精品解析：江苏省南通市第一初级中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

南通市第一中学2024~2025学年度第一学期单元练习 初二数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 式子与的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 若m，n的值均扩大为原来的10倍，则下列分式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式与相等的是（ ） A B. C. D. 8. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ） A 6 B. 9 C. 13 D. 16 10. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、填空题（共8题，第11~12题每小题3分，13~18题每小题4分） 11. 如果式子有意义，则x的取值范围为________． 12 分解因式：________． 13. 国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为_____米． 14. 分式的值是正整数，则整数x＝________． 15. 若实数满足，则值为______． 16. 若关于的方程无解，则的值是________． 17. 已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是______． 18. 设，则的值为________． 三、解答题（本大两共8小题，共90分．） 19. 计算 （1） （2） 20. 分解因式： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中满足． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 23. 已知，求下列各式的值． （1） （2） 24. 某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍． （1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？ 25. 综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 ； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式 ； （3）利用（2）中，得到的结论，解决问题：若，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 26. 阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： （1）已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； （2）已知，，求最小值． （3）某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南通市第一中学2024~2025学年度第一学期单元练习 初二数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查零指数幂运算，熟记是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 式子与的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分解因式，先由平方差公式分解因式得到、再由提公因式法分解因式得到，从而确定答案，熟练掌握提公因式法分解因式、公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解：；， 式子与的公因式是， 故选：A． 5. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：， ． 故选：C． 6. 若m，n的值均扩大为原来的10倍，则下列分式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：A、变化为，分式的值改变，不符合题意； B、变化为，，分式的值不变，符合题意； C、变化为，分式的值改变，不符合题意； D、变化为，分式的值改变，不符合题意； 故选：B． 7. 下列各式与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及因式分解、约分等知识，将各个选项分子分母分解因式，约分后比较结果与是否相等即可确定答案，熟练掌握分式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 8. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设边衬宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 9. 若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ） A. 6 B. 9 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．分别表示出分式方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故选：C． 10. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用整式的混合运算，结合实数满足，将化简为，再由配方法及平方非负性确定，最后由不等式的性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解： ， 实数满足， ， ， ， ， ， 综上所述，， 则， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法、完全平方公式、平方差公式及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则及配方法恒等变形是解决问题的关键． 二、填空题（共8题，第11~12题每小题3分，13~18题每小题4分） 11. 如果式子有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握方式有意义的条件即“当分母不为零时，分式有意义”是解本题的关键．根据分式的分母不为零，即即可解答． 【详解】解：有意义， ． 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根据多项式结构特征，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案，综合运用提公因式法及公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】7纳米＝0.000 000 007米＝米． 故答案为． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 14. 分式的值是正整数，则整数x＝________． 【答案】3或9 【解析】 【分析】本题考查分式的值，根据题意得出的值求解即可． 【详解】由题意可知：或7 当时， ∴，符合题意 当时， ∴； 综上所述，或9； 故答案为：3或9． 15. 若实数满足，则值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：实数满足， ， 解得， ， ． 故答案为：9． 16. 若关于的方程无解，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1得到，再由分式方程无解得到，确定关于的方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 关于的方程无解， ，即，则， 解得， 故答案为：． 17. 已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是______． 【答案】2034 【解析】 【分析】根据，依题意，分两种情况讨论，求得的值，进而求得答案． 【详解】解：∵ ∴时， 则 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 则 当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，整式的加减，代数式求值，分类讨论是解题的关键． 18. 设，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 三、解答题（本大两共8小题，共90分．） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式综合运算，涉及到二次根式的性质、二次根式的乘法运算及二次根式除法运算公式，熟练掌握二次根式加减乘除混合运算法则是解决问题的关键． （1）根据平方差公式二次根式的乘方运算求解即可； （2）根据二次根式的性质、二次根式的乘法运算及二次根式除法运算分别求解后，利用二次根式加减运算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 20. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键，注意因式分解要彻底． （1）先提取公因式a，再利用公式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 21. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先由，结合平方非负性、二次根式非负性得到，再由分式混合运算将化简，再将代入化简后的式子求解即可得到答案． 【详解】解：满足， 由、可知当、才能使， ， ， 将代入，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及分式混合运算、平方非负性、二次根式非负性及非负式和为零的条件等知识，熟练掌握非负式和为零的条件及分式化简求值方法是解决问题的关键． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解后，验根即可得到答案． （1）先去分母，再去括号，合并同类项，移项即可得到答案，注意分式方程需要验根； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1即可得到答案，注意分式方程需要验根． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，，即是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 23. 已知，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键． （1）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； （2）首先把所求的式子通分后利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ． 24. 某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍． （1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？ 【答案】（1）A种品牌套装每套进价为10元，B种品牌套装每套进价为7.5元；（2）最少购进A品牌工具套装17套． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用两种套装的套数作为等量关系列方程求解.(2)利用总获利大于等于120,解不等式. 试题解析： （1）解：设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元． 根据题意得：=2×， 解得：x=7.5， 经检验，x=7.5为分式方程的解， ∴x+2.5=10． 答：A种品牌套装每套进价10元，B种品牌套装每套进价为7.5元． （2）解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套， 根据题意得：（13﹣10）a+（95﹣7.5）（2a+4）＞120， 解得：a＞16， ∵a为正整数， ∴a取最小值17． 答：最少购进A品牌工具套装17套． 点睛：分式方程应用题：一设，一般题里有两个有关联的未知量，先设出一个未知量，并找出两个未知量的联系；二列，找等量关系，列方程，这个时候应该注意的是和差分倍关系：三解，正确解分式方程；四验，应用题要双检验；五答，应用题要写答. 25. 综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 ； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式 ； （3）利用（2）中，得到的结论，解决问题：若，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，以及完全平方公式在几何图形相关计算中的应用，本题具有一定的综合性，数形结合是解决问题的关键． （1）根据图1中大正方形面积的两种求法即可得到结论； （2）边长为的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等，表示出面积列等式问题可解； （3）由（2）中得到结论得到，代入已知条件计算即可； （4）数形结合得到所拼成的长方形或正方形的面积为：，从因式分解的角度看，可分解为或，展开计算即可得的值． 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ， 的值为； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 或7． 26. 阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： （1）已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； （2）已知，，求的最小值． （3）某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 【答案】（1）， （2） （3）当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元 【解析】 【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值； （）把代入化成的 形式，即可求出最小值； （）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案； 本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式． 【小问1详解】 解：由题意得，当 即时，取最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴当，即时，取最小值为， ∴的最小值为； 小问3详解】 解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为， 当，即时，取最小值为， ∴最低费用是(元)， 答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$