精品解析：河北省廊坊市香河县2024-2025学年七年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年七年级第一学期第三次学情评估 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 利用等式的性质，将“”转化成“”是在（ ） A. 等式两边加4 B. 等式两边减2 C. 等式两边乘 D. 等式两边除以 3. 西柏坡纪念馆开展“我与祖国共成长”庆祝中华人民共和国成立周年主题活动，国庆七天假期，西柏坡纪念馆参观人数约有人次．“”的原数中“”共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 在一场校内篮球比赛中，小明共投中m个2分球，n个3分球，还通过罚球得到7分，在这场比赛中，他一共得了（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 若与是同类项，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 将去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组数中结果相等的是（ ） A. 与 B. 和 C. 和 D. 与 8. 有理数m，n，p，q在数轴上的位置如图所示，若，则（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定是0 D. 可能是0 9. 下列判断正确的是（ ） A. 与a的和为 B. 由四舍五入法得到的近似数是精确到百分位 C. 可以写成分数形式的数称为有理数 D. 单项式与多项式的次数相同 10. 一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶，则早到；若快递员开车每分钟行驶，则要迟到．关于嘉嘉和淇淇所列的方程，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：设快递员所行驶的总路程为，则； 淇淇：设规定时间为，则 A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 嘉嘉、淇淇的都正确 D. 嘉嘉、淇淇的都不正确 11. 学习了整式的加减后，嘉淇发现任意三个连续奇数的和一定能被n（n是大于1的整数）整除，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：若设三个连续奇数中最小的奇数为，则三个连续奇数的和为； 结论Ⅱ：n的值为3 A. 只有Ⅰ正确 B. 只有Ⅱ正确 C. Ⅰ、Ⅱ都正确 D. Ⅰ、Ⅱ都不正确 12. 已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若是最大的负整数，则代数式的值是______． 14. 若，则“□”内的数为_______． 15. 如图，长为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其宽为，则阴影A的周长与阴影B的周长差为______． 16. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，且任意相邻四个台阶上数的和都相等，若机器人爬到第m个台阶时，前m个台阶上所标有理数之和第一次是，则机器人立即停止运动，则m的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各小题． （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 18. 下面是珍珍解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：______，得， ……第一步 去括号，得， ……第二步 移项，得， ……第三步 合并同类，得， ……第四步 系数化为1，得． ……第五步 （1）珍珍求解过程中，第一步中的横线上应填______． （2）珍珍的解答过程在第______步开始出现错误，出现错误的原因是违背了______（填字母）； A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．去括号法则 （3）请给出该题的正确解答． 19. 已知多项式，． （1）若x是的倒数，求M的值； （2）试比较与0的大小． 20. 某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班一周内收集的废纸均以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，七年级6个班一周内的废纸收集情况如下表所示．统计员不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 与标准质量的差（） 0 （1）表格中六班的数据为______； （2）若本次活动这6个班收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的三个班级收集废纸的总质量； （3）已知“1吨废纸再生纸800公斤少砍17棵大树”该校共有25个班级，若每周每班收集废纸的质量与这6个班平均每班一周内收集废纸的质量一样，求全校40周收集的废纸相当于少砍多少棵大树． 21. 学校计划在一块长16米，宽12米的长方形荒地上修建一个花园，甲、乙两同学进行了设计（图中阴影部分即为花园）． 甲：我的设计方案如图4-1所示，其中花园四周小路的宽度相等都为a米； 乙：我的设计方案如图4-2所示，其中长方形每个角上都是的圆，半径为b米． （1）分别用舍a和含b的代数式表示出甲、乙同学所设计的花园的面积；（可不化简） （2）学校要求花园所占面积约为荒地面积的一半（96平方米2平方米），取．甲说：可满足要求；乙说：可满足要求．那么两人的说法对吗？请通过计算说明理由． 22. 某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． （1）若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； （2）设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 （3）根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 23. 【观察思考】将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“”立体图形． 【规律发现】（1）图形中小正方体个数记作，图形中小正方体个数记作，，图形中的小正方体有______个；图形（是正整数）中的小正方体有______（用含的代数式表示，结果需化简）个； （2）若图形比图形多个小正方体，用含的代数式表示______． 【规律应用】（3）结合上述规律，试判断是否存在正整数，使得等于的倍？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 24. 已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． （1）分别求m，n的值； （2）有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点A时，点所对应的数为n，当点移动到点B时，点所对应的数为m．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点M需要2秒． ①玩具火车的长为______个单位长度；玩具火车的速度为每秒______个单位长度；点A所对应的数为______； ②在数轴上放置与大小相同的火车，使点C与点M重合，火车和在数轴上分别从点M和点A同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； ③当火车匀速向右移动，同时点P和点Q分别从N，M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点P，Q间的距离用a表示，点，A间的距离用b表示，是否存在有理数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年七年级第一学期第三次学情评估 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是，等号两边都是整式”，这样的方程叫做一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程； B、不是等式，故不是一元一次方程； C、未知数的次数是，故不是一元一次方程； D、含有两个未知数，故不是一元一次方程； 故选：A． 2. 利用等式的性质，将“”转化成“”是在（ ） A. 等式两边加4 B. 等式两边减2 C. 等式两边乘 D. 等式两边除以 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质，两边同除以解答即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴等式两边除以，得． 故选：D． 3. 西柏坡纪念馆开展“我与祖国共成长”庆祝中华人民共和国成立周年主题活动，国庆七天假期，西柏坡纪念馆参观人数约有人次．“”的原数中“”共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法和科学记数法还原成原数的表示方法是解题的关键．数还原成原数时，将的小数点向右移动位即可，据此解答即可． 【详解】解：， 故“”的原数中“”共有个， 故选：B． 4. 在一场校内篮球比赛中，小明共投中m个2分球，n个3分球，还通过罚球得到7分，在这场比赛中，他一共得了（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式，总分等于2分球的个数分球的个数罚球得分，据此列式解答即可． 【详解】解：总分， 即一共得了分， 故选A． 5. 若与是同类项，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类项，求代数式的值．根据同类项的定义“含有的字母相同且相同字母的指数也相同的项”，列式计算，求值可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 故， 故选：C． 6. 将去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据括号前面是，去掉减号和括号，括号里的各项都要变号，解答即可． 本题考查了去括号法则，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 7. 下列各组数中结果相等的是（ ） A. 与 B. 和 C. 和 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值化简，有理数加减混合，乘方．根据绝对值化简，有理数加减混合，乘方，计算出各数，解答即可． 【详解】解：A、，，与不相等，不符合题意； B、，，和不相等，不符合题意； C、，，和不相等，不符合题意； D、，与相等，符合题意， 故选：D． 8. 有理数m，n，p，q在数轴上的位置如图所示，若，则（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定是0 D. 可能是0 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据相反数的几何意义可得n和p互为相反数，即可得出原点在n和p的中点处，再根据正数，负数，零的意义可得出答案． 本题主要考查了数轴，相反数，正数，负数，零，熟练掌握数轴，有理数进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：由， 故n和p互为相反数， ∴原点在n和p的中点处， ∴m，p一定都是负数， ∴一定是负数， 故选：B． 9. 下列判断正确的是（ ） A. 与a的和为 B. 由四舍五入法得到的近似数是精确到百分位 C. 可以写成分数形式的数称为有理数 D. 单项式与多项式的次数相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，近似数，有理数的意义，单项式，多项式的次数，逐一进行判断即可． 本题考查合并同类项法则，近似数的精确度，单项式及其系数与次数，多项式及其项数与次数．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、 与a的和为，错误，不符合题意； B、 由四舍五入法得到的近似数是精确到千分位，错误，不符合题意； C、 可以写成分数形式的数称为有理数，正确，符合题意； D、单项式次数是5次，多项式的次数是6次，错误，不符合题意． 故选：C． 10. 一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶，则早到；若快递员开车每分钟行驶，则要迟到．关于嘉嘉和淇淇所列的方程，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉：设快递员所行驶的总路程为，则； 淇淇：设规定时间为，则 A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 嘉嘉、淇淇的都正确 D. 嘉嘉、淇淇的都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据规定时间相等列方程，根据总路程相等列方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握列方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：设快递员所行驶的总路程为， 则； 设规定时间为，则． 只有淇淇的正确． 故选：B． 11. 学习了整式的加减后，嘉淇发现任意三个连续奇数的和一定能被n（n是大于1的整数）整除，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：若设三个连续奇数中最小的奇数为，则三个连续奇数的和为； 结论Ⅱ：n的值为3 A. 只有Ⅰ正确 B. 只有Ⅱ正确 C. Ⅰ、Ⅱ都正确 D. Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用，用含m的式子表示出另外两个奇数，三个式子相加可判断结论Ⅰ；设三个连续奇数中，中间的奇数为x，用含x的式子表示出三个连续奇数的和，可判断结论Ⅱ． 【详解】解：若设三个连续奇数中最小的奇数为，则另外两个奇数为，， 三个连续奇数的和为， 故结论Ⅰ错误； 设三个连续奇数中，中间的奇数为x，则最小的奇数为，最大的奇数为， 这三个连续奇数的和为， 这三个连续奇数的和一定能被3整除， n的值为3， 故结论Ⅱ正确； 故选B． 12. 已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解，熟练掌握求含参数的一元一次方程整数解的方法是解题的关键．先解方程，求出，再利用方程有正整数解，得出的范围，结合是负整数，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∴方程有正整数解， ∴，且为偶数， ∴，且为偶数， ∵为负整数， ∴，或， 负整数的所有可能的取值的积为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若是最大的负整数，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握代数式求值方法是解题的关键．先确定最大的负整数是，再代入求值即可． 【详解】解：∵是最大的负整数， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若，则“□”内的数为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据计算可得答案． 【详解】解：由题意知：“”内的数， 故答案为：． 15. 如图，长为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其宽为，则阴影A的周长与阴影B的周长差为______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用，由图得出阴影A，B的长，设阴影B的宽为，则阴影A的宽为：，用含x的式子表示出两个阴影的周长，作差即可． 【详解】解：由图可知：阴影B的长为：， 阴影A的长为：， 设阴影B的宽为，则阴影A的宽为： 阴影A的周长为：， 阴影B的周长为：， 阴影A的周长与阴影B的周长差为：， 故答案为：32． 16. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，且任意相邻四个台阶上数的和都相等，若机器人爬到第m个台阶时，前m个台阶上所标有理数之和第一次是，则机器人立即停止运动，则m的值为______． 【答案】4045 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索、正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据题意分别求出第个台阶上标的有理数，则可得从第1个台阶开始，相邻四个台阶上的数是按为一个周期循环往复的，再求出前4044个台阶上所标的有理数之和是，第4045个台阶上所标的有理数是，据此解答即可得． 【详解】解：∵任意相邻四个台阶上数的和都相等， ∴任意相邻四个台阶上数的和都是， ∴第5个台阶上标的有理数为， 第6个台阶上标的有理数为， 第7个台阶上标的有理数为， 第8个台阶上标的有理数为， 归纳类推得：从第1个台阶开始，相邻四个台阶上的数是按为一个周期循环往复的， ∵，，， ∴前4044个台阶上所标的有理数之和是，第4045个台阶上所标的有理数是， 又∵， ∴前个台阶上所标的有理数之和第一次是， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各小题． （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算、整式的加减运算、解一元一次方程： （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）先去括号，再合并同类项； （3）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 18. 下面是珍珍解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：______，得， ……第一步 去括号，得， ……第二步 移项，得， ……第三步 合并同类，得， ……第四步 系数化为1，得． ……第五步 （1）珍珍求解过程中，第一步中的横线上应填______． （2）珍珍的解答过程在第______步开始出现错误，出现错误的原因是违背了______（填字母）； A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．去括号法则 （3）请给出该题的正确解答． 【答案】（1）去分母 （2）一，B （3） 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类，得， 系数化为1，得． 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤，第一步应该是去分母，得，解答即可． （2）去分母，方程两边同时乘以6，这是等式的性质2，解答即可． （3）按照解方程的步骤解答即可． 本题考查了等式的性质，解方程，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据解一元一次方程的基本步骤，第一步应该是去分母，得， 故答案为：去分母． 【小问2详解】 解：去分母，方程两边同时乘以6，这是等式的性质2， 得到的结果为：，第一步就出现了错误， 故答案为：一，B； 【小问3详解】 略 19. 已知多项式，． （1）若x是的倒数，求M的值； （2）试比较与0的大小． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查代数式求值、整式的加减运算： （1）先根据倒数的定义求出x的值，再代入即可求解； （2）两个多项式作差，根据平方的非负性即可求解． 【小问1详解】 解： x是的倒数， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 20. 某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班一周内收集的废纸均以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，七年级6个班一周内的废纸收集情况如下表所示．统计员不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 与标准质量的差（） 0 （1）表格中六班的数据为______； （2）若本次活动这6个班收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的三个班级收集废纸的总质量； （3）已知“1吨废纸再生纸800公斤少砍17棵大树”该校共有25个班级，若每周每班收集废纸的质量与这6个班平均每班一周内收集废纸的质量一样，求全校40周收集的废纸相当于少砍多少棵大树． 【答案】（1）3.5 （2） （3）102棵 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减和乘法运算的应用，解题的关键是理解题意，正确列出相关的算式．（1）计算即可求解；（2）由题意得本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，据此即可求解；（3）计算出平均每班一周内收集废纸的质量，即可求解； 【小问1详解】 解：∵三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为， ∴六班收集废纸的质量最多， ∴表中六班的数据为：（）， 故答案为：3.5； 【小问2详解】 解：由（1）得六班收集废纸的质量最大，超过标准， ∴本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班， ∴获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为： （）． 答：获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为． 【小问3详解】 解：（）， （棵）． 答：相当于少砍102棵大树． 21. 学校计划在一块长16米，宽12米的长方形荒地上修建一个花园，甲、乙两同学进行了设计（图中阴影部分即为花园）． 甲：我的设计方案如图4-1所示，其中花园四周小路的宽度相等都为a米； 乙：我的设计方案如图4-2所示，其中长方形每个角上都是的圆，半径为b米． （1）分别用舍a和含b的代数式表示出甲、乙同学所设计的花园的面积；（可不化简） （2）学校要求花园所占面积约为荒地面积的一半（96平方米2平方米），取．甲说：可满足要求；乙说：可满足要求．那么两人的说法对吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）平方米；平方米 （2） 解：当时， ， 不符合实际意义， 故甲的说法错误； 当时， ， 根据题意，荒地面积的一半(96平方米2平方米)， 符合实际意义， 故乙的说法正确． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得甲所设计的花园的面积为：(原长方形的长)×(原长方形的宽)，据此列出代数式； 乙所设计的花园的面积为：原长方形的面积四个半径为b的四分之一圆的面积和，据此列出代数式；  （2）分别把，代入到（1）所得的代数式中，结合题目已知信息进行比较即可使问题得解. 本题主要考查列代数式.找到花园与长方形的面积关系是解答本题的关键.列代数式要注意：①仔细辨别词义；②分清数量关系；③注意运算顺序；④规范书写格式；⑤正确进行代换；此外，本题还考查了长方形的面积公式、圆的面积公式及相关知识． 【小问1详解】 解：根据题意，得甲所设计的花园的面积为：平方米； 乙所设计的花园的面积为：平方米． 【小问2详解】 略 22. 某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． （1）若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； （2）设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 （3）根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 【答案】（1）；； （2）；； （3）当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的实际应用，一元一次方程的方案选择问题，能根据题意正确地分段列出式子是解题的关键． （1）根据题意分别列式计算即可； （2）甲大于，利用“若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款”列式即可；乙利用“按标价的付款”列式即可； （3）先判断小于等于时，由，可知乙菜苗基地购买合算；大于时，先解方程，得，再分三种情况判断：小于时，时，时，即可解决． 【小问1详解】 解：根据题意，在甲菜苗基地购买，需付款（元）； 在乙菜苗基地购买，需付款（元）； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设学校购买该种菜苗捆， 在甲菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为； 若大于，则费用为元； 在乙菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为元； 若大于，则费用为元； 故答案为：；；； 【小问3详解】 解：①小于等于时，由， 故乙菜苗基地购买合算； ②大于时，由， 解得：， 由乙菜苗基地购买费用， 当时，是负数， 则乙菜苗基地购买合算； 当时，是正数， 则甲菜苗基地购买合算； 综上，当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 23. 【观察思考】将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“”立体图形． 【规律发现】（1）图形中小正方体个数记作，图形中小正方体个数记作，，图形中的小正方体有______个；图形（是正整数）中的小正方体有______（用含的代数式表示，结果需化简）个； （2）若图形比图形多个小正方体，用含的代数式表示______． 【规律应用】（3）结合上述规律，试判断是否存在正整数，使得等于的倍？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查图形的规律探索，列代数式，整式的加减，等式的性质，一元一次方程的应用，能正确根据图形得出规律并列式，且可以根据题意正确列式是解题的关键． （1）分别得出，，，从中探索规律即可解答； （2）根据可得图形中小正方体有：个；图形中小正方体有：个；根据题意列式并等式变形即可； （3）根据先对和进行化简，再列式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， ， ， 则，， 故答案为：；； （2）图形中小正方体有：个； 图形中小正方体有：个； 根据题意得：， 化简得：， 故答案为：； （3）由题意得： ， ， 根据题意，得， 解得：， 故存在正整数使得等于的倍，其中． 24. 已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． （1）分别求m，n的值； （2）有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点A时，点所对应的数为n，当点移动到点B时，点所对应的数为m．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点M需要2秒． ①玩具火车的长为______个单位长度；玩具火车的速度为每秒______个单位长度；点A所对应的数为______； ②在数轴上放置与大小相同的火车，使点C与点M重合，火车和在数轴上分别从点M和点A同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； ③当火车匀速向右移动，同时点P和点Q分别从N，M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点P，Q间的距离用a表示，点，A间的距离用b表示，是否存在有理数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，，；②；③存在，， 【解析】 【分析】（1）根据得到，求m，n的值即可； （2）①设初始位置A处表示的数为，B处所表示的数为，火车的长度为， 根据题意，得，，，确定小火车的长度，根据时间计算速度，计算出即可． ②设处表示的数为，处所表示的数为，根据小火车的速度为个单位长度/秒，的速度为5个单位长度/秒，设后两火车的处与处相距7个单位长度， 则，，根据题意，得解答即可． ③设火车匀速向右移动，则，，火车匀速向右移动个单位，根据确定，于是得到，根据已知表示，令t的系数为0，解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 ①解：设初始位置A处表示的数为，B处所表示的数为，火车的长度为， 根据题意，得，，， 故， 解得， 故小火车的速度为（单位长度/秒）， 由得， 解得， 故答案为：，，． ②解：设处表示的数为，处所表示的数为，由小火车的速度为个单位长度/秒，的速度为5个单位长度/秒，设后两火车的处与处相距7个单位长度，则，，根据题意，得， 故， 解得． ③解：设火车匀速向右移动，则，，火车匀速向右移动个单位，根据，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的值与它们的运动时间无关， ∴， ∴， ∴， 故存在有理数k使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为． 【点睛】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，解方程，整式计算中的无关问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $