精品解析：湖南省永州市宁远县2024-2025学年八年级上学期期中作业评价数学试题

2024年下期期中作业评价八年级数学 （时量：120分钟 满分：120分） 八年级数学上册期中知识要点 1．分式的定义及三要素，即分子、分母（且分母不为0）和整式形式． 2．分式的基本性质，如分子分母同乘（或除）同一个非零整式，分式值不变． 3．分式的约分与通分，掌握最简公分母的确定方法． 4．分式的乘除运算法则，以及乘方运算规则． 5．分式方程的概念、解法及实际应用． 湘教版八年级数学三角形知识要点涵盖以下几个方面： 6．三角形的定义与分类：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形和等边三角形等． 7．三角形的基本性质：三角形具有稳定性；三角形的内角和为180°；三角形的外角和为360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 8．等腰三角形与等边三角形：等腰三角形两腰相等，两底角相等，具有三线合一的性质；等边三角形三边相等，三个角都是60°，是特殊的等腰三角形． 9．三角形的中线、高、角平分线：了解这些线段的定义、性质及在三角形中的位置． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 式子中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 一个三角形的两边长分别是12和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 14或21 3. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 4. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①对顶角相等； ②不相交的两条直线一定平行； ③等角的补角相等； ④如果，那么 A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ③和④ 6. 如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小2倍 B. 扩大2倍 C. 不变 D. 扩大4倍 7. 如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 解关于x的分式方程时会产生增根，则m的值（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 10. 如图所示，在中，是的平分线，交于E，若，，则（ ）． A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 化简的结果为_______． 12. 如图，是中边上的中线，分别是的中点，若的面积为，则的面积为____________． 13. 已知、、为的三边，化简： ________． 14. 当______时，分式的值为1． 15. 如图把三角形沿折叠，使点B落在点处．，，则_____度． 16. 的最简公分母是_____________． 17. 生活中处处有数学，起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是_____． 18. 若a:b:c=1:2：3，则____________ 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中a＝． 21. 已知：如图，在中，，点、分别是、上的点，且若，，求的度数． 22. 解方程： （1）； （2）． 23. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， （1）求证： （2）若，，求的度数 24. 某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用800元在甲商店租用服装的数量与用1000元在乙商店租用服装的数量相等． （1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ （2）若租用10套以上服装，乙商店给予每套九折优惠，该班准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少？并说明理由． 25. （一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 26. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点． （1）当三点，三点在同一直线上时（如图1），求证：为的中点； （2）将图1中的绕点旋转，当三点在同一直线上时（如图2），求证：； （3）将图1中绕点旋转到图3位置时，四点在同一条直线上时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 四、附加题（共20分，本题得分不计入总分，可单独计分） 27. 已知：（，且、、不全相等），求的值． 28. 以的、为边作和，且，，与相交于M，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若G、H分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）； （3）如图3，连接，写出与的数量关系是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期中作业评价八年级数学 （时量：120分钟 满分：120分） 八年级数学上册期中知识要点 1．分式的定义及三要素，即分子、分母（且分母不为0）和整式形式． 2．分式的基本性质，如分子分母同乘（或除）同一个非零整式，分式值不变． 3．分式的约分与通分，掌握最简公分母的确定方法． 4．分式的乘除运算法则，以及乘方运算规则． 5．分式方程的概念、解法及实际应用． 湘教版八年级数学三角形知识要点涵盖以下几个方面： 6．三角形的定义与分类：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形和等边三角形等． 7．三角形的基本性质：三角形具有稳定性；三角形的内角和为180°；三角形的外角和为360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 8．等腰三角形与等边三角形：等腰三角形两腰相等，两底角相等，具有三线合一的性质；等边三角形三边相等，三个角都是60°，是特殊的等腰三角形． 9．三角形的中线、高、角平分线：了解这些线段的定义、性质及在三角形中的位置． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 式子中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式． 【详解】解：的分母中的π不是字母，是数字，故不是分式； 分母中含有字母，是分式； 因此分式有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 2. 一个三角形的两边长分别是12和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 14或21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边的长恰好是7的整数倍，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是12和5，设第三边长为， ∴，即：， ∵第三边的长恰好是7的整数倍， ∴第三边的长是； 故选B． 3. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D、无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示是， 故选D 5. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①对顶角相等； ②不相交的两条直线一定平行； ③等角的补角相等； ④如果，那么 A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ③和④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的判断，对顶角性质，平行线定义，补角性质，绝对值性质等．根据题意利用对顶角性质，平行线定义，补角性质等逐一分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵对顶角相等，故①是真命题， ∵在同一平面内不相交的两条直线一定平行，故②不是真命题， ∵如果这两个角相等，那么他们的补角也相等，即等角的补角相等，故③是真命题， ∵如果，那么，假设，即，但，故④不是真命题， 故选：B． 6. 如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小2倍 B. 扩大2倍 C. 不变 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 7. 如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线．首先连接，由的垂直平分线l交于点M，可得，又由，，证得，得出，，设，则， ，根据，求出，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线l交于点M， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 解关于x的分式方程时会产生增根，则m的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了分式的增根问题．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得： ， ∴． 故选：B 9. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 10. 如图所示，在中，是的平分线，交于E，若，，则（ ）． A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质是解决问题的关键，根据平分线及平行线的性质得，进而得，然后再根据可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 化简的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，先将第二个分式的分子、分母因式分解，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 如图，是中边上的中线，分别是的中点，若的面积为，则的面积为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 故答案为：3． 13. 已知、、为的三边，化简： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义．由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c为的三边， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 14. 当______时，分式的值为1． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意可列方程，然后解方程并检验可得结论． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的根， 故答案为：3． 15. 如图把三角形沿折叠，使点B落在点处．，，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，结合图形，由三角形的外角性质可得，，由折叠可得，，结合已知条件，，可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点F， ∵，，由折叠可得，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：28． 16. 的最简公分母是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：∵分式的分母分别是，，， ∴最简公分母是． 故答案为：． 17. 生活中处处有数学，起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是_____． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用，三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性． 【详解】解：起重机的底座，输电线路支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 18. 若a:b:c=1:2：3，则____________ 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意可设a=k，b=2k，c=3k，代入分式求值即可. 【详解】∵a:b:c=1:2：3， ∴可设a=k，b=2k，c=3k， 代入. 故答案为-2. 【点睛】本题考查了求分式的值，根据比例设出a=k，b=2k，c=3k是解决此类问题的关键. 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可． 【详解】原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中a＝． 【答案】，5． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（）÷ ＝ ＝， 当a＝时，原式＝＝5． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 21. 已知：如图，在中，，点、分别是、上的点，且若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的内角和得到，进而根据平角的定义得到，再根据三角形外角的性质得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ； 又，， ； 又， ； ． 22. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意：分式方程必须验根． （1）在分式两边同乘，再去括号、移向、合并同类项进而可得结果； （2）在分式两边同乘，再去括号、移向、合并同类项进而可得结果． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 检验：将代入得， ∴是原方程的根． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 检验：将代入得， ∴是原方程的增根． 23. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， （1）求证： （2）若，，求的度数 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ． 24. 某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用800元在甲商店租用服装的数量与用1000元在乙商店租用服装的数量相等． （1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ （2）若租用10套以上服装，乙商店给予每套九折优惠，该班准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少？并说明理由． 【答案】（1）在甲商店租用的服装每套40元，在乙商店租用的服装每套50元 （2） 在甲商店租用的服装的费用较少．理由为： 在甲商店租用的服装的费用为：（元）， 在乙商店租用的服装的费用为：（元）， ， 故在甲商店租用的服装的费用较少． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、有理数的乘法的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设甲商店租用的服装每套x元，根据题意列方程即可； （2）分别求得在两个商店租用的服装的费用，进而比较大小可得结论． 【小问1详解】 解：甲商店租用的服装每套x元，则乙商店租用的服装每套元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：在甲商店租用的服装每套40元，在乙商店租用的服装每套50元； 【小问2详解】 略 25. （一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【解析】 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 26. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点． （1）当三点，三点在同一直线上时（如图1），求证：为的中点； （2）将图1中的绕点旋转，当三点在同一直线上时（如图2），求证：； （3）将图1中绕点旋转到图3位置时，四点在同一条直线上时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 为的中点； （2） 证明：和均为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， ， 由（1）同理可证：， ， ， 在和中， ， ， ； （3） 结论仍然成立， 证明：和均为等腰直角三角形， ， ，， ， 四点在同一直线上， ， 在四边形中，，， ， ， 由（1）同理可证：， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，通过证明得到，从而得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，，由平行线的性质及可得，通过证明可得，由（1）同理可证：，可得，从而得到，再证明，即可得到结论； （3）由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，通过证明可得，由（1）同理可证：，可得，从而得到，再证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 四、附加题（共20分，本题得分不计入总分，可单独计分） 27. 已知：（，且、、不全相等），求的值． 【答案】所求的分式值为． 【解析】 【分析】观察分式的特征，利用替换法先对分式进行简化整理，之后再进行计算，根据x、y、z不全相等，再对式子进行求值即可． 【详解】令，，，则分式变为， 且由已知有， 将两边平方得． 由于、、不全相等，所以、、不全为零，所以， 从而有，即所求的分式值为． 【点睛】本题是分式的求值，在这里我们需要注意先利用替换法简化式子，再利用已知关系来构造等量． 28. 以的、为边作和，且，，与相交于M，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若G、H分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）； （3）如图3，连接，写出与的数量关系是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． （1）由“”可证，可得，由外角的性质可得结论； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）由全等三角形的性质可得，，由面积法可求，由角平分线的性质可求，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： 由（1）可得：，， 、分别是、的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，过点作于，于，如图3所示： ， ，， ， ， 又，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $