精品解析：广东省汕头市潮阳黄图盛中学2024-2025学年高二上学期12月阶段考试数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段性考试 高二 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ） A. （-3，1） B. （-，-） C. （，） D. （-，） 6. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆交于，两点，当取得最小值时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 10. 下列说法正确的是( ) A. 直线的倾斜角的范围是 B. 直线恒过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 方程表示的曲线是双曲线的右支 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为六边形 B. 点G到平面的距离为定值 C. 若，且，则G为棱的中点 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为_________． 14. 已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求B. （2）若，，___________，求. 在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 17. 甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． （1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； （2）若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 18. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． （1）证明：平面； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 19. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点. （1）求点的轨迹的方程； （2）点、在曲线上，以为直径的圆经过原点，作，垂足为.试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性考试 高二 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为, 则倾斜角为. 故选：D. 2. 已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率求得即得渐近线方程． 【详解】，，， 故选：B 3. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围． 【详解】当时，两直线分别为：，， 两直线斜率相等，则平行且不重合． 若两直线平行且不重合，则 或， 综上所述，是两直线平行的充分不必要条件． 故选：A 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 5. 已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ） A. （-3，1） B. （-，-） C. （，） D. （-，） 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线， 由于圆与直线相交， 所以，解得. 故选：D 6. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据抛物线的标准方程可知焦点，准线方程为， 由抛物线定义可知抛物线的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，，则，， . 7. 已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点差法求解即可． 【详解】设，代入椭圆的方程可得，． 两式相减可得：． 由，，代入上式可得： ＝0，化为． 又，，联立解得． ∴椭圆的方程为：． 故选：C． 8. 已知直线与圆交于，两点，当取得最小值时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定过定点，根据垂直关系得到，得到，，计算得到答案. 【详解】圆，圆心为，半径， ，由得，过定点. 设与轴交于点，当最小时，，，， 则，. 因为，所以. 在中，，在中，， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程形式依次判断选项即可. 【详解】当曲线C是椭圆时，，解得或，故A错误； 当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是( ) A. 直线的倾斜角的范围是 B. 直线恒过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 方程表示的曲线是双曲线的右支 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根据直线倾斜角和斜率的关系即可判断； B：将直线按m合并，令m的系数为零解得定点； C：两曲线为圆，根据公切线有三条可知两圆外切，圆心距等于半径之和； D：根据两点间距离公式，设，，，方程可化为，根据双曲线定义即可判断. 【详解】对于A，直线的斜率,， 直线的倾斜角的范围是,,，故A正确； 对于B：直线方程整理为：， 由，解得，故该直线恒过定点，故B错误； 对于C，∵曲线曲线有三条公切线， 两条曲线均为圆，故20－m＞0，即m＜20， 且两圆的位置关系为外切，故圆心距，解得：，故C正确； 对于D，设，，，则方程等价为， 则根据双曲线的定义可知，的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为六边形 B. 点G到平面的距离为定值 C. 若，且，则G为棱的中点 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以，， 所以，则平面与平面为同一平面， 所以平面截正方体所得截面为平面，为四边形，故A错误； 对于B，在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，连接， 因为，且，所以四点共面， 因为在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则，则， 因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，故C正确； 对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为． 考点：相交弦所在直线的方程 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和双曲线定义求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化简得到，即可求得双曲线的离心率. 【详解】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，， 所以为等边三角形，所以 由双曲线定义得， 又由，解得， 则且， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 【点睛】求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法： ①直接求出、，可计算出离心率； ②构造、的齐次方程，求出离心率； ③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解． 14. 已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线定义有，则，，，则得到最小值. 【详解】因为双曲线的焦点为, 圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点, ， (当且仅当三点共线时取等号)， (当且仅当,,三点共线时取等号), ， 的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求B. （2）若，，___________，求. 在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选择条件①：. 选择条件②：. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简条件可得，从而求出； （2）选择条件①：利用向量的加法和数量积运算；选择条件②：利用面积关系进行计算； 【小问1详解】 （1）由正弦定理得，. 因为，所以， 所以，即. 又，则，所以. 【小问2详解】 选择条件①：因为，所以， ， . 选择条件②： 因为BD为∠ABC的角平分线，所以， 则， 解得. 16. 已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出可得椭圆C的方程； （2）联立直线与椭圆方程，求出，再根据可求出结果. 【小问1详解】 依题意得，，所以，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 因为直线的倾斜角为，所以斜率为， 又直线过点，所以直线， 联立，消去并整理得， ， 设，， 则，， 所以， 所以. 17. 甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． （1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； （2）若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）甲获胜有两种情况，分别计算出概率，再相加即可； （2）甲获胜有三种情况，分别计算出概率，再相加即可. 【小问1详解】 第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为； ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为； 综上，甲获胜的概率为. 【小问2详解】 若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为， ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为， ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 18. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． （1）证明：平面； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线， 所以且，所以四边形是平行四边形． 所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面， 又因为平面，所以．又因为， 平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面； （2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时的相对位置，再找出 二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知 ，所以，即底面三角形是直角三 角形．设，则 在中有：， 所以， 当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱 锥的体积最大， （另解：等积转化法： 易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点） 下面求二面角的正弦值： 法一：由（1）得平面，因为平面，所以． 又因为，所以平面． 因为平面，所以，所以是二面角的平面角， 由（1）知为直角三角形，则． 故，所以二面角的正弦值为． 法二：由（1）知两两相互垂直， 如图，以点E为原点，所在直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则． 由（1）知平面，故平面的法向量可取为． 设平面的法向量为， 由， 得，即，即，取，得． 设二面角的平面角为， ， 所以二面角的正弦值为 19. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点. （1）求点的轨迹的方程； （2）点、在曲线上，以为直径的圆经过原点，作，垂足为.试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得知为动圆的直径，从而利用平面向量垂直的坐标表示即可得解； （2）根据题意假设直线的方程，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理求得，再利用平面向量垂直的坐标表示求得，从而推得直线经过定点，进而推得点在以为直径的圆上，由此得解. 【小问1详解】 因为圆心在轴上移动的圆经过点与， 所以为动圆的直径，又动圆经过点，故， 于是，即， 而过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点，则， 故点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在且截距大于0， 故设其方程为， 联立，消去得，， 故，则，故， 因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 则，解得或(舍去)， 故直线为，显然经过定点， 又因为，则点在以为直径的圆上， 取中点，则， 因此，存在定点使得为定值2. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $