精品解析：山东省日照市新营中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷

2024-2025学年上学期单元测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ） A. 总价一定，单价和数量 B. 圆的周长一定，它的直径和圆周率 C. 速度一定，路程和时间 D. 正方形的边长和面积 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断．根据乘积一定的两个相关联的量是成反比例关系，逐项判断即可． 【详解】解：因为总价等于单价乘以数量，可知单价和数量乘积为定值，符合反比例的意义，所以A符合题意； 因为圆的周长一定，直径为定值，不成比例，所以B不符合题意； 因为速度等于路程除以时间，可知路程和时间的比值为定值，符合正比例的意义，所以C不符合题意； 因为正方形的面积等于边长的平方，不成比例，所以D不符合题意． 故选：A． 2. 下列相似图形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 根据对应边是否平行判断即可． 【详解】解：由各选项图形可知，，，选项的相似图形是位似图形，选项的相似图形不是位似图形． 故选：C． 3. 在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，、、均为格点，为上一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后根据正弦等于对边比斜边即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接． ∵， ∴， ∴． 故选B． 4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，特别是图象共存的问题，掌握以上知识是解题的关键．根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴平分，， 故选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意， 故选：C． 6. 图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出进而根据列出比例式，代入数据，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，．， ∴， ∴物体的高度为． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，由题由易得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 8. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．连接交于O，由平行四边形的性质得到，，进而，利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】接：连接交于O， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则，根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，，进而得到，证明，得到，由于是定值，所以若要最大，则最大，得出当与重合时，，此时有最大值，即，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则， 在矩形中，，， ， ，即， ， 同理可得：， ， ，， ， 又， ， ， 是定值， 若要最大，即最大，则最大， 当与重合时，，此时有最大值，即， 的最大值是， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证明，从而得出若要最大，则最大． 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】让未知数的指数为-1，系数小于0列式求值即可． 【详解】∵是反比例函数， ∴m2-2=-1， 解得m=1或-1， ∵图象在第二、四象限， ∴2m-1＜0， 解得m＜0.5， ∴m=-1， 故答案为-1． 【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0． 12. 若，则的值等于_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握设k法是解题的关键． 由题意可设，代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 13. 如图，将圆桶中的水倒入一个直径为，高为的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．根据已知条件得到依题意得是一个斜边为的直角三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到此三角形中斜边上的高应该为，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为， ∴依题意得是一个斜边为的直角三角形， ∴， ∴，， ∴此三角形中斜边上的高应该为， ∵圆口容器的高为， ∴该容器中水的深度至多为， 故答案为：． 14. 《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线与边相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离为_______米． 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意可以利用正方形的性质求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，从而运用相似三角形的性质求解ED，即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD为正方形，边长为10米， ∴AD=CD=BC=10，FD=CD-CF=6， ∵AD∥BC，且A，D，E三点在一条直线上， ∴AE∥BC， ∴△FDE∽△FCB， ∴， 即：， ∴ED=15， ∴AE=AD+ED=25米， 故答案为：25． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质的实际应用，准确判断出相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 15. 如图，在反比例函数的图象上有一点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则_______________． 【答案】8 【解析】 【分析】作出辅助线利用三线合一性质得到，证明， 在中， 设，进而表示出点A，根据t，即可求解． 【详解】如图所示，连接，作轴交于点，作轴交于点． ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得，， ∴， ∵ ∴． 在和中，， ∴，在中， ， ∴，设，则有、，解得， ， ∴， ∵点在上， ∴整理得： ∵点C在上运动， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质以及三角函数，综合性强，难度较大，连接，作轴交于点，作轴交于点．构造是解题关键． 16. 我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点A，点在线段的延长线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据题意以及两个函数图象，找到区域内恰有5个整点的临界情况，然后结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 在函数中，当时，由得， 当时，由得， 由图象可知，当时，区域内恰有5个整点， 故答案为：． 三、解答题：（共七道大题，72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可； （2）分别计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）是， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，位似作图，求位似中心． （1）先画出平移后各点的对应点，再依次连接即可； （2）先画出位似的对应点，再依次连接即可； （3）连接并反向延长，相交于点M，点M即所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问3详解】 解：由图可知，和是位似图形，位似中心M的坐标为． 19. 某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，且B、D、E、G在同一水平线上． （1）请求出的距离； （2）请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】（1）的距离为6米 （2）凌霄塔的高度为38米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得米； （2）证明，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， ，，， ， ， ， ， 解得米， 答：的距离为6米； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 解得：米， 凌霄塔的高度为38米． 20. 