精品解析：江西省九江市第三中学2024-2025学年九年级上学期第二次学习效果监测数学试题

九江三中2024-2025上学期第二次学习效果检测试卷 初三数学 命题人：夏尊兴 审题人：姜梅 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图是( ) A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程有两个根为和，则的值是（ ） A. 5 B. C. 1 D. 5. 如图，等边三角形的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 7. 斜坡的倾斜角为，一辆汽车沿这个斜坡前进了100米，则它上升的高度是______米． 8. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________． 9. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______． 10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 11. 如图，矩形中，，过对角线交点O作交于点E，则的长是______． 12. 如图，在四边形中，，若是四边形边上一动点，且，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．） 13. 计算 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个解为0，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根； 15. 请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形． （1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形； （2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形． 16. 有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字． （1）若用表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图并写出的所有取值； （2）求点落在直线上的概率． 17. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． （3）求三角形的面积． 19. 把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为． （1）连接，求证：四边形是菱形． （2）若，，求线段和的长． 20. 如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10cm. （1）当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径(结果精确到0.01cm)； （2）保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01cm，参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件． （1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率； （2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？ 22. 某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它． （1）构建模型： 当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的； （2）问题探究： 根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______； （3）拓展应用： 写出周长m的取值范围． 六、（本大题12分） 23. 在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化. （1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江三中2024-2025上学期第二次学习效果检测试卷 初三数学 命题人：夏尊兴 审题人：姜梅 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值， 根据特殊角的正切值解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：A． 3. 如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可求解． 【详解】从正面看所得到的图形为： 故答案为：B 【点睛】本题考查了三视图的定义，本题涉及主视图，从正面看所得到的图形是主视图，根据给出立体图形即可得出主视图． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个根为和，则的值是（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了代数式的变形能力． 根据根与系数的关系得到，代入所求代数式即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ， ． 故选：D． 5. 如图，等边三角形的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6. 函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的综合问题， 分两种情况讨论：当时，根据一次函数的图象和反比例函数经过的象限；当时，一次函数和反比例函数经过的象限即可得出答案. 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数位于第二、四象限，即可得出答案. 所以图B符合题意. 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 7. 斜坡的倾斜角为，一辆汽车沿这个斜坡前进了100米，则它上升的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坡角问题的应用，通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解是解题关键． 在三角函数中，根据坡度角的正弦值垂直高度∶坡面距离即可解答． 【详解】解：由已知得：如图，，，则他上升的高度 (米)， 故答案为 ． 8. 如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：随机闭合两个开关有六种情况，其中能使小灯泡发光的有2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键． 9. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，把点、、三点坐标代入反比例函数，求出的值，比较得出答案． 【详解】解：把点代入反比例函数得， ，，， ∴， 故答案为：． 10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11. 如图，矩形中，，过对角线交点O作交于点E，则的长是______． 【答案】3.125 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，已知、的值，根据勾股定理即可求得的长度，根据对角线互相平分求得的值，再证明求得，已知，，的值即可求得的长． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3.125． 12. 如图，在四边形中，，若是四边形边上一动点，且，则的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】过点作于点，可得四边形是矩形，连接，根据题意可得是等边三角形，进而分三种情况讨论，根据，得出的长，即可求解． 【详解】过点作， 连接， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，即点与点重合时，，此时； ∵，， ∴ ∴四边形是矩形 当点为中点时，即点和点重合时， 此时四边形是矩形， ，， ， ； 当点的边上时， ，， ， ； 综上，当时，的长为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，能正确地分点在不同的边上进行讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．） 13. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 把各个三角函数值代入再按实数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个解为0，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根； 【答案】（1）0或 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶(1) 代入得出关于k的一元二次方程；(2)求出的值，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键． （1）将代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值； （2）求出的值，再与0作比较，由于，从而证出方程有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解∶ 方程有一个根为0， ，即，解得∶，， k的值为0或． 【小问2详解】 证明∶， 方程有两个不相等的实数根． 15. 请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形． （1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形； （2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析. 【解析】 【详解】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形； （2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形． 16. 有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字． （1）若用表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图并写出的所有取值； （2）求点落在直线上的概率． 【答案】（1）画图见解析，，，，，，； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果； （2）根据树状图，即可求得点落在直线上的概率． 【小问1详解】 解：画树状图得： 则的所有取值为：，，，，，； 【小问2详解】 ∵直线上的点的横纵坐标相等， ∴，在直线上， ∴点落在直线上的概率为：． 【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率、正比例函数的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）AE=9 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． （3）求三角形的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式是；一次函数的解析式是 （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考． （1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，把的坐标代入反比例函数解析式求得的坐标，然后利用待定系数求得一次函数解析式； （2）利用函数图象，求时自变量的取值范围，就是求反比例函数图象在下边时对应的的范围； （3）求得与轴的交点，然后利用三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 则反比例函数的解析式是； 把代入得， 则的坐标是． 根据题意得， 解得：， 则一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：∵，， 根据图象可得当一次函数的值大于反比例函数的值时， 即时自变量的取值范围是或； 【小问3详解】 解：在中，令，解得：， 则与轴的交点的坐标是， 则． 19. 把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为． （1）连接，求证：四边形是菱形． （2）若，，求线段和的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系． （1）根据是矩形，可得，由，可得，进而可知四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，继而可证得四边形是菱形； （2）首先设，则，在中，利用勾股定理可求得的长，过点作，先求得的长，再在中，利用勾股定理，即可求得的长． 【小问1详解】 证明：如图，由折叠可知，垂直并平分，设与交于点， 则：，，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 在和中： ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 又∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 设，则，则 在中，由勾股定理得： 解得：， ∴， 如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得： 20. 如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10cm. （1）当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径(结果精确到0.01cm)； （2）保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01cm，参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)． 【答案】（1） （2）铅笔芯折断部分的长度约是 【解析】 【分析】（1）根据题意作辅助线于点，根据，，，可以求得的度数，从而可以求得的长； （2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得的长，本题得以解决． 【小问1详解】 解：（1）作于点，如右图2所示， 由题意可得，，，， ， 即所作圆的半径约为； 【小问2详解】 作于点，作，如下图3所示， 保持不变，在旋转臂末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等， 折断的部分为， ，，， ，， ， 即铅笔芯折断部分的长度是． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件． （1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率； （2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？ 【答案】（1）二、三月份销售量的平均月增长率为25%；（2）每件降价50元，四月份可获利12000元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：320（1+x）；三月份的销售量为：320（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：500元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量×每件商品的利润=12000求出即可． 【详解】（1）解：设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得： 320（1+x）2=500 解得：x1=0.25，x2=-2.25（不合题意，舍去）． 答：二、三月份销售量的平均月增长率为25%． （2）解：设每件降价y元，根据题意得： （500+10×）（150-y-80）=12000 整理得：y2+180y-11500=0 解得：y1=50，y2=-230（不合，舍去）． 答：每件降价50元，四月份可获利12000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 22. 某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它． （1）构建模型： 当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的； （2）问题探究： 根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______； （3）拓展应用： 写出周长m的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】(1)由图即可得到两交点的坐标，即可求解； (2) 由得，直接画出的图象，根据两图象只有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数解，据此即可求解； (3) 当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，一元二次方程有实数解，据此即可求解． 【小问1详解】 解：从图①中观察到，交点坐标为，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由得， 故满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数的交点坐标， 画出直线如下： ，得， 直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得或(舍去)； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点， ， 解得或(舍去)， 故周长m的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与交点问题，一元二次方程根的判别式，函数图象的平移，此类探究题，通常按照题设条件依次求解． 六、（本大题12分） 23. 在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化. （1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积. 【答案】（1）BP=CE； CE⊥AD； （2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下： 连接AC， ∵菱形ABCD，∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAD=120° ， ∠BAP=120°＋∠DAP， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=AE ， ∠PAE=60° ， ∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，， ∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°， ∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD， ∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立； （3） . 【解析】 【详解】【分析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出 ，即可证得CE⊥AD； （2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可； （3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得， 的长，再根据，进行计算即可得. 【详解】（1）①BP=CE，理由如下： 连接AC， ∵菱形ABCD，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=AE ，∠PAE=60° ， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE； ②CE⊥AD ， ∵菱形对角线平分对角， ∴， ∵△ABP≌△ACE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴CF⊥AD ，即CE⊥AD； （2）略 (3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ， ∵∠ABC=60°，， ∴∠ABO=30° ，∴ ， BO=DO=3， ∴BD=6， 由(2)知CE⊥AD， ∵AD∥BC，∴CE⊥BC， ∵ ， ， ∴， 由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5， ∴， ∵△APE是等边三角形，∴ ， ， ∵， ∴， = = =， ∴四边形ADPE的面积是 . 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $