河北省唐县第一中学2024-2025学年高二上学期12月期末数学试题

数学答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A A C D AC BCD 题号 11 答案 BC 12．51 13． 14． 15．【详解】（1）因为. 又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）有，可得， 所以有. 16．【详解】（1）由点到直线的距离公式可知：右焦点到渐近线的距离为， 又双曲线C过点，所以，解得， 所以双曲线C的方程为． （2）由（1）可知：右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时， ,满足题意。 当直线的斜率存在时， 设，联立 消去y得：， 所以， 设，则， 所以 ． 解得，即，满足． 所以直线的方程为 ，，或． 17．【详解】（1）由，得（，）， ，（，）． 又，，，整理得． 数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的通项公式为． （2）由（1）得，．， 即，， 两式相减，得，． 18．【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2），，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面， ，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， 为棱的中点， ， （i），， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是 , ，， . 19． 【详解】（1）因为椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，所以2b=a+c， 所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化简得． （2）过定点（0，±10），理由如下： 由得，由得， 椭圆方程为：，所以A（0，8），设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（﹣x0，﹣y0）， 所以直线AP的方程为：，令y=0，得，所以， 同理可得，所以以MN为直径的圆的方程为， 结合，化简得，令x=0，得y=±10，所以该圆恒过定点（0，±10）． 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级12月考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在数列中，若，则下列数是中的项的是（   ） A．4 B．4 C． D．3 3．已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 4．已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（   ） A． B．无最大值 C． D． 5．棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7．椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 10．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则 的面积为 D．最大值为 11．已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（   ） A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离 C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是等差数列的前项和，且，，则 . 13．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 14．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 16．（15分）已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线l过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程． 17．（15分）已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（17分）焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”． (1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值； (2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$