如图，在中，，，点为边上的动点（不包括，两点），以点为顶点作，射线交边于点，过点作，交射线于点，连接． （1）求证：； （2）探索：点在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 【答案】（1）见解析 （2）不变化， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再证，然后由相似三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作于M，由等腰三角形的性质得，再由锐角三角函数定义得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：不变，理由如下： 过点A作于M，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即的值不变化． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E．已知点，点． （1）连接，求的面积； （2）若点P为直线上一动点，是否存在一点P使得以D，E，P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12 （2）存在，综上：或 【解析】 【分析】（1）将点C代入解析式可求反比例函数解析式，即可得点D坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）过点E作于点P，通过等面积法，得，设，根据两点距离公式，列式即可求解，或当点与点重合时，，此时，也满足题意． 【小问1详解】 解：把代入，得， 则反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴D点坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：存在， 如图，过点E作于点P， 将、代入， 得， 解得， 则直线的解析式为， ∴当时，，则 当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ 设， 即 则 解得 把代入 解得 ∴点 当点与点重合时，，此时， 此时点 综上：或 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了两点距离公式、待定系数法求反比例函数、勾股定理、等面积法，相似三角形判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22. 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … （1）若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②，；③见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设，利用坐标与图形性质得，进而由解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由得，则， ∴关于的函数解析式为； ②当时，； 当时，； 故答案为：； ③列表： 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点，连线，可得该函数的图象： 【小问3详解】 解：如图， 由题意，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴, 由得， 解得，， 经检验，和是所列方程的解， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为或． 23. 【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系． 【问题探究】 （1）如图，1，当时，直接写出，的位置关系为______；与的数量关系为_______． （2）如图2，当时，（1）中结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．（与的数量关系可用含式子表示） 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见详解；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点在线段上时，当点在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）延长交于点，如图， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：；； （2）成立，理由如下： 如图延长交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）当点在线段上时，连接，如图所示； 设，则， 根据（2）可知， ， ， 根据（2）可知，， ， 根据勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 此时； 当点在线段上时，连接，如图所示， 设，则， 根据（2）可知， ， ， 根据（2）可知， ， 根据勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 此时； 综上，或． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、解一元二次方程和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法和分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期单元测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ） A. 总价一定，单价和数量 B. 圆的周长一定，它的直径和圆周率 C. 速度一定，路程和时间 D. 正方形的边长和面积 2. 下列相似图形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，、、均为格点，为上一点，，则的值是（ ） A B. C. D. 4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B. C. D. 5. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 6. 图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要4min B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于水 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 10. 如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 12. 若，则的值等于_______________． 13. 如图，将圆桶中水倒入一个直径为，高为的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为_____________． 14. 《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线与边相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离为_______米． 15. 如图，在反比例函数的图象上有一点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则_______________． 16. 我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点A，点在线段的延长线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是______________． 三、解答题：（共七道大题，72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 19. 某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，且B、D、E、G在同一水平线上． （1）请求出的距离； （2）请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 20. 如图，在中，，，点为边上的动点（不包括，两点），以点为顶点作，射线交边于点，过点作，交射线于点，连接． （1）求证：； （2）探索：点在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E．已知点，点． （1）连接，求的面积； （2）若点P为直线上一动点，是否存在一点P使得以D，E，P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 22. 【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力×动力臂.如图1，即）.受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置；其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 10 20 30 40 50 … … 8 2 … （1）若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____________； （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是________________． ②完成表格：______________；________________． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 23. 【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接，，探究，位置关系． 【问题探究】 （1）如图，1，当时，直接写出，的位置关系为______；与的数量关系为_______． （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．（与的数量关系可用含式子表示） 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $