专题07 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（5题型）--2024～2025学年高一数学上学期期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题07 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性 题型目录一览 ①函数的奇偶性 ②函数奇偶性的应用 ③函数的周期性 ④函数的对称性 ⑤函数性质的综合应用 一、知识点梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 2.函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 3.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【常用结论】 1.奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 2.周期性技巧 3.函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 4.对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 二、题型分类精讲 题型一 函数的奇偶性 策略方法 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法： 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 【题型训练】 题型二 函数奇偶性的应用 策略方法 已知函数奇偶性可以解决的三个问题 【典例3】（23-24高一上·广东广州·期末）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．可是奇函数 【典例4】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知，若，则 ． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东·期末）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．6 B．50 C．616 D．1176 3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）已知函数为R上的偶函数，，当时，都有，若，，（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知定义在上的偶函数的图象是连续的，且满足， 都有，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．恒成立 D．在区间上共672个零点 6．（23-24高一上·四川德阳·期末）定义在上的函数，能断定4是周期的是（    ） A．满足 B．满足 C．奇函数满足 D．奇函数满足 三、填空题 7．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的定义域为，且是奇函数，为偶函数，则 . 8．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ． 9．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数 ，若，，且 ，则 的最小值为 . 四、解答题 10．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 11．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数. (1)设函数，实数满足，求； (2)若在时恒成立，求的取值范围. 题型三 函数的周期性 策略方法 函数周期性的判断与应用 【典例5】（23-24高一上·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【典例6】（23-24高一上·重庆·期末）若，当时，，则 . 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2024·江苏南通·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 3．（2024·安徽合肥·三模）已知定义在上的偶函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 6．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知定义在R上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在区间内无零点 三、填空题 7．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数的正周期为且满足，又函数为偶函数，则的一个值可以为 ． 8．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的定义域为，且满足，，则可以是 ．（写出一个即可） 9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 四、解答题 10．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 11．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减． (1)求证：； (2)求的值； (3)当时，求不等式的解集． 题型四 函数的对称性 策略方法 函数图象的对称性的判断与应用 【典例7】（23-24高一上·广西河池·期末）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 【典例8】（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24高一下·湖南怀化·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（    ） A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D． 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则的值为 . 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ． 7．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则 ． 8．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 三、解答题 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 10．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设函数． (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； (3)若不等式对恒成立，求实数的最大值． 11．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数  . (1)用单调性定义证明：在上单调递增； (2)若函数有3个零点，满足，且 . ①求证： ； ②求的值（表示不超过的最大整数）. 题型五 函数性质的综合应用 【典例9】设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质. (1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由； (2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有； (3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立； ②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值. (可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.) 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，满足对任意的，都有 的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·江西新余·期末）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的取值范围为 C．为奇函数 D．方程仅有6个不同实数解 三、填空题 6．（23-24高一上·重庆·期末）若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为 . 7．（23-24高一上·福建宁德·期末），函数同时满足：①，②，写出函数的一个解析式 . 8．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 四、解答题 9．（23-24高一上·广东深圳·期末）若函数的定义域为，若对于给定的正实数，存在，使得，则称函数在上具有性质． (1)若函数在区间上具有性质，求正整数的最小值； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围． 10．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知函数（）是奇函数,是偶函数. (1)求; (2)判断函数在上的单调性并说明理由; (3)若函数满足不等式,求出的范围. 11．（2016·安徽·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 12．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明） (1)试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论） (2)已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合； (3)对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题07 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性 题型目录一览 ①函数的奇偶性 ②函数奇偶性的应用 ③函数的周期性 ④函数的对称性 ⑤函数性质的综合应用 一、知识点梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 2.函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 3.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【常用结论】 1.奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 2.周期性技巧 3.函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 4.对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 二、题型分类精讲 题型一 函数的奇偶性 策略方法 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法： 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 【题型训练】 题型二 函数奇偶性的应用 策略方法 已知函数奇偶性可以解决的三个问题 【典例3】（23-24高一上·广东广州·期末）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．可是奇函数 【答案】D 【分析】由题意可得关于和对称，即可得到，即可判断. 【详解】因为是奇函数，所以， 因为是奇函数，所以， 即关于和对称， 所以，， 得，得， 令，， ，，满足条件， 而，，满足条件， 但是奇函数，是偶函数，故AB都错； 且，故C错； 因为，所以， 即，所以可是奇函数.故D对 故选：D 【典例4】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意得，由此即可顺利得解. 【详解】由题意， 所以. 故答案为：3. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东·期末）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性以及时的正负即可判断. 【详解】函数的定义域为，且，， 是奇函数，排除选项C和D，当时，， 排除选项B. 故选：A． 2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ） A．6 B．50 C．616 D．1176 【答案】A 【分析】由为偶函数，为奇函数的定义得出和的对称性，得出恒等式，利用条件分别求出和的解析式，即可得出答案. 【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故； 由函数为奇函数，则， 整理可得，即函数关于对称， 故； 由，可得， 所以， 故，解得， 所以，所以， 故选：A． 3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）已知函数为R上的偶函数，，当时，都有，若，，（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数函数、指数函数等知识确定正确答案. 【详解】依题意，函数为R上的偶函数， ，当时，都有， 所以在上单调递减，则在上单调递增. 由于，所以. 由于，所以， 所以，即， ，所以. 故选：A 4．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出的单调性，且得到时，，时，的结论，然后分类讨论解不等式即可. 【详解】对于任意的，当时，都有成立， 所以在严格增，又是定义在上的奇函数， 所以在上严格增，且，所以时，，时，， 或，即或， 所以， 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知定义在上的偶函数的图象是连续的，且满足， 都有，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．恒成立 D．在区间上共672个零点 【答案】BC 【分析】根据给定条件，推导求出函数的周期，利用单调性定义确定函数在上的单调性，再逐项分析判断得解. 【详解】函数的定义域为，由，得， 则，因此函数的周期为12， 由都有，得函数在上单调递增， 则，因此6不是函数的周期，A错误； 由函数是偶函数，得函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，B正确； 显然，C正确； 在中，令，得，因此， 显然，因此在区间上函数有两个零点3和9， 而，函数在区间上的图象可由区间上的图象平移而得， 则函数在区间上有1个零点，于是在上的零点个数为， 由偶函数知，在上的零点个数为，所以在区间上共674个零点，D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 6．（23-24高一上·四川德阳·期末）定义在上的函数，能断定4是周期的是（    ） A．满足 B．满足 C．奇函数满足 D．奇函数满足 【答案】BCD 【分析】根据每个选项的恒等式和奇偶性，赋值变形即可判定. 【详解】对于A：，所以8是的周期，不能判定4是函数的周期，故A错误； 对于B：， 故合题意； 对于C：因为为奇函数，，所以，故合题意； 对于D：因为为奇函数，， 所以，故合题意； 故选：BCD. 三、填空题 7．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的定义域为，且是奇函数，为偶函数，则 . 【答案】0 【分析】根据奇偶函数的性质求函数值即可. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为为偶函数，所以. 取，得， 所以. 故答案为：0 8．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围. 【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即， 又因为关于对称，所以，即， 可得函数的周期， 当时，可得其图象如下所示： 由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可， 根据图示可得，解得， 即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略 (1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解； (2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标； (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 9．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数 ，若，，且 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可知，利用“1”的技巧，根据均值不等式求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数， 由，可得，即， 由，，， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 11．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数. (1)设函数，实数满足，求； (2)若在时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性进行求解； （2）分类讨论，分别求出在上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调性． 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 且， 则是奇函数，从而， 因为，所以，得， 所以. （2）若，则在上单调递增， 因为在时恒成立，所以，解得，所以. 若，由可得，当且仅当，即时等号成立， 则在上单调递减，在上单调递增. 若，则，解得，与矛盾； 若，则，解得，所以. 综上所述，的取值范围是. 题型三 函数的周期性 策略方法 函数周期性的判断与应用 【典例5】（23-24高一上·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】C 【分析】应用赋值法可求出特殊点的函数值以及函数的周期，进而求出. 【详解】因为，由， 令，则， 即，得， 两式相加得，则有，即， 则有，所以函数的一个周期为6， 令，则，得， 令，则，得， 又，得，， ，， 所以， 由周期性得. 故选：C 【典例6】（23-24高一上·重庆·期末）若，当时，，则 . 【答案】6 【分析】先求出是以为周期的周期函数，再由对数的运算性质求出结果即可. 【详解】因为，所以， 所以是以为周期的周期函数， 又因为余，故， 因为当时，， 所以，所以. 故答案为：6. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】赋值求解，赋式证明奇偶性性与周期性，再利用性质转化求值. 【详解】函数的定义域为，由，， 令，则，解得； 令，则，则； 因为①， ①式中，用替换，则， 故，所以为偶函数. ①式中，用替换，则， 所以，即②， ①②可得，，则③， ③式中，用替换，得④， ④式中，用替换，⑤， 由④⑤得，则为周期函数且周期为6， 所以，， 故. 故选：C. 2．（2024·江苏南通·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】为偶函数，则则关于对称， 为奇函数，则， 即，则关于点对称， 则由其关于对称有，则， 则，作差有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 因为，，则， ，则， ，， 故选：C. 3．（2024·安徽合肥·三模）已知定义在上的偶函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的周期性与对称性可得解. 【详解】由， 令，得， 又令得， 再令，， 又，所以， 又，， 所以，为的一个周期，， 即， 故选：A． 4．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以，即， 令，由①得：， 解得：，所以． 又因为， 即，则，所以函数是以为周期的函数， 所以 ． . 故选：D 【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性： （1）是偶函数，则； （2）是奇函数，则. 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A、B、C分别利用赋值法可逐项判断，对D利用赋值法可求出是周期函数，再根据周期函数可判断. 【详解】因为， 对B，令，得，因为，所以，故B错误； 对A，令，则，由B知， 则，所以，且定义域为， 故是偶函数，故A正确； 对C，令，则，所以， 令，则，故C正确； 对D，有，则， 所以函数周期，则， 所以，故D正确． 故选：ACD． 6．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知定义在R上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在区间内无零点 【答案】ABD 【分析】对于A：根据奇函数定义整理判断；对于B：根据周期函数的定义整理判断；对于C：利用正弦函数的有界性分析判断，注意等号成立的条件；对于D：结合对称性分析判断. 【详解】，，即， 故是奇函数，A正确； ，， 即，故是以为周期的周期函数，B正确； 当时，，注意到等号不能同时成立， ∴，即， 再由的对称性、周期性，可知不是的最大值，C错误； 当时，，则， 再由的图象关于直线对称，知在内恒正， 又， 故在区间内无零点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数的正周期为且满足，又函数为偶函数，则的一个值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用周期函数的定义求得，再利用偶函数的性质求得，从而得解. 【详解】因为，所以必然是的一个正周期， 又的正周期为，所以可以为； 因为函数为偶函数， 所以，即， 则，由的任意性得，即； 所以可以为，则的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 8．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的定义域为，且满足，，则可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据条件确定函数的奇偶性和周期性，再结合三角函数的性质可写出答案. 【详解】由题意：函数的定义域为，且，所以为奇函数； 又，所以是以2为周期的周期函数； 所以的解析式可以为：. 故答案为：（答案不唯一） 9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 【答案】 【分析】先求出函数的周期，利用周期性将化为，再利用函数的奇偶性，有，代入解析式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的周期为，且为偶函数，即， 当时，，. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在上的函数满足，都有且当时， (1)求； (2)证明：为周期函数； (3)判断并证明在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）分别令，即可得出答案; （2）令可得：，得出，即可得出周期性； （3）结合（2）的结论，利用定义证明单调性即可. 【详解】（1）令，得，由于当时，因此 令，得，即，因此． （2）证明：令，得， 因此，所以 由周期性的定义可知，函数是以4为周期的周期函数． （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取，有 由于，故,由（1）知， 因此，又， 因此 故，因此在上单调递减. 11．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减． (1)求证：； (2)求的值； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）借助赋值法令即可得； （2）借助赋值法可得为周期为的周期函数、并可计算出、、、，结合周期性即可得. （3）借助赋值法令，可将原不等式转化为，解出可得的范围，结合函数性质即可得. 【详解】（1）令，则有， 由，故； （2）令，则有， 则，即， 故，即， 则，即， 故，即有， 故函数为周期为的周期函数， 令、，则有，即， 令、，则有，即， 由，故， ，，， 故 . （3）令，则有， 即， 则， 即可化为， 即解，即， 即， 由、，且在区间上单调递减， 故是该不等式的解， 又，即， 故在区间上单调递增， 又、，故是该不等式的解， 又函数为周期为的周期函数， 故该不等式的解集为. 【点睛】关键点睛：本题最后一问关键在于正确使用赋值法，将转化为，从而将原不等式转化为. 题型四 函数的对称性 策略方法 函数图象的对称性的判断与应用 【典例7】（23-24高一上·广西河池·期末）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将所求不等式化为，可令，根据奇函数定义和单调性性质可确定为奇函数且在上单调递增，由定义域、奇偶性和单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】由， 得：， 令，则； 关于对称，， ， 为定义在上的奇函数； 又为上的增函数，为增函数， 在上单调递增， 则由， 得：， ，解得：， 即的解集为. 故答案为：. 【典例8】（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】D 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题. 4．（23-24高一下·湖南怀化·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（    ） A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D． 【答案】D 【分析】由已知条件可判断函数的奇偶性，周期性以及单调性，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由的图象关于直线对称，知的图象关于y轴对称， 所以是偶函数，所以B错误. 在中，令得， 又，所以，所以，知是周期为6的周期函数，所以C错误. 对于，当时，， 故在上单调递减，所以，所以A错误. 对于D，，， 由在上单调递减，得即，D正确， 故选：D 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则的值为 . 【答案】2023 【分析】利用函数的对称性得到，然后计算即可. 【详解】根据题意，函数，则， 故，， 故答案为：2023. 6．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ． 【答案】 【分析】在中令，即可得第一空答案；由题意可知的图象关于轴对称，从而得，运用到算式即可得第二空答案． 【详解】在中，令，则有； 的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，有， 又，则，得， 可得，， 所以，，， 所以 ． 故答案为：；． 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称. 7．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据函数的奇偶性以及可得函数的周期为2，进而利用周期性即可求解. 【详解】是定义在R上的函数满足，所以， 又因为，所以，所以， 则函数的周期为2，所以 故答案为： 8．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以越靠近对称轴函数值越小， 所以由得， 由于，所以， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，， 在时单调递减，， 所以恒成立，则实数a的取值范围 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 三、解答题 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用单调性得定义证明即可； （2）构造，只需证明为奇函数即可. 【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下： 任取，且， ． 因为，且， 所以，， 所以，即， 故函数在上单调递减． （2）证明：设， 则． 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数． 故的图象关于点成中心对称图形． 10．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设函数． (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心； (3)若不等式对恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)，函数的图象的对称中心为 (3) 【分析】（1）在上单调递减，设，计算得到得到证明； （2）计算得到，根据题设得到结论； （3）构造，确定为奇函数，且在上单调递减，变换得到，得到，根据均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设，则， ，则， 故，即，函数在上单调递减； （2），则， 故函数的图象的对称中心为； （3）设，故为奇函数，且在上单调递减， ，即，即， 则在上恒成立，即，， ，当且仅当时等号成立，故，即的最大值为. 11．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数  . (1)用单调性定义证明：在上单调递增； (2)若函数有3个零点，满足，且 . ①求证： ； ②求的值（表示不超过的最大整数）. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②14 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求解， （2）根据函数的图象，结合二次函数的对称性即可求解①，构造函数，由单调性的定义求解其单调性，即可结合零点存在定理求解②. 【详解】（1），且 有， 由，得， 所以，得， 又由，得.于是， 即.所以，函数在上单调递增. （2）① 要使有3个零点，由（1）知，函数在 上存在一个零点，在上存在两个零点，且， 代入，得，于是， 因为，所以    ② 由，代入式，得， 令，且， 有， 由于，所以，而， 则， 故， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以，得. 题型五 函数性质的综合应用 【典例9】设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质. (1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由； (2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有； (3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立； ②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值. (可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.) 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；②. 【分析】（1）取特殊值验证即可，如：，，，； （2）根据要证明的不等式可令，代入计算即可； （3）①对任意的、、，令，显然，令，，，然后题意即可证明； ②利用①中的结论按三角形ABC的类型分类讨论可得. 【详解】（1）令，，，，于是，，显然. 因此函数，不具有M性质. （2）设、，且，令， 显然，且，于是，即. ∵函数在区间上为增函数，∴. （3）①对任意的、、，令，显然. 若，则不等式中等号成立. 下面考虑、、不全相等，不妨设的值最小，的值最大，于是，且. 令，，， 于是，且 ， 故，从而. 又，且， 故，因此. 综上，，其中等号当且仅当时成立. ②当△为锐角三角形时，由①，得， 等号当时成立； 当△为直角三角形时，不妨设为直角，于是 ； 当△为钝角三角形时，不妨设为钝角，此时，于是 ，由， 得，于是，故. 综上，的最大值为. 【点睛】本题考查函数新定义，是对函数性质和不等式性质的综合应用，需要运用已知函数性质和不等式性质，并结合要证明的结论或计算的结果进行赋值运算，综合考查逻辑推理能力. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，满足对任意的，都有 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案. 【详解】对于A：若，则，， ，成立； 对于B：若，由，得， 取，得不成立； 对于C：若，由，得， 取，得不成立； 对于D：若，由，得， 取，得不成立. 故选：A 2．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ，所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，， 所以，，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 3．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由偶函数的性质可将所求不等式变形为，分析函数在上的单调性，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是R上的偶函数，则， 所以不等式可变形为， 因为对于任意两个不等实数、， 不等式恒成立， 所以不等式恒成立， 不妨设，则，可得， 则函数在上单调递增， 所以，，可得，即，解得或， 则原不等式的解集为． 故选：C． 4．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值和排除法可得结果 【详解】取，则， 若 ，则，由，得， 解得，符合条件，排除选项A、C, 取，则， 若时，，由，得， 解得，或，都不符合条件， 若，即，由， 得，即，不符合条件， 若，即，由， 得，解得，或，都不符合条件， 综上，，排除B，选D 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一上·江西新余·期末）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的取值范围为 C．为奇函数 D．方程仅有6个不同实数解 【答案】BC 【分析】根据和可得的图象关于对称，且周期为8，并得到在一个周期所有解析式，作出图象逐一判断即可. 【详解】由可得：的图象关于对称，所以， 又因为，所以， 故，所以的周期为8， 令，则，所以， 令，则，所以 令，则，所以 所以得到在一个周期内所有解析式， 作出在图象并根据周期补充在的图象如下所示：    对于A，，故A不正确； 对于B，当 时，由图可知，故B正确； 对于C，的图象可以由的图像向左平移三个单位， 从而得到图象关于原点对称，故为奇函数，即C正确；      对于D，在同一坐标系作出的图象如下图：    当时，，当时，，由图可知有5个交点， 所以D不正确. 故选：BC 三、填空题 6．（23-24高一上·重庆·期末）若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】由指数函数的性质，图象关于对称，和对于不相等的两个正实数，有成立共同得出即可. 【详解】设， 因为，故满足①； 图象为： 故满足②； 设，则，由指数函数的性质可知，故，所以满足③；当，则，由指数函数的性质可知，故，也满足③. 故答案为：(答案不唯一). 7．（23-24高一上·福建宁德·期末），函数同时满足：①，②，写出函数的一个解析式 . 【答案】（答案不唯一）. 【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为，函数同时满足： ①由，此时函数可以是指数函数型或常值函数； ②由，可得函数的图象为“凸”型函数或常值函数， 所以函数的一个解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 8．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高一上·广东深圳·期末）若函数的定义域为，若对于给定的正实数，存在，使得，则称函数在上具有性质． (1)若函数在区间上具有性质，求正整数的最小值； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由性质的定义，根据已知条件有对任意恒成立，即可得参数范围； （2）由性质的定义，根据已知条件有对任意恒成立，即可得参数范围； 【详解】（1）依题意，得， 整理得，解得或（舍去）， 所以，即， 而，故正整数的最小值是. （2）依题意，得， 因为，所以（）或（）， （ⅰ）当（）时，， 因为，所以不存在这样的，舍去. （ⅱ）当（）时，， 由得，即， 又因为，所以，即， ①若，即，，故且，又由得； ②若，即，，故且，同样得到； ③若且，，舍去 综上所求，得的取值范围是. 10．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知函数（）是奇函数,是偶函数. (1)求; (2)判断函数在上的单调性并说明理由; (3)若函数满足不等式,求出的范围. 【答案】(1)3; (2)单调递增,理由见解析; (3). 【分析】(1)根据奇偶性的定义将点代入求出即可; (2)先判断单调性,再用单调性定义证明,注意变形时需要变到几个因式乘积; (3) 根据的奇偶性,将不等式化为,再根据的单调性及定义域写出范围解出即可. 【详解】（1）解:由题知（）是奇函数, , 是偶函数, , , , 故; （2）在上的单调递增,理由如下: 由(1)知, 任取, , , , 故在上的单调递增; （3）由(1)(2)知是奇函数且在上的单调递增, , , , 故. 11．（2016·安徽·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)函数在上是增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式； （2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立； （3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，可得，则， 所以，，则，因此，. （2）证明：函数在上是增函数，证明如下： 任取、且，则 ， 因为，则，，故，即. 因此，函数在上是增函数. （3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数， 由得， 由已知可得，解得. 因此，不等式的解集为. 12．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为函数的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明） (1)试判断函数，是否是上的有界函数；（直接写结论） (2)已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合； (3)对实数进行讨论，探究函数在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不是上的有界函数，是上的有界函数 (2) (3)当时，存在上界M，; 当或时，存在上界M，； 当时，存在上界M，; 当时，不存在上界M． 【分析】（1）根据有界函数的定义判断即可； （2）先求解函数的值域，进而求解的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围； （3）先求解函数及，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界 ，并求解出对应的上界范围. 【详解】解：（1）的值域为 不是上的有界函数， 时， ，此时 时， ，此时 是上的有界函数 （2），易知在区间上单调递增， ∴. ∴， 所以上界构成的集合为． （3）， 当时，，，此时的取值范围是， 当时，在上是单调递减函数， 其值域为，故， 此时的取值范围是， 当时，，若在上是有界函数， 则区间为定义域的子集，所以不包含0， 所以或，解得：或， 时，在上是单调递增函数， 此时的值域为， ①，即或时，， 此时的取值范围是， ②，即时，， 此时的取值范围是， 综上：当时，存在上界，； 当或时，存在上界，； 当时，存在上界，， 当时，此时不存在上界． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$