精品解析：天津市实验中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试题

2025届九年级第三次阶段反馈（数学） 九年级备课组 一、选择题：本大题共12小题，共48分． 1. 下列花朵的图片中，既属于中心对称图形又属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( ) A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，y随x的增大而增大 B. 图像与x轴有两个交点 C. 图像的顶点坐标为 D. 当时，y有最大值 6. 如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面积是，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，点是中点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，分别切于两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本大题共7小题，共21分． 13. 半径为3的正六边形内接于，则正六边形的边长为 _____． 14. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 15. 某商品进价为元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件，经市场调查反映，每涨价元，每星期要少卖出件，则在涨价的情况下，可获得最大利润______元． 16. 如图，，是的切线，点，为切点，连接交于点，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留）． 17. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是______． 18. 已知正方形中，点在边上，，（如图所示）把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点的距离为 ________． 19. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B在格点上，顶点C在网格线上，其外接圆的圆心为O． （1）AB的长等于______； （2）P是⊙O上一点，当时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 20. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本大题共5小题，共45分． 21. 已知PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D． （1）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小； （2）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小． 22. 某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？ 设每件商品降价x元．每天的销售额为y元． （I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表： 原价 每件降价1元 每件降价2元 … 每件降价x元 每件售价（元） 35 34 33 … 每天售量（件） 50 52 54 … （Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解） 23. 已知，是的直径，点P，C是上的点，． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，过点C作的垂线，垂足为点D，且是的切线，若，求的半径． 24. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． （1）如图①，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； （3）若折叠后重合部分面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 25. 已知抛物线为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）点在拋物线上，当时，求的值； （3）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届九年级第三次阶段反馈（数学） 九年级备课组 一、选择题：本大题共12小题，共48分． 1. 下列花朵的图片中，既属于中心对称图形又属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是理解中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握：轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．据此逐一分析判断即可． 【详解】解：A．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得出的长度，在中，利用勾股定理可得出的长度． 【详解】解：∵弦于点E，cm， ∴cm． 在中，cm， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理是求线段长常用方法． 3. 如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点E， 点E即为对称中心，． 故选：A． 4. 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的知识，连接，根据同弧所对的圆周角相等得，结合直径所对圆周角为直角即可求得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 则， 故选：B． 5. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，y随x的增大而增大 B. 图像与x轴有两个交点 C. 图像的顶点坐标为 D. 当时，y有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：二次函数化为顶点式为， 由于二次项系数为负，对称轴为直线， ∴当，y随x的增大而增大，顶点坐标为，当时，y有最大值； 由于抛物线开口向下，最大值为负，所以图象与x轴没有交点； 故选项A、B、C错误，选项D正确； 故选：D． 6. 如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内切圆，运用三角形内角和定理得出的度数，再根据点O是的内切圆的圆心，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O是的内切圆的圆心， ∴，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 7. 已知圆锥的侧面积是，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，直接利用扇形的面积公式求解即可．解题的关键是理解：圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆周长为，则： ， 解得：， ∴这个圆锥的底面圆周长是． 故选：D． 8. 函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据a的不同情况分类讨论进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， 当时，函数的图象开口向下；对称轴，在y轴的左侧；，图象交y轴的正半轴； 故A不符合题意，B符合题意； 当时，函数的图象开口向上；对称轴，在y轴的右侧；，图象交y轴的正半轴； 故C、D不符合题意． 故选：B． 9. 如图，四边形内接于，点是的中点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，先根据，得出，再由点D是的中点得出，故可得出，由三角形内角和定理得出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故选：C． 10. 如图，分别切于两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理和切线的性质．先根据切线长定理和切线的性质得到，，则可计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，分别切于B，C两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 11. 如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，将绕点A顺时针旋转得到的位置，依据旋转的性质即可得解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角， 故选：B． 12. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键；设养鸡场的宽为，则长为；当时，求得x的值，可判定①；当时，求得x的值，可判定②；设围成养鸡场的面积为，则，利用二次函数的性质即可判断③．最后可作出判断． 【详解】解：设养鸡场的宽为，则长为； ①由题意得：， 解得：， 当时，， 即长超过了墙长，不合题意， 故， 即养鸡场的宽为； 故①错误； ②由题意得：， 整理得：； 而， 即一元二次方程无实数解； 故围成养鸡场的面积能达到； 故②错误； ③设围成养鸡场的面积为； 由题意得：， 由于，则围成养鸡场的最大面积为； 故③正确； 综上，正确的只有一个； 故选：B． 二、填空题：本大题共7小题，共21分． 13. 半径为3的正六边形内接于，则正六边形的边长为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．六边形是的内接正六边形，证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：解：如图，是的内接正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为． 14. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为5）求解． 【详解】由已知得，母线长==5，半径为3， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解． 15. 某商品进价为元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件，经市场调查反映，每涨价元，每星期要少卖出件，则在涨价的情况下，可获得最大利润______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，依据题意，设涨价时，每星期售出商品的利润为元，根据总利润等于单件利润乘以数量可得函数关系式，再求二次函数的最值即可求解．掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设涨价时， ∴每星期售出商品的利润为： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时定价为：（元）， ∴每件商品定价为元时利润最大，最大利润为元． 故答案为：． 16. 如图，，是的切线，点，为切点，连接交于点，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形及勾股定理．连接，由切线的性质定理得到半径，半径，由切线长定理得到，由推出，，由平行线的性质推出，证明是等边三角形，得到，求出，继而求出扇形的面积，的面积，即可得到阴影部分的面积．解题的关键是求出扇形的面积和的面积． 【详解】解：连接， ∵，是的切线，点，为切点， ∴半径，半径，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵扇形的面积为：，， ∴阴影部分的面积扇形的面积， 即图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 17. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接DO，EO， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3又∵∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，设EO=x，则EC=CD=x，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，∴BC=3，AC=4，∴S△ABC=×3×4=6.故答案为：6． 【点睛】本题主要考查三角形内切圆与内心，根据题意得出四边形OECF是正方形以及运用方程思维和勾股定理进行分析是解题的关键． 18. 已知正方形中，点在边上，，（如图所示）把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点的距离为 ________． 【答案】1或5 【解析】 【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．本题主要考查了旋转的性质． 【详解】解：如图： ∵把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处， ，，， ， ； 旋转得到点，同理可得， ， ． 故答案为：1或5 19. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B在格点上，顶点C在网格线上，其外接圆的圆心为O． （1）AB的长等于______； （2）P是⊙O上一点，当时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 作图见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可； （2）先确定三角形ABC的外接圆的圆心，再作三角形ABC的重心，利用三角形的重心性质，结合垂径定理可得答案． 【详解】解∶ （1）由勾股定理可得： 故答案为：． （2）如图，点P即为所求作的点，使 理由：确定圆与格线交点E，F，且 连接EF，则EF为直径， 取格点H，K，连接KH，并延长与圆相交于D， 则HD与EF的交点为圆心O，HK与AB的交点Q为弦AB的中点， 记AC与格线的交点为J，利用格线为平行线，利用平行线等分线段可得： 为AC的中点， 连接CQ，BJ，交于点N，则点N为三角形ABC的重心， 连接AN，并延长AN交BC于M，则M为BC中点， 连接OM，并延长交圆O于P，则P即为所求． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，三角形的重心的作图与重心的性质的应用，垂径定理的应用，熟练的利用重心的性质与垂径定理平分弦，弧的性质是解本题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）用十字相乘法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）求出的值，再代入公式求出即可． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 四、解答题：本大题共5小题，共45分． 21. 已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D． （1）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小； （2）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小． 【答案】（1）40°；（2）30°． 【解析】 【分析】(1) 连接OB，根据切线长定理可知∠APO=∠BPO=25º，利用三角形的外角性质求出∠C. (2)连接OB，先利用BD∥AC，说明△OBD是等边三角形，得出∠BOP=∠AOP=60º，∠APO=30º，利用三角形的外角性质求出∠C. 【详解】解：（1）连接BO， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB， ∵∠AOP=65°， ∴∠APO=90°﹣65°=25°， ∴∠BPO=∠APO=25°， ∵∠AOP=∠BPO+∠C， ∴∠C=∠AOP﹣∠BPO=65°﹣25°=40°， （2）连接OB，设∠AOP=x， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB， ∴∠AOP=∠BOP，OA=OB=OD， ∵BD∥AC， ∴∠ODB=∠AOP， ∴∠ODB=∠BOP，即∠ODB=∠BOD， ∴BD=OB=OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOP=∠AOP=60º， ∴∠BPO=30º， ∴∠C=∠AOP-∠BPO=30º. 故答案为（1）40°；（2）30°． 【点睛】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，解题(2)的关键是判断出△ODB是等边三角形. 22. 某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？ 设每件商品降价x元．每天的销售额为y元． （I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表： 原价 每件降价1元 每件降价2元 … 每件降价x元 每件售价（元） 35 34 33 … 每天售量（件） 50 52 54 … （Ⅱ）（由以上分析，用含x式子表示y，并求出问题的解） 【答案】（1）35-x，50+2x；（2）y=-2（x-5）2+1800，每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35-x）元；多买2x件，即每天售量为（50+2x）件； （2）每天的销售额=每件售价×每天售量，即y=（35-x）（50+2x），配方后得到y=-2（x-5）2+1800，根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800． 试题解析：（1）35-x，50+2x； （2）根据题意，每天的销售额y=（35-x）（50+2x），（0＜x＜35） 配方得y=-2（x-5）2+1800， ∵a＜0， ∴当x=5时，y取得最大值1800． 答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元． 考点：二次函数的应用． 23. 已知，是的直径，点P，C是上的点，． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，过点C作的垂线，垂足为点D，且是的切线，若，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质和圆周角定理证得，再根据等边对等角证得即可求解； （2）先根据切线的性质和平行线的判定得到，则，再利用全等三角形的性质和等角对等边证得，证明是等边三角形，则，，进而求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的切线，C为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． （1）如图①，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； （3）若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）． 【答案】（1），点的坐标为 （2），其中t的取值范围是 （3）3，．（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】（1）先根据折叠的性质得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案； （2）根据题意先表示，再根据，表示QE，然后根据表示即可，再求出取值范围； （3）求出t=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是，再求出P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解． 【小问1详解】 在中，由，得． 根据折叠，知， ∴，． ∵， ∴． 如图，过点O′作，垂足为H，则． ∴在中，得． 由，得，则． 由， 得，． ∴点坐标为． 【小问2详解】 ∵点， ∴． 又， ∴． 同（1）知，，． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，得． ∴． 又， ∴. 如图，当点O′与AB重合时，，， 则， ∴， ∴， 解得t=2， ∴t的取值范围是； 【小问3详解】 3，．（答案不唯一，满足即可） 当点Q与点A重合时，，， ∴， 则. ∴t=3时，重合部分的面积是， 从t=3之后重合部分的面积始终是， 当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝， 由于P不能与C重合，故， 所以都符合题意． 【点睛】这是一道关于动点的几何综合问题，考查了折叠的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等． 25. 已知抛物线为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）点在拋物线上，当时，求的值； （3）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标； （2）将点代入抛物线，求出点D纵坐标为，由判断出点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧，过点D作轴，可证为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值； （3）将点代入抛物线，求出Q纵坐标为，可知点在第四象限，且在直线的右侧，取点，如图2，过点M作直线的垂线，垂足为G，过点Q作轴于点H，由，可得，即，根据，得到当、、三点共线时，最小，在中，可知，可用含b的代数式表示m，最后根据，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 当时，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 即， ∴抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，， ∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧， 如图1，过点D作轴，垂足为E，则点， AI ∴，，得， ∴在中，， ∴， ∵点，点，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴点在第四象限，且在直线的右侧， 取点，如图2，过点M作直线的垂线，垂足为G，过点Q作轴于点H，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，最小， 此时，， 在中，可知， ∴，， ∵点，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标特征，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，线段和差最值等知识点，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$