精品解析：福建省南安市昌财实验中学2024-2025学年高一上学期10月段考数学试题

2024年秋高一年阶段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四个命题正确的个数是（ ）. ①集合中最小的数是1； ②若，则； ③若，则的最小值是2； ④的解集是. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 5. 向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ） A. 赞成的不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对都赞成的有21人 D. 对都不赞成的有8人 6. 已知全集，，，，则 A. B. C. D. 7. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是 B. 由2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 10. 下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，均有，则命题的否定：，使得 C. 已知集合满足，则所有满足条件的集合有4个 D. 设，是两个数集，若，则，使得 11. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为9 C. 有最小值为 D. 有最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______． 13. 已知集合，，且，则实数的值是______． 14. 已知，，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，，. （1）求； （2）求； （3）求. 16. （1）已知，，求实数的值； （2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围． 17. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 18. 如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周（斜线部分）铺设宽度相同的观赏通道.已知三块花卉的面积均为150平方米. （1）若矩形花卉的长比宽至少多5米，求花卉宽的取值范围； （2）若矩形花卉四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形花卉宽为多少时，观赏通道的面积最小，并求其最小值. 19. （1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋高一年阶段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四个命题正确的个数是（ ）. ①集合中最小的数是1； ②若，则； ③若，则的最小值是2； ④的解集是. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由是正整数集可判断①②③，根据集合中元素的互异性知④错误. 【详解】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确； 当时，，但，故②错误； 若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确； 由集合中元素的互异性知④错误. 故选：C 【点睛】本题考查常用数集、集合中元素的性质，属于基础题. 2. 已知，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式成立的条件. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A. 3. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若，则， 当时，，，则，即成立，满足充分性. 当时，，但不成立，所以，不能推出，不满足必要性. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 5. 向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ） A. 赞成的不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对都赞成的有21人 D. 对都不赞成的有8人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示， 设对事件A，B都赞成的学生人数为x， 则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为， 赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得. 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：B 6. 已知全集，，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，，所以画出集合运算的韦恩图可知，集合． 考点：集合的运算与集合的表示． 【思路点晴】　　　本题主要考查了集合的运算与集合的表示，属于基础题，解答本题的关键在于正确采用集合的韦恩图法作出运算，是题目的一个难点． 7. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 8. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可. 【详解】令， 则， 由，， 所以，即. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下面四个说法中正确的是（ ） A. 10以内的质数组成的集合是 B. 由2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的所有解组成的集合是 D. 与表示同一个集合 【答案】AB 【解析】 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素的集合，故D错误． 故选：AB． 10. 下列说法中正确的有（ ） A. “”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，均有，则命题的否定：，使得 C. 已知集合满足，则所有满足条件的集合有4个 D. 设，是两个数集，若，则，使得 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，根据充分条件与必要条件的定义判断即可；对于B选项，根据命题的否定判断即可；对于C选项，根据集合之间的关系判断即可；对于D选项，根据集合的关系判断即可. 【详解】对于A选项，由可以推出，而由可以推出， 则“”是“”成立的充分不必要条件，故A选项正确； 对于B选项，命题的否定应为“，使得”，故B选项错误； 对于C选项，满足条件的集合有、、、、、、、、、、和，故C选项错误； 对于D选项，若，则集合和集合有公共的元素，即，使得，故D选项正确. 故选：AD. 11. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为9 C. 有最小值为 D. 有最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为 ，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将 代入，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D. 【详解】由，，且，可知，即， 当且仅当 时取等号，故A正确； ， 当且仅当 即 时取等号，故B正确； 由，，且，可知，故， 当时，取得最小值为 ，故C错误； ，当且仅当，即时取等号， 故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】∵， ∴或， 解得或， 当时，不满足集合的互异性，故舍弃， 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：． 13. 已知集合，，且，则实数的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得或，解之即可，注意检验. 【详解】解：因为， 所以或，解得或或， 当时，， 符合题意， 当时，，不符题意， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， 所以或. 14. 已知，，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案 【详解】因为，，， 所以，即； 因为，当且仅当时取到等号， 所以， 解得或（舍） 所以当时，有最小值3. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）比较和中的元素即可得出； （2）比较和中的元素即可得出； （3）先求出求，再与求交集即可. 【详解】 （1）、， （2）、， （3）、 16. （1）已知，，求实数的值； （2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）分析可得或，结合集合中元素的互异性可求得实数的值； （2）根据已知条件得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，故， 因为，则或. ①当时，即当时，此时，集合中的元素不满足互异性； ②当时，即，解得或（舍）， 此时，，集合中的元素满足互异性. 综上所述，； （2）因为集合中有两个元素，则， 解得且， 因此，实数的取值范围是或. 17. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由真包含于构造不等式即可求解； （2）通过与同时为真命题，求范围，再求补集即可. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于 而，显然 于是，解得， 所以的取值范围为； （2）当命题为真命题时， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 18. 如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周（斜线部分）铺设宽度相同的观赏通道.已知三块花卉的面积均为150平方米. （1）若矩形花卉的长比宽至少多5米，求花卉宽的取值范围； （2）若矩形花卉四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形花卉宽为多少时，观赏通道的面积最小，并求其最小值. 【答案】（1） （2）花卉宽为10米时，观赏通道面积最小，最小值是272平方米 【解析】 【分析】（1）设草坪的宽为，根据草坪的面积来求得的取值范围. （2）先求得整个观赏通道面积的表达式，结合基本不等式求得最小值以及此时的值. 【小问1详解】 设矩形花卉的宽为，则长为， 依题意，即， ，即. 所以花卉宽的取值范围是. 【小问2详解】 依题意所有观赏通道的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以花卉宽为10米时，观赏通道面积最小，最小值是272平方米. 19. （1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）． 【解析】 【分析】（1）①由题意得到，，，三式相加即可证明；②由题意得到，再结合，，即可证明结论． （2）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）略 （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：求的最小值的关键是依据题设将双元问题转化成一元问题，再结合换元法简化问题从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $