4.1因式分解课件 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第四章 因式分解 你能把 993-99 化成几个整数的乘积的形式吗？类似地，你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗? 本章将研究如何把一个多项式分解成若干个整式的乘积的形式，你将体会到这一过程与整式乘法运算的联系. 4.1 因式分解 1. 掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解；（重点） 2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点） 学 习 目 标 你能把993-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 本章将研究如何把一个多项式分解成若干整式的乘积的形式，你将体会到这一过程与整式乘法运算的联系. 情 境 导 入 探究一：因式分解的定义 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 所以，993-99能被100整除. 993-99还能被哪些正整数整除? 小明是这样做的： 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 合 作 探 究 议一议：你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. a3 - a =a(a2-1) 在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个整式的积的形式. 逆用平方差公式 =a(a+1)(a-1). 合 作 探 究 = . 做一做：观察下列拼图过程，写出相应的关系式. a+b+c m a m b m c m (1) x x x 1 1 1 x 1 (2) x+1 x+1 = . ma+mb+mc m(a+b+c) x2+2x+1 (x+1)2 合 作 探 究 思考：观察以下等式，它们有什么共同特点？ x2+2x+1 = (x+1)2. ma+mb+mc = m(a+b+c) , a3 - a = a(a+1)(a-1), 多项式 整式的积 你能总结出因式分解的定义吗？ 像这样的变形叫做因式分解. 合 作 探 究 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 因式分解的定义 新 知 小 结 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1； ②x3+x＝x(x2+1)； ③(x-y)2＝x2-2xy+y2； ④x2-9y2＝(x+3y)(x-3y). A.1个 　　　　 B.2个 　　　　C.3个 　　　　 D.4个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B. B 典 例 精 析 判定一个变形是因式分解的条件： (1)左边是多项式； (2)右边是积的形式； (3)右边的因式全是整式. 方法总结 新 知 小 结 1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是( ) A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-xy+y2=(x-y)2 C 2.(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果( ) A.m2+4n2 B.-m2+4n2 C.m2-4n2 D.-m2-4n2 C 针 对 练 习 根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=_________; (2)ma+mb+mc=_________; (3) m2-16=__________; (4) y2-6y+9=________. 计算下列各式: (1) 3x(x-1)= __, (2) m(a+b+c) = ______ , (3)(m+4)(m-4)= _____, (4)(y-3)2= . 做一做： 3x2 - 3x ma+mb+mc m2 -16 y2-6y+9 3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 整式乘法 因式分解 探究二：因式分解与整式乘法的关系 合 作 探 究 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 多项式 几个整式的积 因式分解 整式乘法 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. 思 考 3.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3) =ax2+ax-6a. ∴a=1，b=﹣6a=﹣6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 针 对 练 习 1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是 ( ) A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x2-x-6 C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+) 2.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2 C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2 B A 随 堂 检 测 3.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是 (　　) A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198 B 4.若多项式x2+mx+n因式分解的结果为(x-3)(x+1),则m,n的值分别为(　　) A.2,3 B.-2,3 C.2,-3 D.-2,-3 D 随 堂 检 测 6.20232+2023能被2024整除吗? 解: ∵20232+2023=2023(2023+1) =2023 ×2024 ∴ 20232+2023能被2024整除. 随 堂 检 测 7.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求mn的值. 解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， ∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x﹣1)(x﹣2)(x2+ax+b)， 则x4+mx3+nx﹣16=x4+(a-3)x3+(b﹣3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b=﹣16，b﹣3a+2=0，a﹣3=m，2a﹣3b=n 解得a=﹣2，b=﹣8，m=﹣5，n=20. ∴mn=﹣5×20=﹣100． 随 堂 检 测 定义 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式叫做这个多项式的因式. 因式分解与整式乘法的关系 1.互为逆运算. 2.因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积； 整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式. 课 堂 总 结 $$