2024-2025学年 北师大版上册七年级期末数学培优卷

2024-2025学年第一学期北师版七年级期末数学培优卷解答卷 1、 选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1． 如图，从左面观察这个立体图形，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从左面看得到的图形的形状，对比选项即可得出答案． 【详解】解：从左面看，上面是一个正方形，下面是两个正方形，且上面正方形在下面正方形的最左边． 故选：A． 2． 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域， 成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域，从发射点和导弹落点粗略估算， 这次导弹飞行射程大概有12000公里，数据12000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：， 故选：A． 3． 如图，，平分，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角，角的平分线，角的和差计算，根据性质，定义计算即可． 【详解】∵， ∴； ∵平分， ∴； ∴； 故选A． 4． 是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】把解代入方程，求得m值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值， 熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】∵是关于的方程的解， ∴, 解得， 故选A． 5． 有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b的关系，根据有理数的运算，可得答案． 【详解】∵﹣1＜a＜0，b＞1， ∴选项A：，故错误，不符合题意； 选项B：，正确，符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意； 故选：B． 6． 将四个数a、b、c、d排列成，并且规定，若的值为6， 则x的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义的问题，按照题意的规定列出方程，然后进行计算即可．按照题意，列出关于x的方程，求解即得x的值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴． 故选：A． 7． 已知某商店出售了两个进价不同的书包，售价都是42元，其中一个盈利40%，另一个亏损30%， 则在这次买卖中，商店的盈亏情况是（   ） A．盈利4.2元 B．盈利6元 C．亏损6元 D．不盈不亏 【答案】C 【分析】设盈利的书包的进价为x元/个，亏损的书包的进价为y元/个，根据售价-进价=利润，即可得出关于x（y）的一元一次方程，42-x=40%x，42-y= -30%y，解之即可得出x（y）的值，再利用利润=售价-进价即可找出商店的盈亏情况． 【详解】解：设盈利的书包的进价为x元/个，亏损的书包的进价为y元/个， 根据题意得：42-x=40%x，42-y= -30%y， 解得：x=30，y=60， ∴42×2-30-60=-6（元）． 答：商店亏损6元． 故选：C． 8． 如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点， 将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 9． 如图是长为 a ，宽为 b 的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面 为长方形（长为 8，宽为 6）的盒子底部（如图 2），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示， 则两块阴影部分的周长之和为（   ） A．16 B．24 C．20 D．28 【答案】B 【分析】根据图形得到表示出两个阴影部分周长之和，然后根据整式加减运算法则进行计算即可求出值． 【详解】根据题意得： 两个阴影部分周长之和：． 故选：B． 10． 如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的， 如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形， 第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…； 则第㊿个图形小正方形的个数为（   ） A．245 B．246 C．254 D．255 【答案】C 【分析】本题考查图形规律探究，通过分析归纳总结出规律是解题的关键． 通过分析归纳总结出规律：第n个图形小正方形的个数为，即可求解． 【详解】解：第①个图形小正方形的个数为， 第②个图形小正方形的个数为， 第③个图形小正方形的个数为， … 第n个图形小正方形的个数为， 第㊿个图形小正方形的个数为． 故选：C． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11． 某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是______ 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用早晨的气温加上上升的温度，再减去下降的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴午夜的气温是， 故答案为： 12． 如果，满足，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查平方数和绝对值的非负性．根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， 所以，． 故答案为：9． 13． 如图，点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，则∠BOE＝ ． 【答案】62° 【分析】先求出∠AOB的度数，然后根据两角互补和是180°求出∠BOD的度数，再利用角平分线的定义求出所求角的度数． 【详解】解：由题意知：∠AOB＝2∠AOC＝56° ∵∠AOB+∠BOD＝180° ∴∠BOD＝180°﹣56°＝124° ∴∠BOE＝∠BOD＝62° 故答案为62° 14. 已知长方形的周长为，其一边长为，则另一边长为 ． 【答案】a 【分析】根据长方形的周长等于两邻边的和乘以2，计算即可得到另一边的长． 【详解】解：长方形的周长为，其一边长为， 另一边长为， 即 ． 故答案为：． 15. 如图，平分．现有射线分别从同时出发， 以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时， 这两条射线都停止旋转，则经过 秒后，射线的夹角为． 【答案】8或20 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用．分，相遇之前与相遇之后分别讨论，求出结果即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设经过秒后，射线、的夹角为， ∴或， 解得：或． ∵射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转， ∴， ∴， ∴经过秒或秒后，射线、的夹角为． 故答案为：8或20． 16． 如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为，…，第2024次输出的结果为 ．    【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据输出的结果发现从第3次输出的结果开始按，循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 开始输入的的值为， 所以第1次输出的结果为； 第2次输出的结果为； 第3次输出的结果为； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； ， 依次类推，从第3次输出的结果开始按，循环出现， 又， 所以第2024次输出的结果为； 故答案为：． 3、 解答题：（本题共10小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。） 17．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1进行求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤进行求解． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 19. 如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求和的度数； (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数． 【答案】(1) (2)40° 【分析】(1)根据比的意义，列式计算即可． (2)根据比的意义，角平分线的意义列式计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：因为平分， 所以． 因为∠， 所以， 所以． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题主要考查了整式的化简以及求值． （1）去括号合并同类项即可． （2）先计算单项式乘以多项式，去括号，然后再合并同类项，最后代入a，b，求值即可． 【详解】解：（1） （2） ∵， ∴原式 21. 如图，点是线段的中点，，点将线段分为两部分，． （1）求线段的长． （2）点在线段上，若点距离点的长度为，求线段的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】(1)先计算出AB的长，再计算PB，则OP=OB-BP； (2) 运用分类的思想计算即可． 【详解】解：（1）∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）若在左侧，， ， 若在右侧，， ， ∴的长为或． 22． 随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时， 喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见 (分为：赞成、无所谓、反对)，并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1) 此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ (2) 将图1补充完整； (3) 求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； (4) 根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见． 【答案】(1)200名； (2)见解析； (3) (4)375 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据持“赞同”意见的学生人数和所占百分比，可求出调查的学生总人数； （2）先求出持“反对”意见的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）用持“反对”意见的学生人数的占比，即可求出圆心角； （4）用该校总人数乘以持“无所谓”意见的学生占比，即可估计人数． 【详解】（1）解：， 答：此次抽样调查中，共调查了200名学生； （2）解：反对的人数为：（人）， 补全的条形统计图如下： （3）解：， 答：扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：； （4）解：（人）， 答：该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见． 23 ,学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1) 当有5张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐___________人． (2) 当有n张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐____________人． (3) 新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师， 你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 【答案】(1)22，14 (2) (3)选择第一种方式，理由见解析 【分析】（1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得． （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐4×5+2=22人， 第二种摆放方式能坐2×5+4=14人； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人． 即有n张桌子时是6+4（n-1）=4n+2． 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即6+2（n-1）=2n+4． （3）解：选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：60张桌子一共可以坐60×4+2=242（人）． 第二种方式：60张桌子一共可以坐60×2+4=124（人）． 又242＞200＞124， 所以选择第一种方式. 24． “水是生命之源”，某自来水公司为鼓励用户节约用水， 对 “一户一表” 居民用水按以下规定收取水费： 月用水量/吨 单价（元/吨） 不超过10吨的部分 2.6 超过10吨但不超过18吨的部分 3.5 超过 18 吨的部分 4.3 注意：另外每吨用水加收 元的城市污水处理费 例如：某用户 11 月份用水 16 吨，共需交纳水费为： 元． 请根据以上信息，回答下列问题： (1) 若小聪家 11 月份用水 12 吨，那么共需交纳水费多少元? (2) 若小明家 11 月份共交纳水费 元, 那么小明家 11 月份用水多少吨? (3) 若小聪和小明家 12 月份共用水 23 吨，共交纳水费 元， 其中小聪家用水量少于 10 吨，那么小聪家和小明家 12 月份各用水多少吨? 【答案】(1)共需交纳水费42.6元 (2)小明家 11 月份用水17吨 (3)小聪家12 月份用水9吨，小明家 12 月份用水14吨 【分析】（1）根据收费标准列式计算即可； （2）设小明家11月份用水x吨，先判断x<18，再列方程求解； （3）设12月份小聪家用水y吨，则小明家用水（23-y）吨，且y<10，分两种情况：当0<y<5时，当时，列方程解答． 【详解】（1）解：需交纳水费（元）； （2）解：设小明家11月份用水x吨， ∵>64.1， ∴x<18， ∴, 解得x=17， 答：小明家 11 月份用水17吨； （3）解：设12月份小聪家用水y吨，则小明家用水（23-y）吨，且y<10， 当0<y<5时，则23-y>18， ，解得（舍去）； 当时，10<23-y18， ，解得y=9， ∴23-9=14 答：小聪家12 月份用水9吨，小明家 12 月份用水14吨． 25． （1）我们曾解决过这样的问题： 如图1，点O在直线上，，分别平分，，可求得______． 【问题改编】 点O在直线上，，平分． （2）如图2，若，求的度数； （3）将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系， 并写明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析． 【分析】（1）根据平角是，，分别平分，，即可得； （2）先求，利用角平分线定义再求，最终求的度数； （3）设，再根据（1）的求解过程，用含的式子表示两个角的数量关系． 【详解】解：（1），，分别平分，， ， ， 故答案为：； （2）， ． ， ． ． 平分， ． ； （3）设． 则． 平分， ． ， ． 按图3所示的位置放置时，与度数间的等量关系为：． 26．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1) 填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2) 若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3) 若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动， 同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)－1，3，4 (2)或 (3)①甲：；乙：或；②秒或秒 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离； （2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤，（Ⅱ）t＞，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）因为， 所， 所以； 所以AB的距离＝， 故答案为：－1，3，4； （2）设数轴上点C表示的数为c． 因为， 所以，即． 因为， 所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上． ①当C点在线段AB上时，则有， 得，解得； ②当C点在线段AB的延长线上时，则有， 得，解得． 故当时，或； （3）①因为甲球运动的路程为：， 所以甲球与原点的距离为：； 乙球到原点的距离分两种情况： （I）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O， 因为，乙球运动的路程为：， 所以乙球到原点的距离为：； （I I）当时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：； ②当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期北师版七年级期末数学培优卷 1、 选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1． 如图，从左面观察这个立体图形，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2． 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域， 成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域，从发射点和导弹落点粗略估算， 这次导弹飞行射程大概有12000公里，数据12000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3． 如图，，平分，则的度数（   ） A． B． C． D． 4． 是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．1 5． 有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 6． 将四个数a、b、c、d排列成，并且规定，若的值为6， 则x的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 7． 已知某商店出售了两个进价不同的书包，售价都是42元，其中一个盈利40%，另一个亏损30%， 则在这次买卖中，商店的盈亏情况是（   ） A．盈利4.2元 B．盈利6元 C．亏损6元 D．不盈不亏 8． 如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点， 将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 9． 如图是长为 a ，宽为 b 的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面 为长方形（长为 8，宽为 6）的盒子底部（如图 2），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示， 则两块阴影部分的周长之和为（   ） A．16 B．24 C．20 D．28 10． 如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的， 如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形， 第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…； 则第㊿个图形小正方形的个数为（   ） A．245 B．246 C．254 D．255 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11． 某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是______ 12． 如果，满足，那么 ． 13． 如图，点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，则∠BOE＝ ． 14. 已知长方形的周长为，其一边长为，则另一边长为 ． 15. 如图，平分．现有射线分别从同时出发， 以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时， 这两条射线都停止旋转，则经过 秒后，射线的夹角为． 16． 如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为，…，第2024次输出的结果为 ．    3、 解答题：（本题共10小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。） 17．计算 (1)； (2)． 18．解下列方程 (1)； (2)． 19. 如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求和的度数； (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数． 20. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，点是线段的中点，，点将线段分为两部分，． （1）求线段的长． （2）点在线段上，若点距离点的长度为，求线段的长． 22． 随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时， 喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见 (分为：赞成、无所谓、反对)，并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1) 此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ (2) 将图1补充完整； (3) 求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； (4) 根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见． 23 .学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1) 当有5张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐___________人． (2) 当有n张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐____________人． (3) 新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师， 你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 24． “水是生命之源”，某自来水公司为鼓励用户节约用水， 对 “一户一表” 居民用水按以下规定收取水费： 月用水量/吨 单价（元/吨） 不超过10吨的部分 2.6 超过10吨但不超过18吨的部分 3.5 超过 18 吨的部分 4.3 注意：另外每吨用水加收 元的城市污水处理费 例如：某用户 11 月份用水 16 吨，共需交纳水费为： 元． 请根据以上信息，回答下列问题： (1) 若小聪家 11 月份用水 12 吨，那么共需交纳水费多少元? (2) 若小明家 11 月份共交纳水费 元, 那么小明家 11 月份用水多少吨? (3) 若小聪和小明家 12 月份共用水 23 吨，共交纳水费 元， 其中小聪家用水量少于 10 吨，那么小聪家和小明家 12 月份各用水多少吨? 25． （1）我们曾解决过这样的问题： 如图1，点O在直线上，，分别平分，，可求得______． 【问题改编】 点O在直线上，，平分． （2）如图2，若，求的度数； （3）将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系， 并写明理由． 26．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1) 填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2) 若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3) 若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动， 同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$