精品解析：湖北省武汉市第十四中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

数学月考试卷 2024.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 复数对应的点在虚轴上，则（ ） A. 或 B. 且 C. D. 或 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一组数据是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变大 D. 极差没变 5. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则的值为（ ）（小数点后保留2位有效数字） 0.17 0.34 0.50 0.64 0.76 0.87 0.94 0.98 A. B. C. 0.36 D. 0.42 6. 直线与曲线（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（ ） A. B. C. D. 7. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 8. 如图，在等腰梯形中，，且，设，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则 （ ） A. 随着角度的增大，增大，为定值 B. 随着角度的增大，减小，为定值 C. 随着角度的增大，增大，也增大 D. 随着角度的增大，减小，也减小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，成等差数列，则，，一定成等差数列 B. 数列的前项和为，若，则是等差数列． C. 如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列； D. 数列的通项公式为，前项和为，则中最大的是或 10. 下面命题正确的有：（ ） A. B. 若，则 C. D. ， 11. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案） 13. 已知，，则______． 14. 如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ. (1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，观光道路最长？ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 是否存在一个三角形同时具有以下两个性质：（1）三边成公差为2的等差数列；（2）最大角是最小角的2倍．若存在请求出三边长度，若不存在，请说明理由. 16. 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）若点是的中点，求二面角的余弦值． 17. 已知直线，圆，直线被圆截得的弦长与双曲线的实轴长相等，双曲线的离心率 （1）求双曲线的方程； （2）设为双曲线上任意一点、直线分别与直线和直线相交于、两点，求的面积． 18. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 19. 函数（是常数）. （1）求函数的单调区间； （2）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）求证：当，时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学月考试卷 2024.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的表示直接得出结果. 【详解】表示为抛物线上的点的集合， 而0为一个数，故，A正确 由于表示集合与集合之间的关系的符号不是“”，故BC错误. 是数集，M是点集，故二者不具有包含关系，D错误. 故选：A 2. 复数对应的点在虚轴上，则（ ） A. 或 B. 且 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，复数对应的点的坐标为， 因为复数对应的点在虚轴上， 则，解得或， 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等性质及命题的充分必要性直接可判断. 【详解】当时，若，则，即“”不是“”充分条件； 当时，，即“”是“”必要条件， 综上所述，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 已知一组数据是公差为的等差数列，若去掉首末两项，后，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变大 D. 极差没变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A, 由中位数的概念可判断B，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断C，根据极差及等差数列的通项公式可判断D. 【详解】对于A，原数据的平均数为， 去掉后的平均数为， 即平均数不变，故A错误； 对于B，原数据的中位数为，去掉后的中位数仍为， 即中位数没变，故B正确； 对于C，设公差为，则原数据的方差为 ， 去掉后的方差为 ， 即方差变小，故C错误； 对于D，原数据的极差为， 去掉后的极差为， 即极差变小，故D错误. 故选：B 5. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则的值为（ ）（小数点后保留2位有效数字） 0.17 0.34 0.50 0.64 0.76 0.87 0.94 0.98 A. B. C. 0.36 D. 0.42 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系计算可得，结合表格计算即可. 【详解】. 故选：B 6. 直线与曲线（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，然后根据所给图形逐个分析即可 【详解】解：由，得， 对于A，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、三象限，所以A错误； 对于B，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、三、四象限，所以B正确； 对于C，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，且由图可知两图在轴上有公共点，则可得，从而有，直线方程为，由，可得或，则交点应在第一象限，所以C错误； 对于D，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，所以D错误， 故选：B 7. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【答案】C 【解析】 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 8. 如图，在等腰梯形中，，且，设，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则 （ ） A. 随着角度的增大，增大，为定值 B. 随着角度的增大，减小，为定值 C. 随着角度的增大，增大，也增大 D. 随着角度的增大，减小，也减小 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，假设，根据余弦定理表示出，进而根据双曲线的性质可得到的值，再由，，可表示出，最后根据余弦函数的单调性可判断单调性；同样表示出椭圆中的和；表示出的关系式，最后令相乘即可得到的关系． 【详解】连接，，设， 则 所以双曲线中， 因为在上单调递减，进而可知当增加大， 减小，即减小； 因为 所以椭圆中 所以 所以 所以. 故选B项. 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲线的性质的应用，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，成等差数列，则，，一定成等差数列 B. 数列的前项和为，若，则是等差数列． C. 如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列； D. 数列的通项公式为，前项和为，则中最大的是或 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明即可判断A；根据与的关系可得，结合等差数列的定义即可判断B；根据等比数列的定义即可判断C；由可知为正，，为负，即可判断D. 【详解】A：若，则，不构成等差数列，故A错误； B：当时，； 当时，， 则符合上式，所以， 得，即为等差数列，故B正确； C：设，的公比为. 当时，，得，此时为等比数列； 当时，，则，不为常数， 此时不为等比数列.故C错误； D：令，解得， 则为正，，为负， 所以中最大为或，故D正确. 故选：BD 10. 下面命题正确的有：（ ） A. B. 若，则 C. D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据辅助角公式和二倍角的正弦公式计算即可判断A；根据对数的换底公式计算即可判断B；利用导数研究函数的单调性可得，即可判断C；利用基本不等式“1”的妙用计算即可判断D. 【详解】A：因为， 又，而，故A错误； B：因为，所以， 即，故，故B正确； C：函数，因为， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 又，则，即， 即，得，故C正确； D： 当且仅当，，即时取等号．故D错误． 故选：BC 11. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 分析每一个选项的条件看是否能求出塔的高度. 【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值； B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度； C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值； D. 如图，过点作,连接. 由于, 所以，所以可以求出的大小， 在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 判断一个三角形能不能解出来常利用该原理. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案） 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是. 考点:二项式定理 【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数. 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式的运算可得，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为： 14. 如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ. (1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，观光道路最长？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用表示CD的长度的关键是在中正确利用正弦定理； （2）首先将道路长度表达成的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得时，观光道路最长. 【详解】(1)在△OCD中，由正弦定理，得 ＝＝＝， 所以CD＝sin＝cos θ＋sin θ，OD＝sin θ， 因为OD<OB，即sin θ<1，所以sin θ<，所以0<θ<， 所以CD＝cos θ＋sin θ，θ的取值范围为. (2)设观光道路长度为L(θ)， 则L(θ)＝BD＋CD＋弧CA的长 ＝1－sin θ＋cos θ＋sin θ＋θ ＝cos θ－sin θ＋θ＋1，θ∈， L′(θ)＝－sin θ－cos θ＋1， 由L′(θ)＝0，得sin＝， 又θ∈，所以θ＝， 列表： θ L′(θ) ＋ 0 － L(θ) 增函数 极大值 减函数 所以当θ＝时，L(θ)达到最大值，即当θ＝时，观光道路最长． 【点睛】该题考查的是有关已知三角函数模型的应用问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦定理，函数的性质，辅助角公式，三角函数的最值问题，正确应用公式是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 是否存在一个三角形同时具有以下两个性质：（1）三边成公差为2的等差数列；（2）最大角是最小角的2倍．若存在请求出三边长度，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，三边长依次为：8，10，12 【解析】 【分析】设三边长依次为：，，，则，利用二倍角的正弦公式、正 余弦定理计算建立关于x的方程，解之即可. 【详解】设三边长依次为：，，， 由大边对大角知，则，① 由正弦定理将①式变为，② 由余弦定理，③ 联立②和③：， 得到，由，解得， 所以这样的三角形存在，三边长依次为：8，10，12. 16. 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）若点是的中点，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，根据长度以及位置关系证明出平面，由此可证明平面平面； （2）根据平面结合棱锥的体积公式可求结果； （3）分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出结果. 【小问1详解】 取的中点为，连接，， 由题意得，， 因为在中，，为的中点，所以， 因为在中，，，，，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，是边长为的等腰直角三角形， 故三棱锥的体积为：. 【小问3详解】 因为，，， 所以可以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，所以，故， 令，得，，即， 设平面的法向量为，则，所以，故， 令，得，，即， 所以， 所以由图可知，二面角的余弦值为. 17. 已知直线，圆，直线被圆截得的弦长与双曲线的实轴长相等，双曲线的离心率 （1）求双曲线的方程； （2）设为双曲线上任意一点、直线分别与直线和直线相交于、两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式的应用和几何法求弦长可得，求出b即可求解； （2）分别求出点的坐标，设与轴的交点为，则，结合即可求解. 【小问1详解】 圆心到直线的距离为， 直线被圆截得的弦长为， 由题意得，，故，则， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由和得点A的坐标为， 由和得点的坐标为， 记直线与轴的交点为， 则的面积 又为轨迹上任意一点， ， 的面积. 18. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）甲应该采用“五局三胜制”． 【解析】 【分析】（1）根据乘法公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出； （3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论. 【小问1详解】 若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以． 【小问2详解】 易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 所以的数学期望为：． 【小问3详解】 采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 19. 函数（是常数）. （1）求函数的单调区间； （2）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）求证：当，时，． 【答案】（1）的减区间为，增区间为. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）根据题意求出的值，令，其中，分析可知，直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求出实数的取值范围； （3）推导出，可得出，利用对数的运算性质、对数函数的单调性结合放缩法可证得所求不等式成立. 【小问1详解】 由函数的定义域为，， 因为，由得，由得， 所以函数的减区间为，增区间为． 【小问2详解】 由题意，得，所以，，由（1）知， 由，得，可得， 令，其中， 则，列表如下： 减 极小值 增 且，，则， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）和（2）可知当，时，．即， 所以，当时，．令，则， 所以当，时， ， 即， 所以，． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $