专题04 基本不等式（7题型）--2024～2025学年高一数学上学期期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题04 基本不等式（精讲） 题型目录一览 ①直接法求最值 ②常规凑配法求最值 ③消参法求最值 ④“1”的代换求最值 ⑤基本不等式及其应用 ⑥利用基本不等式解决实际问题 ⑦利用基本不等式证明 一、知识点梳理 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致. （1）几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 二、题型分类精讲 题型一 直接法求最值 策略方法 直接利用基本不等式求解，注意取等条件 【典例1】（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（22-23高一上·河南新乡·期末）已知． (1)若，证明：． (2)若，求的最大值． 【题型训练】 1．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·江西·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（多选）（22-23高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（）多选（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A． B． C． D． 5．（多选）（22-23高一上·云南昆明·期末）已知a，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．函数 （1）若方程无实根，求实数的取值范围； （2）记的最小值为.若，，且，证明：. 题型二 常规凑配法求最值 策略方法 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 【典例3】已知，且，则当取得最小值时， ． 【典例4】（23-24高一上·全国·期末）（1）已知，求的最小值； （2）若均为正实数，且满足，求的最小值. 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·广东惠州·一模）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津河西·期中）设正实数满足，则（    ） A．有最小值2 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 二、多选题 4．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正实数x，y满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·云南迪庆·期末）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 三、填空题 7．（23-24高一上·浙江·期末）已知，则的最小值为 ． 8．（23-24高一上·重庆永川·期末）已知，且，则的最小值是 . 9．（22-23高三上·福建漳州·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 11．（23-24高一上·山西·期末）已知函数． (1)若，且为奇函数，求的值； (2)若，且的最小值为，求的最小值． 题型三 消参法求最值 策略方法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【典例5】（22-23高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最小值为 . 【典例6】（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知均为实数且，，则的最小值为 . 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 3．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，设，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值2 C．若，则 D．若，则有最大值 6．（22-23高一上·广东清远·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·安徽·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 9．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 10．（23-24高一上·江苏南京·期末）若a，b，c均为正数，且，则的最小值是 . 11．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 题型四 “1”的代换求最值 策略方法 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件． 【典例7】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【典例8】（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南濮阳·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 4．若两个正实数x，y满足，且不等式 有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 6．（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为 ． 7．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ． 四、解答题 8．（23-24高一上·安徽·期末）（1）已知正数a，b满足，若．求的最小值； （2）求的解集． 9．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 10．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 题型五 利用基本不等式解决实际问题 策略方法 利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性． 【典例9】（23-24高一上·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 【典例10】（23-24高一上·上海·期末）某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为300吨. (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【题型训练】 1．（23-24高一上·湖北·期末）湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感．它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点．由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为千元．，且生产的成本包括固定成本4千元，材料等成本2千元/千件．记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为千元． (1)求函数的解析式； (2)该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物？最大利润为多少？ 2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）年月日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元） 年固定成本 每节车厢成本 每节车厢价格 每年最多生产的节数 传统型 节 智能型 节 已知，每销售节智能型车厢时，需上交百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完. (1)设、分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出、与年产量之间的函数关系式； (2)①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值； ②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？ 3．（23-24高一上·安徽合肥·期末）近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为. (1)求的解析式； (2)经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？ 4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） (1)求函数的解析式； (2)当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表： （天） 2 4 10 20 （万件） 12 11 10.4 10.2 (1)请确定的解析式，并说明理由； (2)若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值. 6．（23-24高一上·江西吉安·期末）狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 7．（23-24高一上·全国·期末）某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） (1)求出k的值，并将y表示为x的函数； (2)求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 8．（23-24高一上·湖北恩施·期末）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）. (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 题型六 利用基本不等式证明 策略方法 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 【典例11】（22-23高一上·广东惠州·期中）已知函数（且），且函数图象恒过点 (1)若，求的最小值； (2)若，都有，求的值；若记函数.求证：函数为偶函数. 【题型训练】 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知，函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·广东佛山·期末）若存在常数k，b使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数． (1)证明：函数在区间上单调递增． (2)当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由． 3．（23-24高一上·四川南充·期末）已知是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并证明； (2)若，且，，都为正数，求证：. 5．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，其中. (1)若，证明：在上单调递增， (2)求的最小值. 6．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数. (1)若时，求的定义域； (2)若函数的图像关于直线对称. ①求a，b的值； ②求证：. 7．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数 . (1)证明：； (2)若，不等式恒成立，求实数 的取值范围. 8．已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)存在，使得成立，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题04 基本不等式（精讲） 题型目录一览 ①直接法求最值 ②常规凑配法求最值 ③消参法求最值 ④“1”的代换求最值 ⑤基本不等式及其应用 ⑥利用基本不等式解决实际问题 ⑦利用基本不等式证明 一、知识点梳理 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致. （1）几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 二、题型分类精讲 题型一 直接法求最值 策略方法 直接利用基本不等式求解，注意取等条件 【典例1】（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①，根据，结合即可判断；对于②，根据，，且，可得，即可判断；对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；对于④，可利用基本不等式求的最值，从而得出结果. 【详解】①因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即，①正确； ②因为，，，所以， 所以，②正确； ③，当且仅当时等号成立，所以③错误； ④， 所以，当且仅当时等号成立，④正确； 所以有个不等式成立. 故选：. 【典例2】（22-23高一上·河南新乡·期末）已知． (1)若，证明：． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由，得，再利用基本不等式即可得证； （2）由，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即得证； （2）因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 则， 所以的最大值为6． 【题型训练】 1．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式判断各选项． 【详解】对于A选项，， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B选项，，故， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C选项，， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D选项， ， 当且仅当时取得等号成立，故D正确． 故选：BCD. 2．（多选）（23-24高一上·江西·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于AD，利用完全平方公式，结合指数幂的运算法则即可判断；对于BC，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为恒成立， 所以恒成立，故A正确； 对于B，取，满足， 但，故B错误； 对于C，取，满足， 但，显然无意义，故C错误； 对于D，因为， 所以恒成立，故D正确. 故选：AD. 3．（多选）（22-23高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。 【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误； 对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确． 故选：ACD． 4．（）多选（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用已知条件，通过直接使用基本不等式，代换构造定值，平方等方法，判断选项的正误. 【详解】因为a，b都是正实数，且， 对于A， 由基本不等式，当且仅当时等式成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即，时等式成立，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时等式成立，故C错误； 对于D，， 当且仅当时等式成立，故D正确. 故选：AD. 5．（多选）（22-23高一上·云南昆明·期末）已知a，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质结合基本不等式判断各选项即可确定正误. 【详解】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确； 对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，故D不正确. 故选：BC. 6．函数 （1）若方程无实根，求实数的取值范围； （2）记的最小值为.若，，且，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】(1)去掉绝对值号，画出函数的图象，即可求出函数的最小值，从而可求出实数的取值范围. (2)结合(1)可得，所以，由基本不等式即可得. 【详解】解：（1），则函数的图象如下图， 由函数图象可知，，要使得无实数根，则. ∴实数的取值范围为. （2）由（1）可知，∴，， ∴ 当，即，等号成立.即. 【点睛】关键点睛: 本题第二问的关键是结合已知条件，对进行配凑变形得，再结合基本不等式即可证明. 题型二 常规凑配法求最值 策略方法 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 【典例3】已知，且，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】根据条件表示出，然后将表示结果代入，利用基本不等式求解最小值并分析取等条件，由此可得结果. 【详解】因为，所以，由可知， 所以， 所以，当且仅当即时取等号， 此时，所以， 故答案为：. 【典例4】（23-24高一上·全国·期末）（1）已知，求的最小值； （2）若均为正实数，且满足，求的最小值. 【答案】（1）8；（2） 【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值； （2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值. 【详解】（1） 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. （2） 因为均为正实数，， 所以，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·广东惠州·一模）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数，逐项分析函数解析式可排除B,D;求得C,D中函数的最大值可排除C，即可. 【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数， 则函数和都不满足，故排除B、D； 的图象过点，，， 且时，，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为，又“心形”函数的最大值为，故排除； 由的图象过点，，，且时， ，当时，等号成立， 即函数的最大值为，满足题意，故C满足． 故选：． 2．（23-24高一上·天津河西·期中）设正实数满足，则（    ） A．有最小值2 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】将化为，展开后利用基本不等式即可求得的最小值，判断A；将平方后利用基本不等式即可判断B；利用基本不等式即可判断C；由基本不等式可推出，即可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值为4，A错误； 对于B，，则， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，B正确； 对于C，，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，C错误； 对于D，因为， 即，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值，D错误， 故选：B 3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 二、多选题 4．（23-24高一上·四川成都·期中）已知正实数x，y满足，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A用基本不等式性质判断即可；选项B用基本不等式的推论即可；选项C将带入，再用基本不等式判断；D利用对勾函数的单调性判断. 【详解】对A：因为x，y为正实数，当且仅当时取等号，所以A正确； 对B：因为，当且仅当时取等号，所以B正确； 对C：因为，当且仅当时取等号，所以C错误； 对D：由B选项可知，令，则， 因为对勾函数在上是减函数，所以，所以D正确； 故选：ABD 5．（23-24高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式结合乘“1”法等逐项分析即可. 【详解】对于A，因为，，所以，得， 则， 当且仅当，即时取等号，所以，故A正确； 对于B，由及，得，解得， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：AD. 6．（22-23高一下·云南迪庆·期末）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，，，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高一上·浙江·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件，结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解． 【详解】因为， 所以设，则， 所以，， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 8．（23-24高一上·重庆永川·期末）已知，且，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】将条件等式因式分解可得，然后将待求式子通分并结合基本不等式可求解出最小值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为， 故答案为：. 9．（22-23高三上·福建漳州·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由，利用基本不等式求最小值. 【详解】实数，满足，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 11．（23-24高一上·山西·期末）已知函数． (1)若，且为奇函数，求的值； (2)若，且的最小值为，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由奇函数可得，代入求解即可 （2）利用换元法得，然后利用基本不等式求最值即可 【详解】（1）当时，， 因为是奇函数，所以， 即，得，可得． （2）令，则， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由题意，，所以．所以， 当且仅当时等号成立，由，解得， 所以的最小值为4 题型三 消参法求最值 策略方法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【典例5】（22-23高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】由题干条件得到，将用代替，得到，换元后得到，利用基本不等式求出，进而求出的最小值. 【详解】因为，， 所以， 令， 则， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，此时，， 故答案为：6 【典例6】（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知均为实数且，，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】由可得，再将变形为，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得， 因为，所以，， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为3. 故答案为：3 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据将转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，当且仅当， 即，时取得等号． 故选：B． 3．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将条件等式变形得，进一步结合基本不等式即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以. 故选：A. 4．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，设，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值2 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】BC 【分析】由已知结合基本不等式一一计算可得． 【详解】由题意知，，，，， 对于A：当时，，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于B：当 时，，当且仅当时等号成立， 令，则，且，解得，即，解得， 所以，即有最大值，当且仅当，时取等号，故B正确； 对于C：当时，，当且仅当，即，时等号成立， 所以，得，所以，故C正确； 对于D：当时，得， 所以， 当且仅当，即、时取等号，即有最小值，故D错误． 故选：BC． 6．（22-23高一上·广东清远·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式结合已知等式，即可求得与的取值范围，即可逐项判断. 【详解】因为，所以，则， 又，则，故，当且仅当时，等号成立， 所以，则，故A正确，B不正确； 因为，所以， 又，则，故，当且仅当时，等号成立，故D正确； 因为，所以，所以，即，C正确. 故选：ACD. 7．（22-23高一上·安徽·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得，根据可判断A；，利用“乘1法”可判断B；根据可判断C；可化为，利用基本不等式可判断D. 【详解】 ∴，A正确； ，当且仅当时等号成立，B正确； ，解得错误； ，由题意知，，则，当且仅当时等号成立，D正确. 故选:ABD. 三、填空题 8．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 /0.4 【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】由,可得， 当且仅当，即时取到等号, 即的最大值为； ，可得， 当且仅当，即或时取到等号， 即的最小值为； 故答案为：； 9．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【详解】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 10．（23-24高一上·江苏南京·期末）若a，b，c均为正数，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知a，b，c均为正数，且， 故， 则 ， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故的最小值是， 故答案为： 11．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 题型四 “1”的代换求最值 策略方法 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件． 【典例7】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用二次不等式的解集得方程的两根为和，结合韦达定理得，从而判断A，再利用基本不等式计算判断BCD. 【详解】由题意，不等式的解集为， 可得，且方程的两根为和， 所以，所以，， 所以，所以A正确； 因为，，所以，可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确； 由， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误； 由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 【典例8】（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【答案】(1)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. (2)（i）；（ii）9 【分析】（1）根据和分类讨论解不等式即可. （2）（i）由题意m，n分别是方程的两根，利用韦达定理即可得解； （ii）结合（i）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】（1）不等式，整理得， 当时，原不等式可化为，此时不等式的解为或； 当时，原不等式可化为，此时不等式的解为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）（i）若的解集为，则m，n分别是方程的两根，且， 由韦达定理可知，所以. （ii）由（i）知，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南濮阳·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义可得为奇函数，结合单调性可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为的定义域为， 且，即函数为奇函数， 又因为在上单调递增， 则在上也单调递增， 因为，即， 则，所以， 则， 当且仅当时，即，取等号. 所以的最小值为. 故选：D. 2．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 3．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5. 故选：A. 4．若两个正实数x，y满足，且不等式 有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再解一元二次不等式即得. 【详解】由两个正实数x，y满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 由不等式 有解，得，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 三、填空题 5．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 6．（23-24高一下·河北·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 7．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】/． 【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：． 四、解答题 8．（23-24高一上·安徽·期末）（1）已知正数a，b满足，若．求的最小值； （2）求的解集． 【答案】（1）16；（2） 【分析】（1）根据题意，由基本不等式利用1的代换，即可得到结果．（2）由题意分类讨论去掉绝对值，把原不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即可得出结论． 【详解】（1）因为，均为正数，，所以，即，． 所以可转化， 当且仅当，即，且 时，等号成立． 所以的最小值为16． （2）原不等式等价于①或 ②． 解①求得或，解②求得． 所以原不等式的解集为． 9．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为； （2）由，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 10．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)9 (2)5 【分析】（1）利用基本不等式结合二次不等式求解即可； （2）利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）当时，，即， 所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9； （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5. 题型五 利用基本不等式解决实际问题 策略方法 利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性． 【典例9】（23-24高一上·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 【答案】1680 【分析】分和两种情况得到利润函数，根据二次函数性质结合基本不等式计算最值，比较得到答案． 【详解】由题意可得：当时，利润为， 当时，， 故； 若，， 由二次函数的性质可知，在上单调递增，在,上单调递减， 所以当时，万元， ②若， 当且仅当时，即时，万元． 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 故答案为：1680 【典例10】（23-24高一上·上海·期末）某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为300吨. (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)年产量为200吨时，每吨平均成本最低为30万元； (2)年产量为225吨时，可获得最大利润2125万元 【分析】（1）依题意可得每吨平均成本为，再利用基本不等式计算可得； （2）设年获得总利润为万元，则，即可得到函数解析式，再根据二次函数的性质计算可得； 【详解】（1）每吨平均成本为（万元）， 则， 当且仅当，即时取等号. ∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为30万元. （2）设年获得总利润为万元，则. ∴时，有最大值为（万元）. ∴年产量为225吨时，可获得最大利润2125万元. 【题型训练】 1．（23-24高一上·湖北·期末）湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感．它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点．由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为千元．，且生产的成本包括固定成本4千元，材料等成本2千元/千件．记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为千元． (1)求函数的解析式； (2)该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)该企业应该生产11千件，最大利润为154千元 【分析】（1）利用给定函数模型结合利润与成本关系式计算即可； （2）利用二次函数与基本不等式计算即可. 【详解】（1）依题意可知总成本为，即， 又， 则， 即； （2）当时，， 其图象为开口向上的抛物线的一部分，该抛物线对称轴为， 则函数在为增函数， 所以当时，函数取最大值136， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为154＞136，所以当时，取得最大值154． 所以该企业应该生产11千件，最大利润为154千元 2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）年月日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元） 年固定成本 每节车厢成本 每节车厢价格 每年最多生产的节数 传统型 节 智能型 节 已知，每销售节智能型车厢时，需上交百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完. (1)设、分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出、与年产量之间的函数关系式； (2)①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值； ②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？ 【答案】(1)答案见解析 (2)①答案见解析；②答案见解析. 【分析】（1）根据题意可得出、与年产量之间的函数关系式，并标出的取值范围； （2）①求出两种车厢平均利润的表达式，利用函数的单调性、基本不等式可求得两种车厢利润的最大值； ②将两种车厢利润最大值作差，对实数的取值进行分类讨论，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：由题意可得，其中，， ，其中，. （2）解：传统型车厢平均利润为，其中，， 智能型车厢平均利润为，其中，， 令，其中，， ，其中，， ①函数在上单调递增，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，传统型车厢平均利润的最大值为百万元， 智能型车厢平均利润的最大值为百万元； ②， 当时，，投资传统型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元； 当时，，投资两种车厢可获得一样的最大利润，且最大利润为百万元； 当时，，投资智能型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元. 3．（23-24高一上·安徽合肥·期末）近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为. (1)求的解析式； (2)经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？ 【答案】(1)； (2)分钟. 【分析】（1）根据题意建立函数模型并计算解析式即可； （2）由函数的单调性及基本不等式分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题意可设（k为常数）， 因为，则， 所以； （2）由，结合（1）可知， 可得， 整理得， ①当时，， 当且仅当时等号成立； ②当时，在上单调递减， 即当时取最大值； 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好. 4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） (1)求函数的解析式； (2)当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元． 【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式； （2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得． 【详解】（1）由题意得， ∵， ∴当时，， 当时，， 综上所述，函数的解析式为． （2）由（1）得， 当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴； 当时， ， 当且仅当，即时，， ∵， ∴的最大值为207.5， 故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元． 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表： （天） 2 4 10 20 （万件） 12 11 10.4 10.2 (1)请确定的解析式，并说明理由； (2)若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值. 【答案】(1)，理由见解析 (2)，最小值为484万元. 【分析】（1）若，则它不满足单调递减，所以只能由待定系数法代入即可得解. （2）结合销售额、销量以及销售单价之间的关系即可求得表达式（分段函数），当时，可结合基本不等式求最小值，注意取等条件是否满足，当时，直接由表达式得函数单调性，进而得其最小值，结合以上两方面即可得解. 【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由题表可知，随着增大时，销售量逐渐减少，若，则当时，非单调递减函数，不符合题意. 对于，根据题意，将点代入可得 解得，此时， 易知点均在的图象上， . （2）， 由（1）知， 即， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，为单调递减函数， 的最小值为， 综上可知，的最小值为484万元. 6．（23-24高一上·江西吉安·期末）狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元 【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式； （2）分段求函数的最大值，再进行比较. 【详解】（1）由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，， 当时，， 故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为． （2）当时，，当时，取得最大值． 当时，． 当且仅当，即时取等号，即当时，取得最大值． ∵50＜54， ∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元. 7．（23-24高一上·全国·期末）某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） (1)求出k的值，并将y表示为x的函数； (2)求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 【答案】(1)， (2)所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2）， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 8．（23-24高一上·湖北恩施·期末）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）. (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】(1)（），第3年开始全年盈利 (2)按方案②处理较合理，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得与之间的函数关系式，解一元二次不等式即可求解； （2）分别求出方案①②下该设备的获利额最大值，比较大小即可求解. 【详解】（1）根据题意：（）， 由解得：，， 所以，所以该机床从第3年开始全年盈利. （2）方案①：（当且仅当时取“＝”）, 所以到2029年，年平均盈利达到最大值，该设备可获利万元. 方案②：，所以当时，， 故到2032年，盈利额达最大值，该设备可获利万元. 所以按方案②可获利更多，故按方案②处理较合理. 题型六 利用基本不等式证明 策略方法 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 【典例11】（22-23高一上·广东惠州·期中）已知函数（且），且函数图象恒过点 (1)若，求的最小值； (2)若，都有，求的值；若记函数.求证：函数为偶函数. 【答案】(1)9； (2)0；证明见解析. 【分析】（1）利用给定条件，求出，再利用“1”的妙用求解作答. （2）根据给定条件，求出的值，进而求出解析式，即可计算并推理作答. 【详解】（1）函数的图象恒过点，则，而且，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值9. （2）依题意，且，，， 即，，于是得，解得， 而，则有，，因此， ，其定义域为R， ， 所以函数为偶函数. 【题型训练】 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知，函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析 (2). 【分析】（1）求出的定义域，并证明为偶函数，再用定义法判断在单调性，利用偶函数的性质判断在上的单调性即可； （2）结合（1）将等价于，分别求出的最大值以及的最小值即可得到答案. 【详解】（1）. 令，解得：，则的定义域为，关于原点对称， 当时，，所以为偶函数. 任取，且， 则 因为，所以，则， 又因为，则，所以，所以在上单调递减. 由偶函数的性质知在上单调递增，在上单调递减. （2）不等式等价于. 由（1）得，当时，在时取得最大值0. 又，当且仅当时，取得最小值2， 所以当时，取得最大值， 所以实数的取值范围为. 2．（23-24高一上·广东佛山·期末）若存在常数k，b使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数． (1)证明：函数在区间上单调递增． (2)当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明结论； （2）求出的图象的交点，设与是存在隔离直线函数，可得，利用可求出k的值，结合证明，即可得出结论. 【详解】（1）任取，不妨设， 则 ， 由，则，， 故，即， 故函数在区间上单调递增． （2）当时，与存在隔离直线函数； 令，即， 即，即， 即，解得或， 由于，故舍去； 当时，，即有公共点， 设与存在隔离直线函数， 则点在隔离直线函数上，则，即， 则； 若当时有，即， 则在上恒成立，即， 由于，故此时只有时上式才成立，则， 下面证明，令， 即，故，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即为与的隔离直线函数. 3．（23-24高一上·四川南充·期末）已知是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，答案见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出的值； （2）先判断单调性，再根据函数单调性的定义判断即可； （3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为，利用基本不等式求出最值即可． 【详解】（1）是R上的奇函数， ，对任意，即， 即，对任意恒成立， ，即. （2）为R上的增函数，证明如下： 任取，，且， ， ，， ，即， 所以函数为R上的增函数. （3）不等式在R上恒成立， ， 又为R上的增函数， 在R上恒成立， 即，令，， 上式等价于对恒成立， 即，令，只需即可， 又， ， . 所以实数t的取值范围为. 4．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并证明； (2)若，且，，都为正数，求证：. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法以及分解因式，可得答案； （2）利用分类讨论的解题思想，结合基本不等式以及函数单调性与奇偶性，可得答案. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 任取，设， ， 由，则，故， 所以在上单调递增. （2）当都是正数时， ， 当目仅当时等号成立，则； 当中只有一个负数时，不妨设，则， 且，由，则， 由，则，则， ，当且仅当时，等号成立，则， ， 当中有两个负数或三个都是负数时，不合题意. 故得证. 5．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，其中. (1)若，证明：在上单调递增， (2)求的最小值. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）分类讨论，去绝对值，结合对勾函数的性质以及函数的单调性，即可由基本不等式求解. 【详解】（1）证明：当时，， 任取，且， 则 ， 因为，所以，得， 而，得， 故，即， 得在上单调递增. （2）令，则，则， 当时，， 当时，， 由于在单调递减，所以， 而当为对勾函数， 当时，在单调递增，所以此时， 故此时的最小值为， 当时，在单调递减，在单调递增，故此时， 由于，故此时的最小值为2， 当时，， 由于在单调递增，所以， 而当为对勾函数， 当时，在单调递减，所以此时， 故此时的最小值为， 当时，在单调递减，在单调递增，故此时， 由于，故此时的最小值为2， 综上可得：当时，的最小值为2， ，的最小值为， 当时， 的最小值为， 6．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数. (1)若时，求的定义域； (2)若函数的图像关于直线对称. ①求a，b的值； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①;②证明见解析. 【分析】（1）借助定义域的求法，求解即可； （2）①利用定义域的端点对称，找到，再利用，计算即可；②利用表示出，利用基本不等式进行适当的放缩即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以，解得， 的定义域为. （2）， 所以解得, 所以的定义域为， 因为函数的图像关于直线对称， 所以， 所以图像关于直线对称, 所以，即， 整理得，即解得 所以，经检验当时，满足关于对称. 所以. 因为， 所以 因为， ， ， 所以. 所以. 7．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数 . (1)证明：； (2)若，不等式恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用完全平方公式得到，从而得证； （2）先将变形为，令，构造函数，研究其性质即可. 【详解】（1）由于，左边； 右边； 右边右边，所以等式成立. （2），， 当且仅当时，即时等号成立， 由第（1）问可知，“不等式恒成立”等价于：“不等式恒成立”， 令，即对任意，恒成立， 构造函数， 当时，函数在区间上单调递增， 函数的最小值为，只需， 此时满足题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数的最小值为，只需， 此时满足题意； 总之，不等式恒成立，实数 的取值范围为. 8．已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; （2）在上单调递增， 设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$