精品解析：重庆市丰都县平都中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试题

平都中学初2026届2024-2025学年度上期第二次学情诊断 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上、不得在试题卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束，试题卷由学生自己保存． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 5. 如图，在和中，，，则证明全等于的方法是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，m，n为正整数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（ ） A. 21 B. 19 C. 21或 D. 或19 8. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（ ） A. 7 B. 21 C. 23 D. 35 9. 如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 对于二次三项式（为常数），下列结论正确的个数有（ ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③若，，则或； ④满足的整数解共有8个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_______． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 13. 如果要使的乘积中不含项，则_______． 14. 已知，则的值是_______ 15. 如图，在中，，的中垂线交于E，的中垂线交于G，则的周长等于_____． 16. 如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为_____． 17. 对于一个各位数字都不为零的四位正整数N，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N为“三生有幸数”，例如：是个“三生有幸数”；又如不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是_______．若将N的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的“反序数”，记作，例如：，其“反序数” ．若一个“三生有幸数”N的十位数字为x，个位数字为y，设，若除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N的最大值与最小值的差是_______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分） 18. 计算： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 学习了角平分线的性质后，小明进行了拓展性研究．他发现的外角和外角的角平分线交于点F，他猜想平分．他的解决思路是利用角平分线性质，过点F分别向作垂线，再证明这和这两个角所在的三角形全等得出结论．其中小明已经完成过点F分别向作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规完成基本作图，过点F作垂线于点K．（保留作图痕迹）． 已知：如图，的外角和外角的角平分线交于点于点于点于点G．求证：． 证明：平分于点于点G， _______①． 平分于点于点H， _______②． ， 在和中． _______．④ 由此他得到结论： 三角形两条_______⑤平分线所在直线交点与三角形另一个顶点连线平分此内角． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是 （1）在网格中画出关于x轴对称的，并写出的坐标． （2）在x轴上找一点P，使，求出点P的坐标． （3）在y轴上找一点D，使得的值最小（保留作图痕迹） 22. 上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ （3）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 23. 如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：_______，方法2：_______．从中你发现什么结论呢？__________； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值． ②如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，在中， ，在上截取，为上一点，且，过点作的垂线，分别交、于、，连接交于， （1）若E为的中点，，求的长； （2）求证：． 25. 等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接． （1）如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o； （2）过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平都中学初2026届2024-2025学年度上期第二次学情诊断 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上、不得在试题卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束，试题卷由学生自己保存． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用三角形三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A．3+5＝8＞7，能组成三角形，符合题意； B．3+3＜7，不能组成三角形，不符合题意； C．4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意； D．4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解∶A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴、轴对称的性质．直接利用关于轴对称点的性质得出的值进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，在和中，，，则证明全等于的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于公共边为两直角三角形的斜边，于是根据“”可判断． 【详解】解：， 和都为直角三角形， 在和中， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 6. 已知，，m，n为正整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．熟练掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键． 7. 若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（ ） A. 21 B. 19 C. 21或 D. 或19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 8. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（ ） A. 7 B. 21 C. 23 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有序实数对确定位置，根据数列的排列规律得出第7、8行的数字，再依据题干规定的有序数对的定义得出答案，熟练掌握其变化规律是解决此题的关键． 【详解】由题意知，第7行的数字为1、6、15、20、15、6、1， 第8行的数字为1、7、21、35、35、21、7、1， ∴表示的正整数是35， 故选：D． 9. 如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到点，使，连接、，则，因为，，所以，，而，即可证明，得，，再推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接、， 则， ，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 对于二次三项式（为常数），下列结论正确的个数有（ ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③若，，则或； ④满足的整数解共有8个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，①把代入方程，然后利用因式分解得到，据此可可得结论；②提取公因式x后得到，根据恒成立推出，据此可判断②；③两个方程相加后因式分解得到，解方程即可判断③；④去括号后因式分解得到，再根据x、y都是整数，得到都是整数，据此求解即可． 【详解】解：①当时，若，则 ∴或者，故①错误； ②等式化简后为 ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，即， ∴，故②正确； ③若，，则两个方程相加得：， ∴， ∴， ∴根据乘法计算法则得到,, ∴或，故③正确； ④∵， ∴， ∴ ∴， ∵x、y都是整数， ∴都是整数， ∴或或或 ∴或或 或或或或或或， 整数解共9对，故④错误； 综上所述，结论正确的有②③； 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，算术平方根的定义等知识，根据零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 13. 如果要使的乘积中不含项，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．把根据多项式乘多项式的运算法则将式子展开，令项的系数为0，可求出m的值． 【详解】解∶∵ ， 又的乘积中不含项， ∴， 解得， 故答案为∶． 14. 已知，则的值是_______ 【答案】44 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．先把变形为，再把整体代入求解即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为：44． 15. 如图，在中，，的中垂线交于E，的中垂线交于G，则的周长等于_____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 要求周长，就是求各边长和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可求出． 【详解】解：∵中，，的中垂线交于的中垂线交与， ∴， ∴的周长． 故答案为：8． 16. 如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接，由题意知，，，，由，可求，周长为，当三点共线时，的值最小，然后求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，为的中点，为的垂直平分线上一点， ∴，， ∵是的中线，，为的中点， ∴， ∵， ∴， 周长为， 当三点共线时，的值最小，为， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 17. 对于一个各位数字都不为零的四位正整数N，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N为“三生有幸数”，例如：是个“三生有幸数”；又如不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是_______．若将N的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的“反序数”，记作，例如：，其“反序数” ．若一个“三生有幸数”N的十位数字为x，个位数字为y，设，若除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N的最大值与最小值的差是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了不等式组，整式的混合运算等知识，理解“三生有幸数”定义是解题的关键． 依据“三生有幸数”定义，要想它最小，每位数字都取到最小，即可得到答案；根据题意，算出N和，得到，利用除以6余数是1，得到是6的倍数，且x、y为正整数，求出x、y的取值范围，确定N的最大值与最小值，即可得到答案． 【详解】解：由题意，首先“三生有幸数”是一个各位数字都不为零的四位正整数，千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，要想它最小，每位数字都取到最小，则十位数字应该取1，则千位数字应该取4，，个位数字也取1，百位数字取3， ∴最小的“三生有幸数”是， 由题意，“三生有幸数”N的十位数字为x，则个位数字为y，则 ， 则， ∴， ∵除以6余数是1，n为正整数， ∴， 则， ∴是6的倍数，且x、y为正整数， 又， ∴， ∴或， 当时，N的最大值为， 当时，N的最小值为， ∴N的最大值与最小值的差是， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分） 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）先根据积的乘方法则，单项式乘以单项式法则，单项式除以单项式法则，然后合并同类项即可； （2）先根据单项式乘以多项式法则，完全平方公式展开，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解∶原式 ； 【小问2详解】 解∶原式 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，16 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据多项式乘以多项式法则，完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则计算括号内，然后根据多项式除以单项式法则化简，再根据非负数的性质求出m、n的值，最后把m、n的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 20. 学习了角平分线的性质后，小明进行了拓展性研究．他发现的外角和外角的角平分线交于点F，他猜想平分．他的解决思路是利用角平分线性质，过点F分别向作垂线，再证明这和这两个角所在的三角形全等得出结论．其中小明已经完成过点F分别向作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规完成基本作图，过点F作垂线于点K．（保留作图痕迹）． 已知：如图，的外角和外角的角平分线交于点于点于点于点G．求证：． 证明：平分于点于点G， _______①． 平分于点于点H， _______②． ， 在和中． _______．④ 由此他得到结论： 三角形两条_______⑤平分线所在直线交点与三角形另一个顶点连线平分此内角． 【答案】；；；；外角 如图，即为所作； 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规做角平分线，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分的限制和三角形全等的性质和判定判定，通过，，证明，再证明得到结论即可． 【详解】解∶ 证明：平分于点于点G， ． 平分于点于点H， ． ， 在和中． ． 由此他得到结论： 三角形两条外角平分线所在直线交点与三角形另一个顶点连线平分此内角． 故答案为：；；；；外角． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是 （1）在网格中画出关于x轴对称的，并写出的坐标． （2）在x轴上找一点P，使，求出点P的坐标． （3）在y轴上找一点D，使得的值最小（保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图，即为所求， ，， （2）或； （3） 解：如图，点D即为所求， ， 取点，则A、关于y轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的应用，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可，写出点的坐标即可； （2）根据割补法求解即可； （3）取点，则A、关于y轴对称，连接交y轴于点D，连接、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 又， ∴， ∴， 又， ∴P的坐标为或，即P的坐标为或； 【小问3详解】 略 22. 上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ （3）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里 （2）上午11时，小船与灯塔C的距离最短 （3）救援队先到 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； 【小问2详解】 解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； 【小问3详解】 解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 23. 如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：_______，方法2：_______．从中你发现什么结论呢？__________； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值． ②如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2）①；②12 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． （1）方法可采用两个正方形的面积和；方法可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）①设，，则，，再根据（1）中结论的变形可得，代入即可得解； ②设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：依题得： 方法：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 两种方式表示的面积是相等可知：． 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：①设，， 则有，， 由（1）得：， ， 即． ②设 ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 24. 如图，在中， ，在上截取，为上一点，且，过点作的垂线，分别交、于、，连接交于， （1）若E为的中点，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2） 证明：如图，取，由，，知， 又， ， ， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质定理与判定定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）先证明为等边三角形，得到，进而求得，在中， ，得到，求出．即可解答； （2）取，由，，知，再证明 得到，从而． 【小问1详解】 解： ，， 为等边三角形， ， 为的中点， ， 在中，， ． 【小问2详解】 略 25. 等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接． （1）如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o； （2）过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）15 （2）①，理由如下： 如图，延长交于点N， 设， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； ② 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点． （1）由折叠的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）①延长交于点N，证明为等边三角形，再证明，即可得线段和之间的数量关系； ②连接，取中点P，连接，则当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，即可求得长度． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15； 【小问2详解】 ①略 ②如图，连接，取中点P，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合， ∵P、H分别是的中点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $