天津市南开中学滨海生态城学校2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试卷

天津市南开中学滨海生态城学校2024-2025(上) 高三级部第三次月考 数学试卷 注意事项: 1、本次考试试卷共 20 题, 满分 150 分, 答题时间 120 分钟; 2、答题时需在答题卡上涂学答案,请在规定区域内答题,不按照要求涂写的答案无效。 第 I 卷 一、单选题 (共 45 分) 1. 已知集合 ,则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 2. 对 ,使 恒成立的一个充分不必要条件是( ) A.(-2,2) B.(-1,3) C. D.(-1,2) 3. 某统计部门对四组数据进行统计分析后, 获得如图所示的散点图. 样本相关系数为 样本相关系数为 样本相关系数为 样本相关系数为 下面关于样本相关系数的比较, 正确的是 ( ) A: B. C. D. 4. 函数 的部分图象如图所示,则 的解析式可能是 ( ) A. B. C. D. 5. 已知 ,则 从小到大排列为( ) A. B. C. D. 6. 函数 的图象向右平移 个长度单位得到函数 的图象,若函数 在区间(0, a)上单调递增,则 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”,最上层有 1 个球,第二层有 3 个球,第三层有 6 个球......设各层的球数构成一个数列 ,即 ,且满足 ,则第六层球的个数 为( ) A. 28 B. 21 C. 15 D. 10 8. 已知斜三棱柱 中, 为四边形 对角线的交点,设三棱柱 的体积为 ,四棱锥 的体积为 ,则 ( ) A. B. C. D. 9. 抛物线 上的点 到其焦点的距离是 到 轴距离的 2 倍,过双曲线 的左右顶点 作 的同一条渐近线的垂线,垂足分别为 ,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 第II卷 二、填空题 (共 30 分) 10. 已知 为虚数单位,若 ,则 _____. 11. 的展开式中的常数项为_____. 12. 若斜率为 的直线与 轴交于点 ,与圆 相切于点 ,则 _____. 13. 某地区人群中各种血型的人所占比例如表 1 所示,已知同种血型的人可以输血, 型血可以输给任何一种血型的人,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是 B 型血,因病需要输血,任找一个人,其血可以输给小明的概率为_____；任钱两个人,则小明有血可以输的概率为_____. 血型 A B AB O 该血型的人占比 20% 30% 10% 40% 14. 已知点 为抛物线 上一点 (点 在第一象限),点 为抛物线的焦点,准线为 ,线段 的中垂线交准线 于点 ,交 轴于点 ( 、 在 的两侧),四边形 为菱形,若点 分别在边 上, ,若 , 则 的最小值为_____, 的最小值为_____. 15. 设 ,函数 ,若 在区间 内恰有 2 个零点,则 的取值范围是_____. 三、解答题 (共 75 分) 16.在 中,内角 所对的边分别为 . 已知 . (1)求角 的大小; (2)设 , (i)求 的值; (ii)求 的值. 17. 如图,在四棱锥 中, 平面 , 为 的中点, 在 上,且 . (1)求证: 平面 ; (2)求平面 与平面 夹角的余弦值； (3)求点 到平面 的距离. 18. 已知椭圆 的离心率为 ,左、右焦点分别为 ,上、 下顶点分别为 ,且四边形 的面积为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)直线 与椭圆 交于 两点,且 关于原点的对称点分别为 ,若 是一个与 无关的常数,则当四边形 面积最大时,求直线 的方程. 19. 已知 为等差数列,前 项和为 是首项为 2 的等比数列,且公比大于 . (1)求数列 与 的通项公式,求 ; (2)将 与 的项按照从小到大排序合并(相同的项算作一项),得到的新数列记为 ,将 中的项小于等于 的项数记为 ,求 的通项公式; (3) 令 ,求 的前 项和 . 20. 已知函数 . (1)求曲线 在 处的切线方程; (2)若 对任意的 恒成立,求实数 的取值范围; (3)若 有三个零点 ,且 ,求证: . ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$