精品解析：广东省广州市第二中学2024～2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

广州市第二中学2024学年第一学期第三阶段学情反馈 初三年级 数学 试卷（满分120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 13个人中至少有两个人出生月份相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 冬天的某一天一定会下雪 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下，一定会发生的事件，掌握相关结论即可． 【详解】解：任意买一张电影票，座位号奇数是随机事件，不符合题意； 因为一年有十二个月，所以13个人中至少有两个人出生月份相同，符合题意； 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； 冬天的某一天一定会下雪是随机事件，不符合题意； 故选：B ． 3. 已知的半径等于，圆心到直线的距离为，那么直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离小于半径，则圆与直线相交，若圆心到直线的距离等于半径，则圆与直线相切，若圆心到直线的距离大于半径，则圆与直线相离，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径等于，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相离， 故选C． 4. 函数的图象，经过怎样的平移交换以后，可以得到函数的图象（ ） A 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”即可． 【详解】解：函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即可得到函数的图象， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟知二次函数图象平移的规律，即“左加右减，上加下减”． 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 经过点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意； 对称轴为直线，故C选项正确不符合题意； 当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确不符合题意． 故选：B． 6. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，列式，即可作答． 【详解】解：设平均每月降价百分率为， 根据题意有：， 故选：C 7. 如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查考查了切线长定理，设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可． 【详解】解：如图， 设， ∵直角三角形的内切圆分别与、、相切于点、点、点F， ，, ，， 在中，， 解得， 即的长度为． 故选D． 8. 如图，用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5，弧长是，那么围成的圆锥的高度是（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设底面圆的半径为r，根据弧长等于底面圆的周长可求得底面圆的半径，在利用勾股定理即可求解 ． 【详解】解：设底面圆的半径为r，则， 解得：， 圆锥的高为：， 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥的高及勾股定理，熟练掌握圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长是解题的关键． 9. 如图，直线与抛物线交于，两点，如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．把代入求出m，再把代入求出n，然后利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：把代入得， ， ∴， 把代入，得 ， ∴． ∵直线与抛物线交于，两点， ∴关于x的不等式的解集是：或． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，，为外任意两点，且．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．下面说法正确的是（ ） ①平移线段得到的长度为1的弦和，则；②平移线段得到的长度为1的弦和，平移后弦和间的距离为；③若点，都在直线上，则线段到的“平移距离”的最小值为；④若点的坐标为，则线段到的“平移距离”的最小值为． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由平移的性质可知，，，可判断①的正误；如图1，连接，，作于，于，由垂径定理可知，，由勾股定理得，，同理，，则平移后弦和间的距离为，可判断②的正误；如图2，作等边，使点在轴负半轴上，，记直线交轴于，交轴于，则，，如图2，过作于，则即为线段到的“平移距离”，由，可得，则，进而可判断③的正误；如图3，以为圆心1为半径作，作直线交于，交于，以为邻边构造平行四边形，以为边构造等边、，则，的长即为线段到的“平移距离”，当与重合时，的值最小，，可判断④的正误． 【详解】解：由平移的性质可知，，，①正确，故符合要求； 如图1，连接，，作于，于， 由垂径定理可知，， 由勾股定理得，， 同理，， ∴平移后弦和间的距离为，②错误，故不符合要求； 如图2，作等边，使点在轴负半轴上，，记直线交轴于，交轴于， 当时，，即； 当时，， 解得，，即； 如图2，过作于，则即为线段到的“平移距离”， ∵， ∴， ∴， 由题意知，， ∴线段到的“平移距离”的最小值为，正确，故③符合要求, 如图3，以为圆心1为半径作，作直线交于，交于，以为邻边构造平行四边形，以为边构造等边、，则， ∴的长即为线段到的“平移距离”， 当与重合时，的值最小，，④错误，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，垂径定理，勾股定理，正切，正弦，等边三角形的性质，平行四边形的性质等知识．理解题意，熟练掌握平移的性质，垂径定理，勾股定理，正切，正弦，等边三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11. 若抛物线与轴交于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数的关系．根据根与系数关系定理求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 故答案为：． 12. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据球的总数和白球对应频率即可求得白球的个数． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右， ∴袋中白球的个数约为（个）， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13. 圆心角为，半径为2扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式；直接利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：圆心角为，半径为2的扇形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理得出，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解；如图，连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，点A的坐标为， 第2次旋转结束时，点A的坐标为， 第3次旋转结束时，点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第101次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 16. 抛物线过点，，与轴交于，两点（点在点的左侧），若点为轴上一点，点满足，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用待定系数法求得抛物线解析式，求得点，根据题意可知点在以为直径的圆周上，设线段的中点为M，则，半径，作点D关于y轴的对称点G，过点G作轴，则点，，，有，当点G、E、F、M三点共线时取的最小值，利用勾股定理求得，则． 【详解】解：把点，代入抛物线， 得 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）， ∴，化简得，解得， 则点， ∵点满足， ∴点在以为直径的圆周上， 设线段的中点为M， ∴，半径， 如图，作点D关于y轴的对称点G，过点G作轴， 则点，，， ∴， 当点G、E、F、M共线时取的最小值， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、90度的圆周角所对的弦是直径、对称性、三点共线和勾股定理，解题的关键是熟悉圆周角定理和对称性． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 【答案】， 【解析】 【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 18. 如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转后得到． 求的度数； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰三角形的性质，旋转的性质是解题的关键．  根据题意，，由旋转的性质可得与重合，，，由即可求解．  【详解】解：∵是等腰直角三角形，,， ∴， ∵将 绕点 顺时针旋转后得到， ∴与重合，， ∴， ∴， ∴ 的度数为．  19. 粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． （1）如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：∵决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝 ∴只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的结果有2种， （李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”）． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求（1）中所作的的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）过点O作于点H，根据角平分线性质得到，判定点H在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：过点O作于点H， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∴， ∴点H在上，是的切线， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，是解决本题的关键． 21. 中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，兼具科学和人文的双重属性．为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地．设中草药种植地边的长为米，面积为平方米． （1）直接写出与的函数关系式：______，并写出的取值范围：______； （2）当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当边的长为5米时，中草药种植地面积最大，最大面积是45平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）由可得出， 再根据长方形的面积公式表示出与的函数关系式，并求出其的取值范围即可． （2）根据二次函数的图像和性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：米， ∴， ∵墙的最大可用长度为9米 ∴， ∴． 故答案为：， 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， 最大值为（平方米．） 故当边的长为5米时，中草药种植地面积最大，最大面积是45平方米． 22. 如图，为直径，为上一点，，交于，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可证，即可得是的切线； 延长交于点，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得，利用勾股定理可求，在根据勾股定理 即可求出圆的半径． 【小问1详解】 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； （3）点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积，线段最短等问题． （1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，交对称轴直线与点M，可得出点A，M，D三点共线，则的值最小，最小值为，求出抛物线的对称轴和直线的解析式，进而可得出点M的坐标． （3）过点P作轴交直线于H，设出点P和点H的坐标，通过铅锤高表示出即可求出最大面积． 【小问1详解】 解：将，代入得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点D与点C关于直线l对称，且直线l为对称轴，连接，交对称轴直线与点M， ∴此时点A，M，D三点共线，则的值最小，最小值为， 对于抛物线， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵点D与点C关于直线l对称，且直线l为对称轴， ∴， ∵， 设直线的函数关系式为：， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为：， ∴当时，则， ∴ 【小问3详解】 解： 过点P作轴交直线于H， 设，则， ∴ ， ∴， 当时，最大为． 24. 正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． （1）若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； （2）如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； （3）如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 【答案】（1）或； （2），理由见解析 （3）1． 【解析】 【分析】（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解； （2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到； （3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵正方形， ∴， 当点E在优弧AD上时，， 当点E在劣弧AD上时，， 综上，的度数为或； 【小问2详解】 ，理由如下， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点， ∴， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴，， ∴当边上的高最小时，面积取得最小值， ∴当点与点A重合，此时点E与点D重合， ∴边上的高就是的长， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 已知抛物线：过点和点，且，直线：过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． （1）求抛物线的对称轴； （2）求直线的解析式； （3）若直线绕点顺时针旋转后得到直线，直线交抛物线于，两点，且点在点左侧，在直线的上方是否存在点使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线 （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）根据对称轴为，代入计算解答即可． （2）设，根据的周长为，的周长为，且，列式计算，得到．根据点，代入直线的解析式解答即可． （3）设对称轴与交于点M，则，根据旋转的性质，直角三角形的性质，确定直线，联合抛物线的解析式，确定点E的坐标，再根据等腰直角三角形的性质，两点间的距离公式，正方形的性质，待定系数法分类解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵抛物线：过点和点，且，直线：过点，交线段于点， 设， ∵对称轴为直线． ∴点C在抛物线的对称轴上， ∵点和点， ∴点和点是对称点， ∴，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 设对称轴与交于点M，则， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点顺时针旋转后得到直线，直线交抛物线于，两点，且点在点左侧， ∴， 设直线与交于点G， ∴， ∴， 则， 设直线的解析式为， 则 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过点C作于点C，且，与交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得， ∴直线的解析式为， 设， 根据题意，得，， 解得，， 当时，点P位于直线的下方，不满足题意，舍去， ∴， 解得， ∴； 过点E作于点E，且， ∴， ∴， 设， 根据题意，得，， 解得，， 当时，点P位于直线的下方，不满足题意，舍去， ∴， 解得， ∴； 连接，则四边形为正方形，连接，二线交于点，则是等腰直角三角形，符合题意， 根据，， ∴， 综上所述，在直线的上方存在点使得是等腰直角三角形，且坐标分别为，，． 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴的计算，待定系数法求解析式，旋转的性质，特殊角的三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，两点间的距离公式，正方形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，特殊角的三角函数，等腰直角三角形的性质，两点间的距离公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2024学年第一学期第三阶段学情反馈 初三年级 数学 试卷（满分120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 13个人中至少有两个人出生月份相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 冬天的某一天一定会下雪 3. 已知的半径等于，圆心到直线的距离为，那么直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 函数的图象，经过怎样的平移交换以后，可以得到函数的图象（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 经过点 6. 某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5，弧长是，那么围成的圆锥的高度是（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图，直线与抛物线交于，两点，如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，，为外任意两点，且．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．下面说法正确的是（ ） ①平移线段得到的长度为1的弦和，则；②平移线段得到的长度为1的弦和，平移后弦和间的距离为；③若点，都在直线上，则线段到的“平移距离”的最小值为；④若点的坐标为，则线段到的“平移距离”的最小值为． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③ 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11. 若抛物线与轴交于点，，则______． 12. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 13. 圆心角为，半径为2的扇形的面积为______． 14. 如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为______． 16. 抛物线过点，，与轴交于，两点（点在点的左侧），若点为轴上一点，点满足，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 18. 如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转后得到． 求度数； 19. 粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． （1）如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作一个圆，使圆心O在边上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求（1）中所作的的半径． 21. 中医药作为中华民族原创医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，兼具科学和人文的双重属性．为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地．设中草药种植地边的长为米，面积为平方米． （1）直接写出与的函数关系式：______，并写出的取值范围：______； （2）当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 22. 如图，为的直径，为上一点，，交于，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上一个动点，当的值最小时，求点的坐标； （3）点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积最大值． 24. 正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． （1）若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； （2）如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； （3）如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 25. 已知抛物线：过点和点，且，直线：过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． （1）求抛物线的对称轴； （2）求直线的解析式； （3）若直线绕点顺时针旋转后得到直线，直线交抛物线于，两点，且点在点左侧，在直线上方是否存在点使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $