精品解析：江苏省四市十一校联盟2024-2025学年高二上学期阶段联测数学试卷

2024～2025学年度第一学期阶段联测 高二数学试题 （考试时间120分钟 总分150分） 命题：东台市唐洋中学 张贤宏 审核：东台市第一中学 练玉娟 邹霞 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 6. “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（ ） A. Q B. R C. S D. T 7. 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分. 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 中存在连续三项成等差数列 C. 中存在连续三项成等比数列 D. 数列的前项和 11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下列条件中，哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）. ①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为；④焦点到准线的距离为；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为. 13. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______. 14. 如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的离心率，实轴长. （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求； 16. 在等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； 17. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 18. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. （1）求椭圆的标准方程; （2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. （3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 19. 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. （1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； （2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列. （3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期阶段联测 高二数学试题 （考试时间120分钟 总分150分） 命题：东台市唐洋中学 张贤宏 审核：东台市第一中学 练玉娟 邹霞 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得． 故选：C． 2. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出焦点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式得到答案. 【详解】中，，故，故焦点坐标为， 渐近线方程为， 故焦点到渐近线的距离为， 由对称性可知，双曲线的焦点到渐近线的距离为2. 故选：B 3. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】D 【解析】 【分析】将,变形为,根据数列,可知是数列的通项公式,即可求得答案. 【详解】根据数列1，，，，3，…， ， 又， ,解得 ， 故选:D. 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆的半径，即可根据标准式求解圆的方程. 【详解】点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此圆的方程为， 故选：D 5. 已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值. 【详解】已知抛物线上有一点，则，即． 又，故在抛物线的外部， 则， 因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故． 由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值， 则的最小值为． 故选：B 6. “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（ ） A. Q B. R C. S D. T 【答案】A 【解析】 【分析】连接点P和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大. 【详解】 设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则， 因为，所以越小，越大，越大， 所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大. 故选：A. 7. 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用最优分解的思想，结合分类讨论，就可得到数列通项，从而求和即可. 【详解】当，时，，所以； 当，时，，所以； 所以数列的前2024项和为： ， 故选：B. 8. 已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，点在以为圆心以1为半径的圆上，要使得为钝角恒成立，则点在以为直径的圆内部，求解的范围即可． 【详解】圆的圆心，半径， 因为为弦的中点，所以， 又因为，所以三角形为正三角形，所以， 即点在以为圆心，以为半径的圆上，点所在圆的方程为， 要使得为钝角恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部，而在直线上， 到直线的距离， 所以以为直径的圆的半径的最小值为， 所以的最小值为．此时为直角， 所以的取值范围是,． 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分. 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确； 对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得， 双曲线的离心率为， 且双曲线的离心率，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 中存在连续三项成等差数列 C. 中存在连续三项成等比数列 D. 数列的前项和 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项，再逐项判断即得. 【详解】数列中，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即， 对于A，，A正确； 对于B，，，，，即、、成等差数列，B正确； 对于C，假定连续三项、、成等比数列，则， 整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误； 对于D，，则， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意点在以为直径的圆上可判断；对于B，由离心率定义结合正弦定理即可判断；对于C，由斜率公式结合离心率即可验算；对于D，由的关系以及三个三角形的高一样可验证. 【详解】 由，所以为等边三角形，且在以为直径的圆上， 所以，即，A对； 若，则，B错； ，C对； 设的内切圆半径为，则，，， ， ，即，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：得到为等边三角形，且在以为直径的圆上为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下列条件中，哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）. ①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为；④焦点到准线的距离为；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为. 【答案】①③（答案不唯一） 【解析】 【分析】由抛物线方程可知焦点一定在轴上，故①必选，②不选，然后逐个分析判断即可. 【详解】若要得到抛物线的方程为，则焦点一定在轴上，故①必选，②不选. 若选①③，由抛物线的定义可知，得，则抛物线的方程为. 若选①⑤，设焦点，，，， 由，得解得，故抛物线的方程为. 由④可知，故还可选择①④. 故答案为：①③（答案不唯一） 13. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】解：因为，且，所以， 所以数列为等比数列，则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 所以 故答案为: 14. 如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的几何定义，设就可以来研究各焦半径的长度，再利用两个勾股定理就可以求出离心率. 【详解】 设另一个焦点，连接，设则 再根据双曲线的定义可知： 由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得， 所以由勾股定理得：， 化简得：， 再由勾股定理得：， 代入得：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的离心率，实轴长. （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知得、，即可得双曲线方程； （2）由题设可得，联立双曲线方程，应用韦达定理及弦长公式求. 【小问1详解】 由题设，又， 所以，则. 【小问2详解】 由右焦点为，则， 联立双曲线方程，得，整理得， 显然，则，， 所以. 16. 在等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的概念，建立方程组，求得公比与首项，可得答案； （2）根据对数的运算律，可得数列的通项公式，结合等差数列的概念，可得答案； 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 化简可得，整理可得， 由，则，由方程解得， 由，则. 由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则. 【小问2详解】 由，则，， 由数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则. 17. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 【答案】（1）； （2）存在，； （3）22. 【解析】 【分析】（1）应用点斜式写出直线方程，再应用点线距离和弦长公式求相交弦长； （2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，根据已知及点斜式写出符合要求的直线方程即可； （3）记点到的距离分别为，有，根据弦长公式有，应用基本不等式求目标式的最大值. 【小问1详解】 当时，直线为，故， 由圆的圆心为原点且半径为，则圆心到距离为， 所以. 【小问2详解】 假设存在，当弦被点平分时，点是的中点， 连接，则，故，又，即， 所以直线为，则. 【小问3详解】 记点到的距离分别为，有， 又， ， 当且仅当时等号成立， 综上，的最大值为. 18. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. （1）求椭圆的标准方程; （2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. （3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 【答案】（1）； （2）是， （3）和 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得的值，进而分析可得，由公式求出，代入椭圆方程即得； （2）根据题意，设直线PM方程，将其与椭圆方程联立，由根与系数的关系得的坐标，利用PM与PN的关系，得的坐标，然后利用斜率的计算公式化简计算即得. （3）由原点到直线的距离及弦长公式可求出面积，利用二次函数求出最值即得直线的方程. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的半焦距， 由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得， ， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由已知得， 由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数， 可设直线的方程为， 代入，消去得. 设， 所以，可得， 因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数， 所以在上式中以代替，可得， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值. 【小问3详解】 由（1）已得， ,可设直线的方程为：， 代入，整理得：， 则，即， 设，则， 于是，， 点到直线的距离为， 则的面积为： ， 因，则，故当时，取得最大值， 此时直线的方程为, 即和. 19. 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. （1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； （2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列. （3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 【答案】（1） 因为常数， 所以数列为等方差数列，1为公方差； 因为， 所以数列不是等方差数列； （2） 因为是等差数列，设其公差为d， 则， 又是等方差数列，所以， 故， 所以， 即， 所以，故是常数列； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断； （2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解； （3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，而，所以， 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项含前共有项， 令，结合，解得， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略： （1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. （3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $