第2章 对称图形-圆　单元复习试卷　2024—2025学沂苏科版数学九年级上册

苏科版九年级上学期《第2章 对称图形——圆》单元复习试卷 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 4．如图，、皆为半圆，与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直在线，且B为AC的中点．若58°，则的度数为何？（　　） A．58 B．60 C．62 D．64 5．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．110° 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 7．如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 8．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．16π 10．在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 二．填空题（共5小题） 11．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是 　 　cm． 12．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝ 　 　．（结果保留一位小数） 13．如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 　 　． 14．如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 　 　． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝　 　°． 三．解答题（共5小题） 16．某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心． 为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式． 这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接．A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且CD与2张桌子的接缝EF相交于G点，G为EF中点． 请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： （1）GF的长度为多少公分？ （2）判断CD与AB的长度何者较大？请说明理由． 17．牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图． （1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）； （2）若∠COD＝162°，点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况． 18．如图，AB是⊙O的直径，2，连接AC、CD、AD．CD交AB于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E． （1）求证：AC＝CD； （2）连接OE，若DE＝2，求OE的长． 19．如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE． （1）如图1，若BE＝1，CE，求⊙O的半径； （2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答） 20．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D D C C D C B 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OCOD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 【分析】连接OB，则OCOB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案． 【解答】解：如图： 连接OB，则OB＝OD， ∵OCOD， ∴OCOB， ∵OC⊥AB， ∴∠OBC＝30°， ∵OD∥AB， ∴∠BOD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBD＝∠ODB＝75°， ∠ABD＝30°+75°＝105°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键． 2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾股定理求出OE的长即可解决问题． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴DE． 在Rt△DOE中， OE， ∴BE＝5﹣3＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 3．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 【分析】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m， ∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5， 设拱门所在圆的半径为rm， ∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m， ∴OD＝2.5﹣r， ∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2， 解得：r＝1.3， ∴拱门所在圆的半径为1.3m； 故选B． 【点评】本题考查的是垂径定理的实际应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．如图，、皆为半圆，与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直在线，且B为AC的中点．若58°，则的度数为何？（　　） A．58 B．60 C．62 D．64 【分析】连接BE、DE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠EBC＝58°，根据直角三角形的性质求出∠EDB，进而求出的度数． 【解答】解：如图，连接BE、DE， ∵B为AC的中点， ∴AC为左边半圆的直径， ∵的度数为58°， ∴∠EBC＝58°， ∵BD是右边圆的直径， ∴∠BED＝90°， ∴∠EDB＝90°﹣58°＝32°， ∴的度数为：32°×2＝64°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，熟记直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 5．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．110° 【分析】由圆周角定理得到∠AOD＝2∠E＝70°，由邻补角的性质求出∠BOD＝180°﹣70°＝110°． 【解答】解：∵∠E＝35°， ∴∠AOD＝2∠E＝70°， ∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°． 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠AOD＝2∠E． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 【分析】根据BE∥AD，得出∠ADC＝∠BEC＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵BE∥AD， ∴∠ADC＝∠BEC＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 7．如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】先根据垂径定理得出AD＝BDAB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，设OD＝x，则OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OA的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：设AB与OC交于点D， ∵弦AB的长为4，OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝2， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOD＝2∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴OA＝2OD， 设OD＝x，则OA＝2x， 在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2， 解得x＝±2（负值舍去）， ∴OA＝2x＝4， ∵OP＝5， ∴OP＞OA， ∴点P在圆外． 故选：C． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理，圆周角定理，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 8．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论． 【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个， 故选：D． 【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 9．如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．16π 【分析】由题知阴影部分为扇形BDC的面积，求出半径DB的长度和圆心角∠BDC的度数即可求解． 【解答】解：如图，连接OD、OB、OC，OD交BC于点H． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°，∠BDC＝120°， ∵D是弧BC中点， ∴OD⊥BC，BH＝CHBC＝2，∠BOD＝60°， ∴OB4， ∵OB＝OD，∠BOD＝60°， ∴△BOD为等边三角形， ∴BD＝OB＝4， ∴S， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆、等边三角形的判定和性质、垂径定理、以及扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 10．在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 【分析】根据圆心到直线l的距离为3，而圆的半径为2，此时直线与圆相离，当点P在⊙O上运动时，当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，根据题意画出图形进行解答即可． 【解答】解：如图，由题意得，OA＝2，OB＝3， 当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大， 此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5， 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是 　3　cm． 【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程即可． 【解答】解：∵BC⊥OA，BC＝8cm， ∴BD＝CDBC＝4cm，BD2+OD2＝OB2， ∵OB＝5cm， ∴42+OD2＝52， ∴OD＝3或OD＝﹣3（舍去）， ∴OD的长是3cm， 故答案为：3． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题． 12．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣s|＝ 　0.1　．（结果保留一位小数） 【分析】根据题意分别求出线段的长度，代入公式中求出s，得出答案． 【解答】解：如图，连接OC， ∵AO＝2，∠AOB＝90°， ∴OB＝2，AB＝2， ∵C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB， ∴CO⊥AB，即D、C、O共线， ∴CO，CD＝2， ∵， ∴s＝23， ∵l＝2π×23.1， ∴|l﹣s|≈0.1 故答案为：0.1． 【点评】本题以圆为背景考查了圆的相关概念，本题难度不大，掌握垂径定理和等腰直角三角形是解决问题的关键． 13．如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 　90°　． 【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案． 【解答】解：根据题意得：， 解得， ∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°， 故答案为：90°． 【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组． 14．如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 　90°　． 【分析】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合三角形的内角和定理即可解决问题． 【解答】解：∵∠A是所对的圆周角， ∴∠A． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB． 又∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠O+2∠OBC＝180°， ∴， 即∠A+∠OBC＝90°． 故答案为：90°． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝　60　°． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据菱形的性质得到∠B＝∠AOC，根据圆周角定理得到∠D∠AOC，计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵四边形OABC是菱形， ∴∠B＝∠AOC， ∴∠AOC+∠D＝180°， 由圆周角定理得：∠D∠AOC， ∴∠D＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心． 为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式． 这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接．A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且CD与2张桌子的接缝EF相交于G点，G为EF中点． 请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： （1）GF的长度为多少公分？ （2）判断CD与AB的长度何者较大？请说明理由． 【分析】（1）由EF＝大圆的半径﹣小圆的半径，可求得EF＝60公分，再根据中点性质即可求得答案； （2）根据AB为大圆的直径可得AB＝160公分，再根据勾股定理可得CG＝DG＝10公分，进而可得CD＝20公分，比较160与20的大小，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分， ∴EF＝大圆的半径﹣小圆的半径＝80﹣20＝60（公分）， ∵G为EF中点， ∴GFEF＝30公分； 答：GF的长度为30公分． （2）CD＞AB，理由如下： 由题意得：AB＝大圆的直径＝80×2＝160（公分）， 如图3，延长CH、EF交于点O，延长DK、FE交于点O′，则OC＝OE＝O′D＝O′F＝80公分， ∵EG＝GF＝30公分， ∴OG＝O′G＝50公分， ∵∠O＝∠O′＝90°， ∴CG10DG， ∴CD＝CG+DG＝20公分， ∵8， ∴20160， 即CD＞AB． 【点评】本题考查了圆的性质，勾股定理，中点性质等，难度适中，构造直角三角形是解题关键． 17．牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图． （1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）； （2）若∠COD＝162°，点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况． 【分析】（1）设OA＝OC＝R m，利用勾股定理求出R即可； （2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可． 【解答】解：（1）设OA＝OC＝R m， ∵OA⊥CD， ∴CB＝BDCD＝14m， 在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2， ∴R2＝142+（R﹣12）2， ∴R， ∴OC14.2m． （2）如图，补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM， ∵∠N∠COD＝81°， ∵∠CMD+∠N＝180°， ∴∠CMD＝99°． ∵∠CMD＝99°不变，是定值， ∴“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况． 【点评】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 18．如图，AB是⊙O的直径，2，连接AC、CD、AD．CD交AB于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E． （1）求证：AC＝CD； （2）连接OE，若DE＝2，求OE的长． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系及垂径定理进行证明即可； （2）根据等边三角形的性质及三角形的内角和得到∠DAB∠DAC＝30°，再由BM⊥AB，CD⊥AB，得到BM∥CD，利用平行线的性质得到∠AEB＝∠ADC＝60°，进而利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可． 【解答】证明：（1）∵2， ∴AD＝CD，B是CD的中点， ∵AB是直径， ∴AD＝AC， ∴AC＝CD； （2）如图，连接BD， ∵AD＝DC＝AC， ∴∠ADC＝∠DAC＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠DAB∠DAC＝30°， ∵BM切⊙O于点B，AB是直径， ∴BM⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴BM∥CD， ∴∠AEB＝∠ADC＝60°， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△BDE中， ∵∠DBE＝90°﹣∠DEB＝30°， ∴BE＝2DE＝4， ∴BD2， 在Rt△BDA中， ∵∠DAB＝30°， ∴AB＝2BD＝4， ∴OBAB＝2， 在Rt△OBE中，OE2． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理及切线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线BD，从而构造相关的直角三角形，利用其各边或各角之间的关系进行求解，注意运用数形结合的思想方法． 19．如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE． （1）如图1，若BE＝1，CE，求⊙O的半径； （2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答） 【分析】（1）如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．首先证明∠CEB＝90°，由勾股定理求出BC，再根据cos∠OBH，构建关系式求出OB即可； （2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，利用全等三角形的性质证明∠COE＝∠OBD； 证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，证明cos∠COE＝cos∠OBK，推出∠COE＝∠OBK，可得结论． 【解答】（1）解：如图1中，过点O作OH⊥BC于点H． ∵OC＝OB，OH⊥BC， ∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH， ∵∠BOC＝2∠BCE， ∴∠BOH＝∠BCE， ∵∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠BCE+∠OBH＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴BC， ∴CH＝BH， ∵cos∠OBH， ∴， ∴OB＝3， ∴⊙O的半径为3． （2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK， ∵BD＝2OE， ∴OE＝BK， ∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB， ∴Rt△OEC≌Rt△BKO（HL）， ∴∠COE＝∠OBK， ∴OC∥BD； 证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK， ∵BD＝2OE， ∴OE＝BK， ∵cos∠COE，cos∠OBK，OC＝OB， ∴cos∠COE＝cos∠OBK， ∴∠COE＝∠OBK， ∴OC∥BD； 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 20．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可； （2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可． 【解答】（1）解：∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； （2）证明：①如图，延长AB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC， 又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC； ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG， ∵DG∥BC， ∴， ∴BD＝CG， ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG， ∵EF∥DG， ∴∠DEF＝∠GDE， ∴∠DEF＝∠ACG， ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC， ∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG（AAS）， ∴EF＝CG， ∴EF＝BD． 【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键 学科网（北京）股份有限公司 $$