-综合与实践：制作一个尽可能大的无盖长方形收纳盒 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件围绕无盖长方体收纳盒制作，核心是容积计算与最值探究。从手工课实际问题导入，通过剪去小正方形操作，结合展开折叠知识，引导学生用代数式表示容积，再通过数据表格、逐步精确分析规律，构建从具体到抽象的学习支架。 特色在于实践与数学抽象结合，通过整数到小数再到分数的分层探究，培养推理能力和模型意识。如用20cm纸板计算x=3、3.3、10/3时的容积，最终得出h=a/6的结论。帮助学生提升探究与应用意识，为教师提供可操作的实践教学案例。

综合与实践 ——制作一个尽可能大 的无盖长方体形收纳盒 综合与实践：制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 七年级上 BS 第六章 数据的收集与整理 1. 运用图形的展开与折叠方面的知识技能制作无盖长方体形的盒子，用代数式表示长方体形盒子的容积，将实际问题抽象为数学问题. 2. 利用有关数学知识和方法分析数据、探索“无盖长方体形盒子的容积”随“剪去的小正方形的边长”的变化而变化的规律，并对研究过程和结果进行评估、反思. 学习目标 手工课上，同学们需要将一张边长为20cm的正方形硬纸板制成无盖的长方体形收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品. 你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 情境引入 这两种制作方法有什么共同之处？ 在正方形的四个角处剪去形状、大小一致的小正方形. 操作演示 点击播放视频 点击播放视频 情境引入 问题1 剪去的小正方形的边长在围成盒子之后变成长方体的什么？ 剪去的小正方形的边长是无盖长方体的高. 20cm 探究新知 问题2 剪去的小正方形的边长有范围限制吗？ 剪去的小正方形的边长在0cm和10cm之间. 点击播放视频 我们来听听同学们的说法吧！ 探究新知 问题3 剪去的小正方形的边长会影响无盖长方体的容积大小吗？ 点击播放视频 【第一组】 不同小组作品图展示 【第二组】 探究新知 【第三组】 问题3 剪去的小正方形的边长会影响无盖长方体的容积大小吗？ 16cm 2cm 7cm 6cm 剪去的小正方形的边长大小会影响无盖长方体的容积大小. 探究新知 问题4 无盖长方体盒子的长、宽、高三个量中，设长方体的高为xcm，你能表示出其他两个量吗？ 20cm x x 20-2x (20-2x)cm xcm (20-2x)cm 无盖长方体的长和宽均为（20-2x）cm. 探究新知 问题5 你能用x表示出无盖长方体的容积V吗？ (20-2x)cm xcm (20-2x)cm 长方体的体积：体积=长×宽×高 探究新知 问题6 边长为20cm的正方形纸片四角处被剪去的小正方形边长为多少时，所得无盖长方体盒子的容积最大？ 20cm x x 20-2x (20-2x)cm xcm (20-2x)cm 你打算用什么方法探究无盖长方体形盒子容积V的变化规律？ 探究新知 正方形纸片的边长是20cm，剪去的小正方形的边长为xcm，x按整数数值依次变化，计算折成的无盖长方体纸盒的容积，并制作一个统计表. x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 V/cm 324 384 500 588 576 512 252 128 36 最大 你认为容积V还可能存在更大的值吗？ 探究新知 如果x分别取3~4时，计算折成的无盖长方体纸盒的容积V. x/cm 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 V/cm 根据表格你有何发现？ 随着x的增大，V值先增大后减小，当x在3.3~3.4之间时，V值最大. 590.36 591.87 592.55 592.42 591.5 589.82 587.41 584.29 580.48 盒子的高度x未必都是整数厘米，如果高度x不都是整数厘米，那么容积V在哪个范围取值时容积V最大？ 探究新知 如果x分别取3.3~3.4时，计算折成的无盖长方体纸盒的容积V. 猜想：当x的值为多少时，无盖长方体盒子的容积V最大？ x/cm V/cm 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 592.571 592.585 592.592 592.591 592.582 592.564 592.539 592.506 592.465 探究新知 0~10 3~4 3.3~3.4 3.33~3.34 ...... 如果正方形的纸片的边长是20cm，剪去的小正方形的边长为 时，无盖长方体盒子的容积V最大. 猜想：当x的值为多少时，无盖长方体盒子的容积V最大？ 探究新知 x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 V/cm 324 512 588 576 500 384 252 128 36 “夹逼法” 探究新知 任务一：用边长为10cm的正方形纸片做成无盖的长方体形盒子盛糖果，要求使得无盖长方体形盒子的容积最大. x/cm 1 2 3 4 V/cm x/cm 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 V/cm x/cm 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 V/cm 64 72 48 16 66.92 69.31 71.19 72.58 73.50 73.98 74.05 73.73 73.04 74.009 74.030 74.047 74.060 74.069 74.073 74.074 74.071 74.063 猜想：如果正方形纸片的边长是10cm，剪去的小正方形为 时，无盖长方体盒子的容积V最大. 1.被 拓展应用 任务二：用边长为30cm的正方形纸片做成无盖的长方体形盒子盛糖果，要求使得无盖长方体形盒子的容积最大. x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 V/cm 784 1325 1728 1936 2000 1944 1792 1568 1296 1000 704 432 208 56 x/cm 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 V/cm 1999.40 1997.63 1994.71 1990.66 1985.50 1979.26 1971.97 1963.65 1954.32 猜想：如果正方形纸片的边长是30cm，剪去的小正方形为5cm时，无盖长方体盒子的容积V最大. 拓展应用 问题6：如果设这张正方形纸片边长为a，所得无盖长方体盒子的高为h，应怎样计算无盖长方体盒子的容积V？ a h h 无盖长方体盒子的长和宽均为a-2h，容积为 a-2h a-2h h 拓展应用 大正方形边长 剪去的小正方形边长 10 20 30 ... ... 三次实验探究中大正方形边长与小正方形边长之间的关系： 拓展应用 结论：当小正方形边长等于大正方形边长 时，所得无盖长方体 盒子的容积V最大. 总结 拓展应用 1.下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是（ ）． A. B. C. D. A 随堂练习 2.有长为50cm，宽为40cm的长方形厚纸板三张，照以下甲、乙、丙三个图，在四角各截去不同规格的正方形后，再制成三个无盖纸盒，请问容积最大的纸盒是（ ）． A. 甲 B.乙 C.丙 D.一样大 B 甲 乙 丙 10cm 8cm 6cm 随堂练习 3.用一张边长为24dm的正方形纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒，需要将四角各裁掉一个小正方形. （1）如果剪去小正方形的边长为xdm，请你用含x的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的高、底面积和容积； 解：无盖长方体纸盒的高为xdm、底面积为 容积为 随堂练习 （2）剪去小正方形的边长x的取值应小于______dm； 12 （3）如果剪去小正方形的边长为x按整数值依次变化，即x分别取1dm，2dm，3dm，4dm，5dm，6dm，7dm，8dm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？ 随堂练习 根据（3）的计算结果分析 （4）分析当剪去小正方形的边长变化时，所得的无盖长方体的容积如何变化？ 解：当小正方形的边长从1dm增加到4dm时，所得的无盖长方体的容积逐渐增大；当小正方形的边长大于4dm时，所得的无盖长方体的容积逐渐减小. 随堂练习 （5）猜想当剪去小正方形的边长取什么值时，所得的无盖长方体的容积最大？此时无盖长方体的容积是多少？ 解：当剪去小正方形的边长为4dm时，所得的无盖长方体的容积最大；此时无盖长方体的容积是 随堂练习 Lavf60.4.100 Lavf60.4.100 Lavf60.4.100 $