辽宁省丹东市敬业实验高级中学2024-2025学年高三上学期期中测试（12月）数学试题

数学试卷参考答案 1.A A=xl4-x0 =(-,4],B={yly=2r1)=(0,+),则AOB=(0,4. 2.B 由 *=-1可得 =士i,所以lc-z|=|-1士il=/2. 3.D取a=-1,b=-2,c=-3,此时b>c,a+b=c,则充分性不成立 取a=3,b=c=1,此时a+b>c,b-c,则必要性不成立 故“>c”是“a十b>c”的既不充分也不必要条件。 4.C 由2a+2b+c=0,得2a+2b=-c,两边平方得4a^{②}+8a·b+4b^{}=c^{},所以4+8a·b+ 4-1,即a·b-- 8 5.C 因为mCa,nC3,mOn=P,aO=/,所以PEl,故选C. 1 ),且 sinacosa,则 sinacos12 7.D 因为S-S-=a+a-=44-27=17,所以S+S-S-2=a+a+a-+a= 2(a+a)-22,即a+a-11.因为s.- n(a:十a) -44,所以-8 8.A 令g(x)-x,则/(c)=g(x-2)+1,所以不等式f(2t)+f(a十)<2可化为g(2t- 2)+1+g(a+t-2)+1<2,即g(2t-2)+g(a+i-2)<0,因为g(x)=x是奇函数,且在 R上单调递增,所以g(2t-2)<-g(a+t-2)-g(-a-t+2),则2t-2<-a-t+2,所以 a<一3t十4在/[-1,2]上恒成立,则a<-2,即实数a的取值范围是(-o0,-2] 9. BCD 因为/(c+3-)-sin(2x++3-)-sin(2x+)--f(x),故A错误;()- [-5--]上的值域为[一1^],故D正确. 10.BC f(x)-3x*-2ax-1,因为-1为f(x)的极大值点,所以f'(-1)=0,解得a=-1; 【高三数学·参考答案 第1页(共6页)】 因为/(一1)一0,所以/(x)恰有两个零点,C正确 以D错误. 11.ACD 根据向量加法的几何意义和空间向量的基本定理,满足0 x<y<1的点P在三梭 点P所有可能的位置所构成的几何体的表面积为(1×1+×1×1)×2+1×v2-3十v2. 设O为BB 的中点,连接PO(图略),所以PB·PB =(PO+OB)·(PO+OB )=P$ ACD. 12.+1 当x<0时,可得一x>0,又因为当x>0时,f(x)=el,所以f(-x)=e, 因为f(x)是偶函数,所以f(x)一f(一x)=e. 所以当x0时,f(x)一e. 13.8π 设正四校锥P-ABCD的底面中心为E,外接球球心为O,显然球 心O在直线PE上. 设正四梭锥P-ABCD的高为h,外接球的半径为R,由AB一3,可得 平面ABCD的距离为OE-h-R, 4nR一8元. 14. sin B+sin C=sin B+sin(A+B)=(1+cos A) sin B+sin Acos B= (1+cos A)+sinA sin(B+)-2+2cos A sin(B+)<V2+2cos A,所以 sinA(sin B +sinC)<sinA 2+2cosA-(2+2cosA)sinA=(2+2cosA)(1-cosA). 记函数/(t)=(2+2t)(1-),(-1,1),则/()=2(1-1)+(2+2)×(-2t)=(1+ 【高三数学·参考答案 第2页(共6页)】 15.解:(1)因为 sin B(1+2cos C)-2sin AcosC+cos AsinC,所以 sin B+2sin Bcos C= sinAcosC+sin(A+C). 又sin(具.-..............................分. 因为△A妈Byo为锐..,.所以cec..s o.则.s.s.si.A.........5分 ........................................................................... 6分 1 则△ABC的面积S- 1 ........................................................................ 10分 在△ABC中,由余弦定理得c*}-a*+b{-2abcosC=4士1-2×2x1×- -4.....12分 1 则c-2. ................................................................................... 13分 16.(1)证明:连接NP,A.P,设A.P交NC 于点D,连接DM 易知四边形A.NPC;为平行四边形,所以D为A.P的中点, ................. 因为M为A.B:的中点,所以MD/B.P. 又MDC平面MNC.,B.PC平面MNC.,所以B.P/平面MNC. .............. (2)解:在直三校柱ABC-ABC 中,C.C 平面ABC,且 /BCA= 90{}.以点C为坐标原点,CA,CB,CC。所在的直线分别为x轴、v轴、 A :轴,建立如图所示的空间直角坐标系 1 o).Ce...................分 设n一(x,y,)为平面MNC的一个法向量 令x三..1.......-.1.)............................... .1分 n.CN-x-z-0. 易知n=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量; 13分 所以平面C.MN与平面ABC夹角的余弦值为 .......................................... 3 15分 【高三数学·参考答案 第3页(共6页)】 17.(1)证明:取DC的中点M,取DM的中点O,连接OA,OE,AM,ME.因为AB/MC,且AB -MC,所以四边形AMCB是平行四边形,所以AM一BC一 10 又AD一 10,所以△ADM是等腰三角形,同理得△EDM是等腰三角形, 可得OAL DM:OE DM,OA-一、AD-(^DM)}-3.OF一ED-(^DM){}-3, 又AE-2v③,所以OA十OE^*=AE*,所以OA.OE. 又OA1DM,OEODM=O,OE,DMC平面DCFE,所以OA1平面DCFE...... 5分 因为OAC平面ABCD,所以平面ABCD 平面DCFE. ..................... (2)解:以O为原点,OE,OC,OA)为基底建立如图所示的空间直角 坐标系,则A(0,0,3),B(0,2,3),D(0,-1,0).E(v3,0,0),F(3 2.0). DA-0,1.3).DDF-(V.,1.0),FB-(1)V .0.3)..8分. 设n一(x,v,)为平面ADE的一个法向量; (n·DA-y十3-0. 令 -1,得y--3,x-v3,n-(,-3,1). .................. nDE-3x+y-0. 10分 设FP-FB-(-3,0,3),AP与平面ADE所成的角为0. 则AP三-.F.F.............)...........................11分 3-3-6-3+3| 69 nAP 91 13·(3-3)+2+(-3+3)” 13分 15分 18.(1)解:当a-2时,f(x)-(x-1)lnx-2(x+1),则f(1)=-4. ................. f”(.x)-ln-1 -2,则.'.....2............................. 2分 故曲线y-f(x)在x-1处的切线方程为y-(-4)一-2(x-1),即2x+y+2-0. __ )1 2xlnx十x2-1 ............................................. 6分 x(x十1){ 令g()一 x(r十1)2 【高三数学·参考答案 第4页(共6页)】 x十1 ................. x十1 故ag...三...的.取..范... ..................9分 (ii)证明:由题可知0x.<1x。 7+1 ....................................分. 当x>0且x≠1时,易知x取两个互为倒数的数时,函数值相等 因为g(x)=g(x)三a,所以x.x互为倒数,即xx-1,....................... 13分 (x+1D)(x,+1)=xx+(x+x。)+1xx+2xx+1=4. .............. 当且仅当x一x。一1时,等号成立. 因为...1..,所..x....1.4........................17分 19.解:(1)因为点列(A。)的特征根为1和2,所以(A。)的特征方程为x{-3x-2,所以OA。2 则A....2.(...),.即.B..三.2....................2分 所以OB=2-OB-2-(OA-OA )-21.(-1,1)-(-2-1,2*-), 所以点B.......2......................分 由OA=30A-20A,得OA-20A=OA-20A,即OC =OC$ 所以OC=OC-OA-2OA -(-2,1),所以点C.的坐标为(-2,1). ........分 (2)由(1).知.B ·...-2x..- 2..--3.2-, ..............6分 f.=3(n +4n-6n^{}+4n-1)2”-1-3[2n-(n -4n+6n2-4n+1)]2”-1 ..... 7分 -32n -(n-1)]2“-1 ............................................................................. 8分 -3n2-(n-1)2-1], 所以$-3[1×2-0×2*+2×2-1×2+..+n2-(n-1)2-1]-3n2”.......$ (3)因为OB=OA-OA,OC$-OA.-2OA,所以OA=OB-OC$=(2-2-. 2“-1-1),所以点A。的坐标为(2-2-1,2*-1-1). .............................. 设2-1-,2-, OA 【高三数学·参考答案 第5页(共6页)】 14分 设OA =>OA.-qOA.,则2-tk^{}=p(2-tk)-q(2-1)①,th^{}-1=p(th-1)-q(t -1②. ①十②得......即................................................... 15分 将一q十1代入②得tk{一(g十1)t一qt,因为a)是各项都为正整数的等差数列, 且d0,所以a>0,2->1,又2*-->0,所以(-1)(-q)-0, 得三................................... 16分 又--2,-+1-2+1, 所以A。的特征方程为x^=(2十1)x-2,特征根为1和2 ........................ 17分 【高三数学·参考答案 第6页(共6页)】数学试卷 8.已知涵数f(r)-(-2) +1,对于任意的t[-1.2],不等式f(2)+f(a+1)2伍成 立,则实数a的限是 C.[-3.40o] A.(-.-] B(-00.-10] D.[7.+) 连意事项: 二、选择题:本题共3小题,每小题5分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 1.答题前,考生务必将自已的姓名,考生号,考场号、座位号填写在答题卡上。 末.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号深 黑,如需改动,用梳皮擦干净后,再选涂其他答案标号,间答非选样题时,将答案写在 9.已知涵数fr)-sin2r+),则 答题卡上,写在本试卷上无效。 A./(+)-/() 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交目. 4.本试卷主要考试内容:集合、意用逐提用语,不等式、涵数与导数,三角函数、平 B:-5是/(x的一个 面向量,复数,数引,立体几何. C./(x)的图象关于直线.-2-对称 一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要隶的. D.f(一r)在[--]上的域为[-1. 1已知合A14-r0.B-v2:AB A.(.4] B-1,4] 10.已短肠数((x)=r二x一x+a,一1为((r)的极大值点,下列结论正确的有 C.o.A] D.(1.4] A*1 2.已知复数:满是-1.期1-- .()的极小为-32 2 C A.1 D.5 C.f(r)恰有两个零点 3.已知。,””是“+“的 D.直线5x十3y+3-0是f(x)的一条标线 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 11.在按长为1的正方体ABCD-A.B.C.D.中.P为正方体内(&括表面)一选点.已知A声. C.充要件 D.既不充分也不必要件 A+AD+aA若1. 4.已知向量a.bc满足2a+2+e-.]a--lcl-1.则a·b- _ _-} A A.点P所有可能的位置所构成的几何体的体积为。 B.点P所有可能的位置所构成的儿祠体的表面积为2士② 5.已知,.是三不同的直线..是两个不的平面10-lCa.C. -P.下到说正确的是 C.P·PB的小值为 A.m1 BrLa D.可可的最大为2 C.PEi Dm1: 三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分 6.若。(o,x),且 sina-60-则un:等于 12.已知函数f(2)是偶涌数,当:0时。/(r)-,则<o时,f(r)△. A3 B去 C D 2→ 为_△. 7.设S.是等差数列a.)的前n项和,若5.-5.5,-27.5.-44.则m 14.设A.B.C是一个三角形的三个内角,则当sinA(siB十sinC)取得最大值时,c08A C7 A5 H$ D.8 1高三数学 第1页(共4页】 【高三数学 第2页(共4页1】 四、答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,语明过程或演算步题 18.(17分) 15.(13分) 已知函数/(c)=(r-1nr-a(r+1) 说角八ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.已知sinB(3+2cosC)-2sinAcosC4 (1)当。一2时,录曲线x二(+)在5=1处的切线古段 cnsAsinC. (2)若。0.且.七.是()的两个零 (求的值; (ì)求a的淑值范围 (ii明;(z.+1r.+14 16.(15分) 在直三社ABC-A.B.C.中.CA-CB-1.乙BCA一0AA.-2.M.N.P分别是A.B A.A.C.C中点 (1)证图:B.P面MNC 19.(17分) (2).平语C.MN与平面ABC夹角全夜 在平面直角坐标系中.0是坐标原点.若点列(A.)中的3个相邻的点A..A..A.一满是 OA.一OA一A(毛y),刻称关于:的方程”一一是(A的特方程,将 方程”=pr一的实数根称为[A.)的特征根.已知A(1.0),A.(0.1),点列(A.)的特征根 为1和2.0B-0A.-0A0C-0M-20A (1)求点B.,C.的坐标; (2设f-w'+4-6+4-10..0C,数列f.)的前:项和$ $ (3)若u.)是公差为d(0)的等差数列:且各项都为正整数:。.和是已知的常数,求点 17.(15分) 列A.)的特征根 如图:在多面ABCDEF 中:AB/CD.CD/FF.AB-DE=FF-CF-2.AD-HC 10.AF-2/.cD-4 (1)证明:平ACD1平面DCFE ,.速FP. 【高三数学 第3页1共4页)】 【高三数学 第4页(共4页)】