江苏省无锡市锡山区2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

2024-2025学年江苏省无锡市锡山区八年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.） 1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在、、1.808008000、这4个数中，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．1，4，5 B．11，15，13 C．5，12，13 D．4，5，6 4．（3分）如果等腰三角形的两边长分别是4cm和2cm，那么它的周长是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm或8cm D．10cm 5．（3分）如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是（　　） A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC 6．（3分）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与一次函数y＝k2x的图象如图所示，则关于x的方程k1x+b＝k2x的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝﹣2 D．x＝1 7．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（　　） A．48° B．36° C．30° D．24° 8．（3分）点A（a﹣3，﹣1）与点B（2，b+2）关于x轴对称，则a，b的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝5，b＝﹣3 D．a＝5，b＝﹣1 9．（3分）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（　　） A．75 B．100 C．120 D．125 10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论： ①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC+CE＝AB；④AB﹣BC＝2MC；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8题，每空3分，共24分.） 11．（3分）的立方根的平方根是 　 　． 12．（3分）某市市域面积约为16972平方公里，将数据16972精确到百位，并用科学记数法表示为 　 　． 13．（3分）已知点P（a﹣1，a+5）在第二象限，且到y轴的距离为2，则点P的坐标为 　 　． 14．（3分）已知点P（a，b）在一次函数y＝2x+1的图象上，则4a﹣2b+11的立方根是 　 　． 15．（3分）如图，点A1、A2、A3、A4在线段AF上，且AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4．如果∠EA4A3＝8°，那么∠B＝　 　． 16．（3分）已知直线y＝（m﹣1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有 　 　． ①当m＝2，图象经过一、三、四象限； ②当m＞0时，y随x的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点（0，1）． 17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，BD＝4，点P、E分别是AC、AB上动点，当DP+EP的值最小时，BE＝5，则AB的长为 　 　． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…依次进行下去，则点A2022的横坐标是 　 　． 三、解答题（共7题，66分，） 19．（12分）计算与解方程： （1）； （2）； （3）25（x﹣1）2﹣100＝0； （4）8x3+1＝0． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）S△ABC＝ 　 　； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）已知点P在y轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　 　． 21．（10分）某景区门票价格80元/人，为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图． （1）请写出y1与x之间的函数关系式为 　 　． （2）求当x≥10时，y2与x之间的函数关系式． （3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团（人数超过10人）到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？ 22．（8分）在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（2，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）求直线l的函数关系式； （2）求△AOB的面积． 23．（8分）如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由． 24．（10分）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 　 　； （2）代数应用：求代数式+（0≤x≤3）的最小值； （3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是 　 　． 25．（12分）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．如果将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上，那么直线BD称为直线AB的“伴随直线”．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10． （1）若点C在y轴负半轴上，求直线AB的“伴随直线”BD的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标； （3）直线AB的“伴随直线”BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2024-2025学年江苏省无锡市锡山区八年级（上）月考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D D B A D B D 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.） 1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．【分析】根据有理数的概念解答． 【解答】解：在、、1.808008000、这4个数中，有理数有、1.808008000共计2个． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的概念． 3．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：A、∵1+4＝5， ∴不能组成三角形，故本选项错误； B、∵112+132＝290≠152， ∴不能作为直角三角形三边长，故本选项错误； C、∵52+122＝169＝132， ∴能作为直角三角形三边长，故本选项正确； D、∵42+52＝41≠62， ∴不能作为直角三角形三边长，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 4．【分析】分两种情况讨论，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是4cm，即可求出等腰三角形的周长． 【解答】解：如果等腰三角形的腰长是2cm， ∵2+2＝4，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长不能是2cm， 如果等腰三角形的腰长是4cm， ∵4+2＞4，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长＝4+4+2＝10（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论． 5．【分析】已知∠B＝∠C，再加上条件∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案． 【解答】解：已知∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE， 若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意； 若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意； 若添加BD＝CE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意； 若添加∠ADB＝∠AEC，没有边的条件，则不能证明△ABE≌△ACD，故D选项合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．【分析】根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解，可得答案． 【解答】解：由函数图象，得两直线的交点坐标是（﹣1，﹣2）， 所以，关于x的方程k1x+b＝k2x的解为x＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解． 7．【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD＝24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCB＝24°，然后可算出∠ACF的度数． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝24°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF＝CF， ∴∠FCB＝24°， ∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°， 故选：A． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8．【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：（2，b+2）与点（a﹣3，﹣1）关于x轴对称，得 a﹣3＝2，b+2＝1． 解得a＝5，b＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 9．【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2＝EF2，进而可求出CE2+CF2的值． 【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°， ∴△EFC为直角三角形， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF， ∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10， 由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形． 10．【分析】过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE＝EQ，DM＝DH，根据勾股定理求出AC＝AQ，AM＝AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ＝QE，即可求出③；根据三角形外角性质求出∠CND＝45°，证△ACN≌△BCD，推出CD＝CN，即可求出②①；证△DCM≌△DBH，得到CM＝BH，AM＝AH，即可求出④． 【解答】解：过E作EQ⊥AB于Q， ∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB， ∴CE＝EQ， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵EQ⊥AB， ∴∠EQA＝∠EQB＝90°， 由勾股定理得：AC＝AQ， ∴∠QEB＝45°＝∠CBA， ∴EQ＝BQ， ∴AB＝AQ+BQ＝AC+CE， ∴③正确； 作∠ACN＝∠BCD，交AD于N， ∵∠CAD＝∠CAB＝22.5°＝∠BAD， ∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∠CAD， ∴∠DBC＝∠CAD， ∵AC＝BC，∠ACN＝∠DCB， ∴△ACN≌△BCD， ∴CN＝CD，AN＝BD， ∵∠ACN+∠NCE＝90°， ∴∠NCB+∠BCD＝90°， ∴∠CND＝∠CDA＝45°， ∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN， ∴AN＝CN， ∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°， ∴CN＝NE， ∴CD＝AN＝EN＝AE， ∵AN＝BD， ∴BD＝AE， ∴①正确，②正确； 过D作DH⊥AB于H， ∵∠MCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°， ∠DBA＝90°﹣∠DAB＝67.5°， ∴∠MCD＝∠DBA， ∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB， ∴DM＝DH， 在△DCM和△DBH中 ∠M＝∠DHB＝90°，∠MCD＝∠DBA，DM＝DH， ∴△DCM≌△DBH， ∴BH＝CM， 由勾股定理得：AM＝AH， ∴＝＝＝＝2， ∴AC+AB＝2AM， AC+AB＝2AC+2CM， AB﹣AC＝2CM， ∵AC＝CB， ∴AB﹣CB＝2CM， ∴④正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 二、填空题（本大题共8题，每空3分，共24分.） 11．【分析】先求出＝8，再求出8的立方根，最后求出2的平方根即可． 【解答】解：∵＝8， ∴的立方根是2， ∴的立方根的平方根是± 故答案为：． 【点评】本题考查学生对算术平方根，立方根，算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力． 12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 【解答】解：数据16972用四舍五入法精确到百位，用科学记数法表示为1.70×104， 故答案为：1.70×104． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示． 13．【分析】直接利用第二象限点的坐标性质结合到y轴的距离为2，得出a的值，进而得出点P的坐标． 【解答】解：∵点P（a﹣1，a+5）在第二象限，且到y轴的距离为2， ∴a﹣1＝﹣2， 解得：a＝﹣1， ∴a+5＝4， 则点P的坐标为：（﹣2，4）． 故答案为：（﹣2，4）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确利用坐标性质得出a的值是解题关键． 14．【分析】先把点P（a，b）代入一次函数y＝2x+1，求出a、b的关系式，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵点P（a，b）在一次函数y＝2x+1的图象上， ∴2a+1＝b， ∴2a﹣b＝﹣1， ∴4a﹣2b+11 ＝2（2a﹣b）+11 ＝2×（﹣1）+11 ＝﹣2+11 ＝9， ∴4a﹣2b+11的立方根是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，立方根，代数式求值，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 15．【分析】理由等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵A3E＝A3A4， ∴∠A3EA4＝∠A3A4E＝8°， ∴∠A2A3D＝∠A3EA4+∠A3A4E＝16°， 同法可得∠A2A3D＝∠A2DA3＝16°，∠A1A2C＝∠A1CA2＝32°， ∴∠AA1B＝∠A1A2C+∠A1CA2＝64°， ∵AB＝BA1， ∴∠A＝∠AA1B＝64°， ∴∠B＝180°﹣64°﹣64°＝52°． 故答案为：52°． 【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，等腰三角形两底角相等的性质，依次求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 16．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系及增减性判断①②；根据直线过定点得出定点坐标判断④；利用两点间的距离公式即可判断③． 【解答】解：当m＝2时，y＝（2﹣1）x+3﹣2×2＝x﹣1， 此时一次函数y＝x﹣1，经过一、三、四象限，故①正确； 对于直线y＝（m﹣1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）来说，当m﹣1＞0时，即m＞1时，y随x的增大而增大；故②错误； ∵直线y＝（m﹣1）x+3﹣2m＝（x﹣2）m﹣x+3， ∴当x＝2时，y＝1， ∴直线过定点（2，1），故④错误； ∵由④知直线y＝（m﹣1）x+3﹣2m必过定点（2，1）， 设点P（2，1）， ∴OP＝＝， ∴坐标原点到直线的距离是，故③正确． 故答案为：①③． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 17．【分析】作点D关于直线AC的对称点F，过F作FE⊥AB于E，交AC于P，则此时DP+EP的值最小，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：作点D关于直线AC的对称点F，过F作FE⊥AB于E，交AC于P， 则此时DP+EP的值最小， ∵∠FEB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BFE＝30°， ∴BF＝2BE＝10， ∵点D关于直线AC的对称点F， ∴CD＝（BF﹣BD）＝3， ∴BC＝7， ∴AB＝2BC＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，含30°角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 18．【分析】分别求出A1，A2，A3的横坐标，进而得到A2022的横坐标即可． 【解答】解：延长B2A1交y轴于点C，B3A2交y轴于点D，作A3E⊥y轴于点E， ∵A1B2∥x轴，∠COB1＝90°， ∴∠A1CO＝∠A3EO＝90°， ∵△OA1B1是等边三角形，OB1＝1， ∴A1OB1＝∠A1B1O＝60°，OA1＝A1B1＝1， ∴∠COA1＝30°， ∴CA1＝， ∵∠ODB1＝60°，∠DOB1＝90°， ∴∠OB1D＝30°， ∴∠A1B1B2＝90°，∠A1B2B1＝30°， ∴A1B2＝2， ∵△A2A1B2是等边三角形， ∴A1A2＝2， ∴OA2＝1+2＝3， ∴DA2＝OA2＝＝， 同理可得：OA3＝1+2+4＝7， ∴EA3＝OA3＝＝， ..． ∴点A2022的横坐标为：． 故答案为：． 【点评】本题考查点的规律的相关知识．解题关键是把点A的横坐标的用底数为2的幂表示出来． 三、解答题（共7题，66分，） 19．【分析】（1）先根据算术平方根、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据零指数幂、立方根、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （3）根据平方根的定义解方程即可； （4）根据立方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1） ＝5+（﹣3）﹣1 ＝1； （2） ＝1﹣+3 ＝； （3）25（x﹣1）2﹣100＝0， 25（x﹣1）2＝100， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x＝3或x＝﹣1； （4）8x3+1＝0， 8x3＝﹣1， ， x＝． 【点评】本题考查了实数的运算，平方根，立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C都是对应点A1，B1，C1即可； （3）线段AC的垂直平分线与y轴的交点P即为所求． 【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×4﹣×2×3﹣×1×2﹣×2×4＝4． 故答案为：4； （2）如图，△A1B1C1即为所求； （3）如图，点P即为所求，P（0，4）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 21．【分析】（1）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1； （2）当x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求y2与x的函数关系式即可； （3）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；设A团有n人，表示出B团的人数为（50﹣n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设y1＝k1x， ∵函数图象经过点（0，0）和（10，480）， ∴10k1＝480， ∴k1＝48， ∴y1＝48x； （2）x＞10时，设y2＝kx+b， ∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440）， ∴， ∴， ∴y2＝64x+160（x＞10）； （3）0≤x≤10时，设y2＝k2x， ∵函数图象经过点（0，0）和（10，800）， ∴10k2＝800， ∴k2＝80， ∴y2＝80x， 设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n）， 当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）＝3040， 解得n＝20（不符合题意舍去）， 当n＞10时，80×10+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）＝3040， 解得n＝30， 则50﹣n＝50﹣30＝20． ∴A团有20人，B团有30人． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论． 22．【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）根据解析式求得A、B的坐标，进而求得OA、OB的长，根据三角形的面积公式求得即可． 【解答】解：（1）设直线l的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 把（1，3），（2，1）代入得 解方程组得…（3分） ∴直线l的函数关系式为y＝﹣2x+5； （2）在y＝﹣2x+5中， 令x＝0，得y＝5， ∴B（0，5）， 令y＝0，得x＝， ∴， ∴S△AOB＝AO•BO＝××5＝． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和直角三角形的面积，熟练掌握待定系数法是本题的关键． 23．【分析】由直角三角斜边上的中线性质得出PA＝PC＝CD，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠APD＝2∠ACD，同理得出∠DPE＝2∠DCB，PA＝PE，再证出∠APE＝2∠ACB＝60°，即可得出结论． 【解答】解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下： ∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点， ∴PA＝PC＝CD， ∴∠ACD＝∠PAC， ∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD， 同理：在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB， ∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形， ∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°， ∴△PAE是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定、直角三角斜边上的中线性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等边三角形的判定方法，由直角三角斜边上的中线性质得出PA＝PC，PE＝PC是解决问题的关键． 24．【分析】（1）作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为E′A，根据勾股定理求出E′A，得到答案； （2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称﹣﹣最短路线问题得到最小值就是求PC+PD的值，根据勾股定理计算即可； （3）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答． 【解答】解：（1）如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E′A， 作E′F⊥AC交AC的延长线于F， 由题意得，E′F＝1，AF＝3， ∴PA+PE的最小值E′A＝＝， 故答案为：； （2）构造图形如图4所示，BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB＝3， 则PC+PD＝+， 代数式+（0≤x≤3）的最小值就是求PC+PD的值， 作点C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥DB交DB的延长线于E． 则C'E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C'D＝＝＝5， ∴所求代数式的最小值是5； （3）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′， 则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30°， ∴△C′AC为等边三角形， ∴CM+MN的最小值为C′N＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是轴对称﹣﹣最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 25．【分析】（1）由对称性可得OA＝8，OC＝4，由对称性可知BD是∠CBA的平分线，过D点作DE⊥AB交于点E，在Rt△ADE中，（8﹣OD2）＝OD2+（10﹣6）2，解得OD＝3，求出D（3，0），用待定系数法即可求BD的解析式； （2）分两种情况：当E点与O点关于直线BD对称时，△OBD≌△EDB，求出直线BA的解析式为y＝﹣x+6，设E（t，﹣ t+6），再由DE＝3＝，即可求E（，）；②当BE⊥y轴，DE⊥x轴时，△OBD≌△EDB此时四边形BOCE是矩形，则E（3，6）； （3）当F点与D点关于B点对称时，BF＝BD，设F（m，﹣2m+6），再由BD＝BF＝3＝，即可求F点坐标；同理，当C点在y轴正半轴上时，求F点坐标． 【解答】解：（1）如图1，∵点B（0，6），BC＝10， ∴C（0，﹣4）， ∴OC＝4， ∴OB＝6， 由对称性可知，AB＝BC＝10， ∴OA＝8， ∵BD⊥AC， ∴BD是∠CBA的平分线， 过D点作DE⊥AB交于点E， ∴OD＝DE，BE＝OB＝6， 在Rt△ADE中，（8﹣OD2）＝OD2+（10﹣6）2， 解得OD＝3， ∴D（3，0）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝﹣2x+6； （2）①如图2，当E点与O点关于直线BD对称时，△OBD≌△EDB， ∴E点在直线AB上， ∵D（3，0），A（8，0）， ∴AD＝5， ∵OD＝3， ∴DE＝3， 设直线BA的解析式为y＝k'x+b'， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+6， 设E（t，﹣ t+6）， ∴3＝， ∴t＝， ∴E（，）； ②如图3，当BE⊥y轴，DE⊥x轴时，△OBD≌△EDB 此时四边形BOCE是矩形， ∴E（3，6）； 综上所述：E点坐标为（，）或（3，6）； （3）存在，理由如下： 如图4，当F点与D点关于B点对称时，BF＝BD， ∴S△ABD＝S△ABF， ∵F点在直线BD上， 设F（m，﹣2m+6）， ∵BD＝3， ∴BF＝3＝， ∴m＝±3， ∴F（3，0）（舍）或F（﹣3，12）； 如图5，当C点在y轴正半轴时， ∵点B（0，6），BC＝10， ∴C（0，16）， ∴OC＝16， ∴OB＝6， 由对称性可知，AB＝BC＝10， ∴OA＝8， ∴A（8，0）， 设D（m，0）， ∵CD＝AD， ∴m2+162＝（8﹣m）2， 解得m＝12， ∴D（﹣12，0）， ∵S△ABD＝S△ABF， ∴D与F关于点B对称， ∴F（12，12）； 综上所述：F点坐标为（12，12）或（﹣3，12）． 【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$