明四边形AOHG是平行四边形，再由线面平行判定定理求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可. 【小问1详解】 取线段CF中点，连接OH、GH，如图， 由图1可知，四边形EBCF是矩形，，所以O是线段CE的中点， ∴且， 又且， ∴且 ∴四边形AOHG是平行四边形，则 由于平面，平面， ∴平面GCF． 【小问2详解】 由图1，，，折起后在图2中仍有， ∴即为二面角平面角．∴， 以为坐标原点，，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，如图， 设，则、，， ∴，，， 设平面GCF的一个法向量， 由，得，取，则， 于是平面GCF的一个法向量， ∴， ∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期长乐一中阶段一考试 高中二年数学科试卷 考试时间：10月11日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线是圆一条对称轴，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 向量，，且，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，夹角为钝角，则实数的取值范围为 5. 已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A. ； B. ； C. ； D. ； 8. 边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过点与直线平行的直线是 C. 直线到直线的距离为 D. 若直线：，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在四面体中，若，则四点共面 B. 若是四面体的底面三角形的重心，则 C. 已知平行六面体的棱长均为，且，则对角线 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 11. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角正切值等于2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是________． 13. 已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为______． 14. 已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点为，，，求： （1）边AC上的中线所在直线的方程； （2）边AC上的高所在直线的方程； （3）边AC的垂直平分线的方程. 16. 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 设直线l的方程为 （1）求证：不论a为何值，直线必过定点M； （2）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值． 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量斜坐标； ②若，且，求. 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2． （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF； （2）若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $