精品解析：河北省部分学校2024-2025学年高三上学期12月阶段性测数学试卷

2024-2025 学年第一学期 12 月高三阶段测试卷 数学 考试说明:1. 本试卷共 150 分.考试时间 120 分钟. 2. 请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ( 为虚数单位)，则（ ） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法及共轭复数的概念得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以, 故选：C 2. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台的高，结合台体的体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为、， 如下图所示： 在梯形内，，，，则， 故四边形为矩形，所以，，， 在、中，，，， 所以，，所以，， 所以，， 因此，该圆台的体积为. 故选：D. 3. 已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于0且两向量不平行，可求的值. 【详解】由， 由. 所以向量与夹角为钝角时，且. 故选：B 4. 已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，判断数列的有关项的符号，再结合等差数列的求和公式求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以数列为递减数列，，且，. 所以即，所以， . 所以使的最小的的值为19. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 6. 若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解. 【详解】因为数列均为等差数列， 所以. 故选：A 7. 已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形的面积公式及余弦定理求出角，再利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和定理及三角函数的性质即可得解. 【详解】由， 得，所以， 所以，又，所以， 由正弦定理得， 由，得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 8. 在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，利用柱体体积公式可得，计算可得出，利用导数可求得该三棱柱外接球表面积的最小值. 【详解】如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心. 本题中，将直三棱柱放在圆柱中，如下图所示： 设，因为，则， 则的外接圆直径为，， 设，则，可得， ， 令，其中，则， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以，，即， 故该三棱柱外接球的表面积， 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 二、选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，设，从而得到方程组，方程组有解，故三向量共面，不能构成基底；BCD选项，同A，看方程组是否有解，判断能否构成一个基底. 【详解】A选项，设， 即， 所以，解得， 故共面，不能构成空间的一个基底，A错误； B选项，设，即， 所以，无解，故不共面，可以构成空间的一个基底，B正确； C选项，设，即， 故，无解，故不共面，可以构成空间的一个基底，C正确； D选项，设，即， 故，解得，故共面， 不能构成空间的一个基底，D错误. 故选：BC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上的值域为 C. 函数是奇函数 D. 函数的图象可由上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象可得，根据周期可求出，结合图象过点求出，即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；根据三角函数的奇偶性即可判断C；根据周期变换和平移变换的原则即可判断D. 【详解】由图可知，，又， 所以，所以， 则， 又，所以， 所以， 又，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以函数在上的值域为，故B错误； 对于C，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数，即函数是奇函数，故C正确； 对于D，上所有点的横坐标变为原来的倍，得， 再向右平移，得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列的前 项和为 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 是递增数列 D. 是等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题中条件可得，判断A，通过两式相减得，变形可判断B，根据等比数列求出可判断C，由分组求和得出即可判断D. 【详解】对于A，由得，， 故，所以．A正确； 对于B，将与整体相减得，， 所以，又，即， 所以．即，且， 因此是等比数列，B正确； 对于C，因为，所以，由指数函数的单调性可知， 数列是递增数列，故C正确； 对于D，． 所以，显然不是常数，所以不是等比数列，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 13. 已知数列中，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此可得，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 14. 在平行六面体中，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点为的中点，则； ②若点在平面内，则； ③若，则三棱锥的体积为； ④若点为的中点，则异面直线与垂直. 所有正确结论的序号是__________（把所有正确命题的序号都填在横线上）. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先将用表示，再根据数量积的运算律即可判断①；根据空间向量共面定理的推论即可判断②；先说明平面，再根据棱锥的体积公式即可判断③；求出即可判断④. 【详解】对于①，若点为的中点， 则， 则 ， 所以，故①正确； 对于②，点在平面内，则四点共面， 所以，故②正确； 对于③，若，则，所以， 所以共面， 因为都在平面内，所以在平面内， 因为平面平面，平面， 所以点平面， 则三棱锥高即为点到平面的距离， 连接，则， 因为， 所以， 又平面，所以平面， 过点作，垂直为点， 因为平面，所以， 又相交，平面， 所以平面， 所以线段即为点到平面的距离， ，， 所以，所以， 所以， 所以，故③错误； 对于④，若点为的中点， 则， ， 则 ， 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：根据空间向量共面定理说明平面是判断③的关键. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组即可求解，，即可得； （2）由可得，由裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 . 16. 记 内角 的对边分别为 ，且 （1）求角 的大小； （2）若 为锐角三角形，，求 面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正余弦定理边角互化，转化为三角函数，再由两角和正弦公式的逆用化简得解； （2）由正弦定理及三角形面积公式化简得关于的正切函数，再由锐角三角形求范围即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得, 再由正弦定理可得, 即， 因为，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 由题意，， 由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以， 又，所以， 所以，从而， 所以 面积的取值范围 17. 已知四棱锥中，平面，，，， ，点为上靠近的三等分点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在线段上取点，使得，连接、，如下图所示： 因为，则且， 因为，，，则，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）在线段上取点，使得，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 设平面的法向量为，， 则，取，则， 所以，. 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. （1）求的值，并求出的和公比； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式求出，再根据“和等比数列”的定义列出方程即可得解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）分离参数可得，再利用分离常数法求出的最小值即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以数列所以为公差的等差数列， 则， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 则， ， 两式相减得 ， 所以； 【小问3详解】 ， 即， 即， 即， 即，即， 因为，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 19. 图1是直角梯形，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点 到达点的位置，如图2. （1）求证：； （2）若平面平面，在棱上找一点，使得点到平面的距离为，并求的值； （3）在（2）的前提下，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点 ，连接，四边形是边长为2的菱形 则， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点 ，连接，证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先说明即为二面角的平面角，则，以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）根据线面角的向量求法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在菱形中，，则， 所以，所以， 因为， 所以即为二面角的平面角， 因为平面平面， 所以，即， 如图，以点 为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为点到平面的距离为， 所以， 解得， 所以； 【小问3详解】 由（2）得，， 则， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年第一学期 12 月高三阶段测试卷 数学 考试说明:1. 本试卷共 150 分.考试时间 120 分钟. 2. 请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ( 为虚数单位)，则（ ） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 2. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上的值域为 C. 函数是奇函数 D. 函数的图象可由上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移得到 11. 已知数列的前 项和为 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. 是递增数列 D. 是等比数列 三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若，则 _____. 13. 已知数列中，且，则__________. 14. 在平行六面体中，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点为的中点，则； ②若点在平面内，则； ③若，则三棱锥的体积为； ④若点为的中点，则异面直线与垂直. 所有正确结论的序号是__________（把所有正确命题的序号都填在横线上）. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 16. 记 内角 的对边分别为 ，且 （1）求角 的大小； （2）若 为锐角三角形，，求 面积的取值范围. 17. 已知四棱锥中，平面，，，， ，点为上靠近的三等分点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. （1）求的值，并求出的和公比； （2）若，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 图1是直角梯形，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点 到达点的位置，如图2. （1）求证：； （2）若平面平面，在棱上找一点，使得点到平面的距离为，并求的值； （3）在（2）的前提下，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $